非線性控制系統(tǒng)分析

非線性控制系統(tǒng)分析1第一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二8.1非線性控制系統(tǒng)概述一、研究非線性控制理論的意義

實際上，理想的線性系統(tǒng)并不存在，組成系統(tǒng)的各元件的動態(tài)和靜態(tài)特性都存在著不同程度的非線性。典型非線性特性2第二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二二、非線性系統(tǒng)的特征1.穩(wěn)定性分析復(fù)雜，系統(tǒng)可能存在多個平衡狀態(tài)；時間響應(yīng)曲線平衡狀態(tài)：x=0x=1

平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始條件有直接的關(guān)系。（線性系統(tǒng)的特征：應(yīng)用線性疊加定理）3第三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二2.可能存在自激振蕩現(xiàn)象；3.頻率響應(yīng)發(fā)生畸變。

長時間大幅度振蕩會造成機械磨損，增加誤差，因此多數(shù)情況下不希望系統(tǒng)有自振發(fā)生。但在控制中通過引入高頻小幅自振，可克服間隙、死區(qū)等非線性因素的不良有影響。

非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率的正弦信號分量(基頻分量)外，還含有關(guān)于w的高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。4第四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二三、非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計方法1.相平面法--基于時域分析的圖解法通過在相平面上繪制相軌跡曲線，確定非線性微分方程在不同初始條件下解的運動形式。相平面法僅適用于一階和二階系統(tǒng)。2.描述函數(shù)法—基于頻域的等效線性化方法通過諧波線性化，將非線性特性近似表示為復(fù)變增益環(huán)節(jié)，然后推廣應(yīng)用頻率法，分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩。5第五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二3.逆系統(tǒng)法運用內(nèi)環(huán)非線性反饋控制，構(gòu)成偽線性系統(tǒng)，并以此為基礎(chǔ)，設(shè)計外環(huán)控制網(wǎng)絡(luò)。該方法應(yīng)用數(shù)學(xué)工具直接研究非線性控制問題，不必求解非線性系統(tǒng)的運動方程，是非線性系統(tǒng)控制研究的發(fā)展方向。6第六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二8.2常見非線性特性及其對系統(tǒng)運動的影響一、飽和特性xya-a斜率k0對系統(tǒng)的影響：1.使系統(tǒng)開環(huán)增益下降，對動態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性有利；2.使系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度下降。7第七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二二、死區(qū)特性△-△0斜率kxy對系統(tǒng)的影響：1.使系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差；2.當(dāng)系統(tǒng)輸入端存在小擾動信號時，在系統(tǒng)動態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)值附近，死區(qū)的作用可減小擾動信號的影響。8第八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二三、間隙特性對系統(tǒng)的影響：增大系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，使過渡過程振蕩加劇，甚至造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定。一般來說，間隙特性對系統(tǒng)總是有害的，應(yīng)該消除或消弱它的影響。0yxh-h斜率kc-c9第九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二四、繼電特性0-MMyx對系統(tǒng)的影響：1可能會產(chǎn)生自激振蕩，使系統(tǒng)不穩(wěn)定或穩(wěn)態(tài)誤差增大；2.如選得合適可能提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。10第十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二其他繼電特性0yx-MM-hh滯環(huán)+繼電0yx-MM-△△死區(qū)+繼電0yx-MM-△△死區(qū)+間隙+繼電11第十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二8.3相平面法

