第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線凹凸

第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性

與曲線的凹凸性（一）一、單調(diào)性的判別法二、單調(diào)區(qū)間求法三、小結(jié)一、單調(diào)性的判別法【定理】【證】應(yīng)用拉氏定理,得【例1】【解】【注意】函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性．【說(shuō)明】定理中區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍成立.【例2】【解】連續(xù)如上圖【總結(jié)】單調(diào)區(qū)間的可能分界點(diǎn)(1)駐點(diǎn)(2)不可導(dǎo)點(diǎn)二、單調(diào)區(qū)間求法【問(wèn)題】如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)．【定義】若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)(駐點(diǎn))和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．【方法】【可能分界點(diǎn)】單調(diào)區(qū)間的求法步驟：①求②求駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)(可能的分界點(diǎn))④確定單調(diào)區(qū)間③列表考察f(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)【例3】【解】單調(diào)區(qū)間為【例4】【解】

討論函數(shù)的單調(diào)性在x=0處有一水平切線在(－∞,0]及[0,＋∞）上都單調(diào)增加如圖所示【例5】【證】【應(yīng)用】Ⅰ利用單調(diào)性證明不等式【結(jié)論】

若函數(shù)在某區(qū)間上除有限個(gè)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零外,均有(或),

則不影響函數(shù)的單調(diào)性.教材P130例1【補(bǔ)例6】證明【證】正負(fù)不易判定即［證完］【補(bǔ)例7】【應(yīng)用】Ⅱ利用單調(diào)性確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù).前已證過(guò)1.用零點(diǎn)定理證存在性（正根）.2.用羅爾定理反證唯一性.以下用1.用零點(diǎn)定理證存在性（正根）.2.用函數(shù)的單調(diào)性證唯一性.【證明】唯一性則其圖象若與軸相交則僅相交一次存在性（略，用零點(diǎn)定理在內(nèi)證）故方程只有一個(gè)正根.【證完】三、小結(jié)單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.【應(yīng)用】利用函數(shù)的單調(diào)性，可以Ⅱ.

確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)Ⅰ.

證明不等式.【思考題】【思考題解答】不能斷定.例但當(dāng)時(shí)，