相平面法由龐加萊1885年首先提出，是一種求解一、二階常微分方程的圖解法。其實質(zhì)是將系統(tǒng)的運動過程形象地轉(zhuǎn)化為相平面上一個點的移動，通過研究這個點的移動軌跡，就可獲得系統(tǒng)運動規(guī)律的全部信息。相平面法可以用來分析一、二階線性或非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡位置、時間響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)精度及初始條件和參數(shù)對系統(tǒng)運動的影響。相平面法繪制步驟簡單、計算量小，特別適用于分析常見非線性特性和一階、二階線形環(huán)節(jié)組合而成的非線性系統(tǒng)。12第十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二一、相平面的基本概念設(shè)二階系統(tǒng)的常微分方程：tx(t)方程的解x--相變量以x(t)為橫坐標(biāo)，x(t)為縱坐標(biāo)構(gòu)成的直角坐標(biāo)平面。&相平面：相軌跡：相變量從初始時刻t0對應(yīng)的狀態(tài)點起，隨著時間在相平面上運動形成的曲線。注意：相軌跡上箭頭必須標(biāo)出，表示參量t增加的方向13第十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二相平面圖：相平面及其上的相軌跡簇(多個初始條件下的運動對應(yīng)多條相軌跡)組成的圖形。二、相軌跡的繪制方法1.解析法--解微分方程，然后在相平面上繪制相軌跡。

從中解出x，對x求導(dǎo)得到，從x,中消去中間量t

，就得到的關(guān)系。(1)消變量法14第十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二(2)直接積分法例：設(shè)系統(tǒng)的微分方程為，初始條件為，試?yán)L制系統(tǒng)的相軌跡。解：15第十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二整理后得：相軌跡16第十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二2.等傾線法--不解微分方程，直接在相平面上繪制相軌跡。等傾線：

相平面上相軌跡斜率相等的諸點的連線。等傾線法基本思想：先確定相軌跡的等傾線，進而繪出相軌跡的切線方向場，然后從初始條件出發(fā)，沿方向場逐步繪制相軌跡。17第十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二

給定一組a值，就可得到一族等傾線，在每條等傾線上各點處作斜率為a的短直線，并以箭頭表示切線方向，則構(gòu)成相軌跡的切線方向場。只要從某一初始點出發(fā)，沿著方向場各點的切線方向?qū)⑦@些短線用光滑的曲線連接起來，便可以得到系統(tǒng)的一條相軌跡。18第十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二解：例:用等傾線法繪制的相軌跡。當(dāng)以(x0,0)為初始條件時，是一個圓。a=-∞…，-2，-1，-0.5，0，0.5…∞時畫等傾線19第十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二注意事項(4)等傾線分布越密，相軌跡越準(zhǔn)確。(3)相軌跡與x軸垂直相交；(1)坐標(biāo)軸x和比例尺相同；(2)上半平面，故x的走向應(yīng)沿x的增加的方向由左向右，x隨t的增大而增大；下半平面，x走向沿x的減小的方向由右向左，x隨t的增大而減?。幌嘬壽E方向箭頭表示。20第二十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二三、線性系統(tǒng)的相軌跡

1.線性一階系統(tǒng)的相軌跡微分方程：相軌跡方程：設(shè)系統(tǒng)初始條件為c(0)=c021第二十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二2.線性二階系統(tǒng)的相軌跡微分方程：特征根：相軌跡微分方程：等傾線方程：22第二十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二討論二階線性系統(tǒng)的相軌跡1.b<0時23第二十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二2.b=0時24第二十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二3.b>0時(1)0<z<1s1s2--具有負實部的共軛復(fù)根25第二十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二s1s2--互異負實根(3)z=1s1s2--相等負實根(2)z>126第二十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二s1s2--一對純虛根(5)-1<z<0s1s2--具有正實部的共軛復(fù)根(4)z=027第二十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二(6)z≤-1s1s2--兩個正實根28第二十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二四、奇點和奇線1.奇點--同時滿足和的點。奇點一定位于相平面的橫軸上；相軌跡在奇點處切線斜率不定，表明系統(tǒng)在奇點處可以按任意方向趨近或離開奇點，因此相軌跡族曲線在奇點處發(fā)生相交；經(jīng)過奇點的相軌跡有多條，而經(jīng)過普通點的相軌跡只有一條；在奇點處，系統(tǒng)運動的速度和加速度同時為零，對二階系統(tǒng)而言，系統(tǒng)不在發(fā)生運動，處于平衡狀態(tài)，因此相平面上的奇點也稱為平衡點。29第二十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二奇點(0,0)的類型焦點系統(tǒng)特征根是具有負實部的共軛復(fù)根時，奇點為穩(wěn)定焦點；系統(tǒng)特征根是具有正實部的共軛復(fù)根時，奇點為不穩(wěn)定焦點。節(jié)點系統(tǒng)特征根是具有負實根時，奇點為穩(wěn)定節(jié)點；系統(tǒng)特征根是具有正實根時，奇點為不穩(wěn)定節(jié)點。鞍點系統(tǒng)特征根是具有一正一負實根時，奇點為鞍點。中心點系統(tǒng)具有兩個共軛純虛數(shù)根，奇點稱為中心點。30第三十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二j0j0j0穩(wěn)定焦點中心點不穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定焦點鞍點j0λ2λ1j0λ1λ2二階系統(tǒng)奇點(0,0)的類型λ1j0λ2節(jié)點31第三十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二非線性系統(tǒng)的奇點類型奇點附近關(guān)于△x的線性二階微分方程：

將在奇點處展開成泰勒級數(shù)，略去高次項。求解上式特征根，從而判斷奇點類型。32第三十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二2.奇線

最常見的奇線是極限環(huán)。相平面圖上如果存在一條孤立的封閉相軌跡，而且它附近的其他相軌跡都無限的趨向或離開這個封閉的相軌跡，則這條封閉相軌跡稱為極限環(huán)。極限環(huán)是非線性系統(tǒng)特有現(xiàn)象；由于非線性特性的作用，使得系統(tǒng)能從非周期性的能源中獲取能量，從而維持周期運動形式。--將相平面劃分為具有不同運動特點的多個區(qū)域的特殊相軌跡。33第三十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二極限環(huán)的類型1.穩(wěn)定極限環(huán)0特點：極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡都卷向極限環(huán)，自振蕩是穩(wěn)定的。2.不穩(wěn)定極限環(huán)0特點：極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡都卷離極限環(huán)。34第三十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二3.半穩(wěn)定的極限環(huán)a0b0

環(huán)內(nèi)、環(huán)外都不穩(wěn)定，具有這種極限環(huán)的系統(tǒng)是不會產(chǎn)生自振蕩，系統(tǒng)的狀態(tài)最終是發(fā)散的。

環(huán)內(nèi)、環(huán)外都是穩(wěn)定的，具有這種極限環(huán)的系統(tǒng)也不會產(chǎn)生自振蕩，系統(tǒng)的狀態(tài)最終是趨向于環(huán)內(nèi)的穩(wěn)定奇點。35第三十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二例8-2:已知非線性系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的奇點，并繪制系統(tǒng)的相平面圖。解：系統(tǒng)相軌跡微分方程：奇點(0,0)處36第三十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二系統(tǒng)在奇點(0,0)處有一對具有負實部的共軛復(fù)根，故奇點(0,0)為穩(wěn)定的焦點。奇點(-2,0)處系統(tǒng)在奇點(-2,0)處有一正一負二個實根，故奇點(-2,0)為鞍點。37第三十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二

由以上兩種奇點類型的相平面圖結(jié)合起來，可以畫出系統(tǒng)相平面圖的大致形狀，如下圖所示。0-238第三十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二五、由相軌跡求取時間間隔1.增量法2.積分法3.圓弧法39第三十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二六、非線性系統(tǒng)的相平面分析方法：用幾條分界線將相平面分為幾個線性區(qū)域；按各段的微分方程畫出各區(qū)域的相軌跡；將各區(qū)域的相軌跡連成實的連續(xù)曲線。1.具有死區(qū)特性的非線性控制系統(tǒng)

系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，輸入r(t)=R.1(t)，試?yán)L制偏差e

的相平面圖。非線性特性曲線的折線的各轉(zhuǎn)折點，構(gòu)成相平面區(qū)域的分界線——開關(guān)線40第四十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二系統(tǒng)微分方程：△△41第四十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二給定參數(shù)：T=1，Kk=1在I區(qū)：穩(wěn)定焦點相軌跡為向心螺旋線(z=0.5)42第四十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二在II區(qū)：無奇點在III區(qū)：穩(wěn)定焦點相軌跡沿直線收斂相軌跡為向心螺旋線(z=0.5)43第四十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二

根據(jù)區(qū)域奇點類型及對應(yīng)的運動形式，作相軌跡如下圖實線所示。44第四十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二

已知：T=1,K=4,e0=M0=0.2，若系統(tǒng)開始處于零初始狀態(tài)，試做出r(t)=R.1(t)時系統(tǒng)的相平面圖。2.具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)解：根據(jù)結(jié)構(gòu)圖，有：45第四十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二在I區(qū)：等傾線方程：46第四十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二等傾線為一簇水平線，斜率為a。漸近線(a=0)：在III區(qū)：等傾線方程：同理有漸近線(a=0)：在II區(qū)：將數(shù)據(jù)代入：特征根：奇點(原點)為穩(wěn)定焦點47第四十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二

根據(jù)區(qū)域奇點類型及對應(yīng)的運動形式，作相軌跡如下圖所示。48第四十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二當(dāng)r(t)=0(t)，分析系統(tǒng)的性能。3.具有滯環(huán)的繼電特性的非線性控制系統(tǒng)49第四十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二在I區(qū)：等傾線方程：在II區(qū)：等傾線方程：

由相圖可見，介于向外發(fā)散和向內(nèi)收斂的相軌跡間存在著一個穩(wěn)定的極限環(huán)。因此對這個系統(tǒng)而言，不論初始條件如何，系統(tǒng)最終處于自激振蕩狀態(tài)，振蕩的周期和振幅取決于系統(tǒng)的參數(shù)，而與初始條件無關(guān)。在閉環(huán)系統(tǒng)其它滯環(huán)特性中，也會引起自振，可見滯環(huán)特性惡化了系統(tǒng)的品質(zhì)，使系統(tǒng)處于失控的狀態(tài)。50第五十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二8.4描述函數(shù)法

描述函數(shù)法是達尼爾(P.J.Daniel)于1940年首先提出的，其基本思想是：當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號作用下的輸出可用一次諧波分量來近似，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，即描述函數(shù)。這時非線性系統(tǒng)就近似等效為一個線性系統(tǒng)，并可應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻率法對系統(tǒng)進行頻域分析。描述函數(shù)法只能用來研究系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，不能給出時間響應(yīng)的確切信息。51第五十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二一、描述函數(shù)的基本概念1.描述函數(shù)的定義典型非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖-x(t)非線性部分Ny(t)c(t)r(t)線性部分G(s)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號：非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出：52第五十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二直流分量第n次諧波分量53第五十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二若A0=0且當(dāng)n>1時：表明：非線性環(huán)節(jié)可近似認為具有和線性環(huán)節(jié)相類似的頻率響應(yīng)形式。定義：正弦輸入信號作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波分量和輸入信號的復(fù)數(shù)比為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用N(A)表示：54第五十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二例8-3：設(shè)繼電特性為計算該非線性特性的描述函數(shù)。解：55第五十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二非線性特性為輸入x的奇函數(shù)時：

y(t)為奇函數(shù)，且又為半周期對稱時：非線性特性為輸入t

的奇函數(shù)時：56第五十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二例8-4:設(shè)某非線性元件的特性為試計算其描述函數(shù)。解：Qy(x)為x的奇函數(shù)

Qy(t)為奇函數(shù)，且又為半周期對稱時57第五十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二由定積分公式得：4.非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析的應(yīng)用條件(1)非線性系統(tǒng)應(yīng)簡化成一個非線性環(huán)節(jié)和一個線性部分閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)形式；-x(t)非線性部分Ny(t)c(t)r(t)線性部分G(s)58第五十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二(2)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性應(yīng)y(x)是x

的奇函數(shù)，即f(x)=-f(-x)，或正弦輸入下的輸出為t的奇對稱函數(shù)，即y(t+p/w)=-y(t)，以保證非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)不含有常值分量，即A0=0；(3)系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的低通濾波性能。3.描述函數(shù)的物理意義

非線性環(huán)節(jié)僅考慮基波分量，非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)表現(xiàn)為復(fù)數(shù)增益的放大器。注意：描述函數(shù)表現(xiàn)為關(guān)于輸入正弦信號的幅值A(chǔ)的復(fù)變增益放大器，這正是非線性環(huán)節(jié)的近似頻率特性與線性系統(tǒng)頻率特性的本質(zhì)區(qū)別。59第五十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二二、典型非線性特性的描述函數(shù)非線性元件得描述函數(shù)計算步驟：1.設(shè)非線性元件的輸入x(t)=Asinwt根據(jù)該元件的特性，確定其輸出y(t)的表達式；2.將y(t)展成傅立葉級數(shù)；3.取級數(shù)中的基波，求描述函數(shù)。60第六十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二典型非線性特性的描述函數(shù)1.理想繼電器特性2.死區(qū)繼電器特性61第六十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二3.滯環(huán)繼電器特性4.飽和特性62第六十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二5.死區(qū)飽和特性6.死區(qū)特性63第六十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二7.間隙特性8.變增益特性64第六十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二9.有死區(qū)的線性特性10.庫侖摩擦加粘性摩擦特性65第六十五頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二三、非線性系統(tǒng)的簡化1.非線性特性的并聯(lián)

若兩個非線性特性輸入相同，輸出相加、減，則等效非線性特性為兩個非線性特性的疊加。66第六十六頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二3.線性環(huán)節(jié)的等效變換--結(jié)構(gòu)框圖化簡2.非線性特性的串聯(lián)--圖解法

兩個非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，等效特性還取決于其前后次序，調(diào)換次序則等效非線性特性亦不同。67第六十七頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二四、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法1.變增益線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：設(shè)G(s)的極點均在s左半平面當(dāng)G(jw)不包圍(-1/K，j0)點時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；當(dāng)G(jw)包圍(-1/K，j0)點時，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定；當(dāng)G(jw)穿過(-1/K，j0)點時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。j0G(jw)68第六十八頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二當(dāng)G(jw)不包圍(-1/K，j0)直線，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；當(dāng)G(jw)包圍(-1/K，j0)直線時，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。設(shè)K1≤K≤K2，則(-1/K，j0)為復(fù)平面實軸上的一段直線。j0G(jw)69第六十九頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二2.應(yīng)用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性-x(t)非線性部分N(A)y(t)c(t)r(t)線性部分G(jw)設(shè)G(s)的極點均位于s左半平面閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：--非線性環(huán)節(jié)的負倒描述函數(shù)70第七十頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二G(jw)與-1/N(A)曲線無交點：G(jw)包圍-1/N(A)，非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。G(jw)不包圍-1/N(A)，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)：

若G(jw)不包圍-1/N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；若G(jw)包圍-1/N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。71第七十一頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二例8-5:已知非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：對于線性環(huán)節(jié)，解得穿越頻率：非線性環(huán)節(jié)為庫侖摩擦加粘性摩擦特性，查表8-1得72第七十二頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二G(jw)包圍-1/N(A)曲線非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定3.非線性系統(tǒng)存在周期運動時的穩(wěn)定性分析當(dāng)G(jw)與-1/N(A)

有交點時可解得交點處的頻率w和幅值A(chǔ)或73第七十三頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二

系統(tǒng)處于周期運動時，非線性環(huán)節(jié)的輸入近似為等幅振蕩，即每一個交點對應(yīng)著一個周期運動。

如果該周期運動能夠維持，即考慮外界小擾動作用使系統(tǒng)偏離該周期運動，當(dāng)該擾動消失后，系統(tǒng)的運動仍能恢復(fù)原周期運動，則稱為穩(wěn)定的周期運動。非線性系統(tǒng)存在周期運動的四種形式74第七十四頁，共八十二頁，編輯于2023年，星期二設(shè)系統(tǒng)周期運動的幅值為A0。當(dāng)外界擾動使非線性環(huán)節(jié)輸入振幅減小到A1時，G(jw)包圍(-1/N(A1),j0)點，系統(tǒng)不穩(wěn)定，振幅增大，最終回到N0點。外界擾動使輸入振幅增大到A2時，G(j