第一節(jié)留數(shù)定理課件

1.留數(shù)

如果函數(shù)f(z)在z0的鄰域內(nèi)解析,那么根據(jù)柯西定理但是,如果z0為f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn),則沿在z0的某個(gè)去心鄰域0<|z-z0|<R內(nèi)包含z0的任意一條正向簡單閉曲線l的積分一般就不等于零.§4.1留數(shù)定理一.留數(shù)及留數(shù)定理

f(z)=...+a-n(z-z0)-n+...+a-1(z-z0)-1

+a0+a1(z-z0)+...+an(z-z0)n+...

其中a-1就稱為f(z)在z0的留數(shù),記作Resf(z0),即因此將f(z)在此鄰域內(nèi)展開為洛朗級數(shù)后,兩端沿l逐項(xiàng)積分,右端各項(xiàng)積分除留下

的一項(xiàng)等于外,其余各項(xiàng)積分都等于零,所以?íì=-ò)(

,1)(,0)(21aap包圍不包圍lldzazil-1

2留數(shù)定理設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)b1,b2,...,bn外處處解析.l是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡

單閉曲線,則Db1b2b3bnl1l2l3lnl留數(shù)定理將回路積分化為被積函數(shù)在回路所圍區(qū)域上各奇點(diǎn)留數(shù)之和[證]把在l內(nèi)的孤立奇點(diǎn)zj(j=1,2,...,n)用互不包含的正向簡單閉曲線lj圍繞起來,則根據(jù)復(fù)合閉路定理有①

l包圍一個(gè)f(Z)的孤立奇點(diǎn)0Z時(shí)

)(zf=?-+￥-￥=kkkzza)(0

Cauchy定理知：òl(fā)dzzf)(

=ò0)(ldzzf

又Qip21ò-lzdza=?íì)(1(0aa包圍）不包圍ll

dzzflò)(=ò?-+￥-￥=0)0(lkkkdzazz=1-a2ip=2ip1-a

1-a=Resf(0z)

求函數(shù)在奇點(diǎn)z0處的留數(shù)即求它在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)洛朗級數(shù)中a-1(z-z0)-1項(xiàng)的系數(shù)即可.但如果知道奇點(diǎn)的類型,對求留數(shù)可能更有利.

②l包圍多個(gè)孤立奇點(diǎn)時(shí)：?ò==njjlbfizzf1).(Resπ2d)(即ò+++=nlbfbfbfzzfi21)(Res)(Res)(Resd)(π21Lòòòò+++=llllzzfzzfzzfzzfn.d)(d)(d)(d)(21L設(shè)函數(shù)f(z)在無限遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域上解析,來計(jì)算繞的正向回路積分在l以外的區(qū)域上沒有f(z)的有限遠(yuǎn)奇點(diǎn),將f(z)在無限遠(yuǎn)的鄰域上展為洛朗級數(shù),并代入積分式,可得除k=-1項(xiàng)外,其他各項(xiàng)為零,則有-a-1定義為f(z)在無限遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù),留數(shù)定理對于無限遠(yuǎn)點(diǎn)也成立,但要注意,即使無限遠(yuǎn)點(diǎn)不是奇點(diǎn),也可不為零3.無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)(1)

(1)+(2)可得即函數(shù)在全平面上所有各點(diǎn)的留數(shù)之和為零,這里所有的點(diǎn)包括無限遠(yuǎn)點(diǎn)和有限遠(yuǎn)的奇點(diǎn).如果f(z)只有有限個(gè)奇點(diǎn),則所有有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)必在某個(gè)圓的內(nèi)部在環(huán)域內(nèi)任取一個(gè)回路l,則由留數(shù)定理得(2)（一）可去奇點(diǎn)的留數(shù)：對于可去奇點(diǎn)由定義知：Resf(z0)=0

1.如果z0為f(z)的一階極點(diǎn)（單極點(diǎn)）,則（二）極點(diǎn)的留數(shù)二.留數(shù)的計(jì)算方法)(zf=?-￥-=1)(0kkkzza

=1-a)(01zz--+0a+1a)(0zz-+2a)(02zz-+……

)(0zz-f(z)=

1-a+0a)(0zz-+1a)(02zz-+2a)(03zz-+……

)()(lim00zfzzzz-?=1-a=Resf(0z)

對于f(z)可表示為形式f(z)=)()(zQzP時(shí)，且P(z),Q(z)在0z點(diǎn)是解析的，

Q(0z)=0,)(0'zQ≠0,P(0z)≠0

則有：

)()(lim00zfzzzz-?=)()()(lim0000zQzPzzzz-?=

羅畢達(dá)法則2

如果z0為f(z)的m階極點(diǎn),則LL010011010)()()()(-++-+-++-++-+-=-m-mmmzzaazzazzazzazf)()(lim00zfzzmzz=-?非零有限值LL1010010101)()()()(+--+---+-+-++-+=mmmmmzzazzazzazzaa0)()(-mzfzz+求得，

)()(lim00zfzzzz-?=非零有限值)()(lim00zfzzmzz=-?非零有限值判斷極點(diǎn)的階

)()(lim00zfzzzz-?=)()()(lim0000zQzPzzzz-?=)]}()[({)!1(1lim)(Re01100zfzzdzdmzsfmmmzz--=--?)]}()[({)!1(1lim)(Re01100zfzzdzdmzsfmmmzz--=--?

求留數(shù)有了以上法則,我們就可以不必把函數(shù)f(z)展開為洛朗級數(shù)就可以判斷極點(diǎn)的階,而且還可以算出函數(shù)f(z)在極點(diǎn)的留數(shù).例1求f(z)=1/(zn-1)在z0=1的留數(shù)解z0=1是函數(shù)的極點(diǎn),由此可得z0=1是單極點(diǎn)另解例2確定函數(shù)f(z)=1/sinz的極點(diǎn),求出函數(shù)在這些極點(diǎn)的留數(shù)解因此可以確定,是極點(diǎn)應(yīng)用羅畢達(dá)法則可以確定上式的極限(-1)n是非零有限值,因此是f(z)=1/sinz的單極點(diǎn),且f(z)在單極點(diǎn)的留數(shù)就是(-1)n例3確定函數(shù)f(z)=(z+2i)/(z5+4z3)的極點(diǎn),求出函數(shù)在這些極點(diǎn)的留數(shù).解對分母先進(jìn)行處理,分離出因式,并約分z0=2i是極點(diǎn)z0=2i是單極點(diǎn),在此點(diǎn)留數(shù)為i/8(1)(2)z0=0是極點(diǎn)z0=0是三級極點(diǎn)由此我們按照計(jì)算m級極點(diǎn)留數(shù)的法則,可得:例4計(jì)算沿單位圓|z|=1的回路積分解令被積函數(shù)的分母為零,可以得到二次代數(shù)方程其兩根為就是函數(shù)f(z)的兩個(gè)單極點(diǎn)單極點(diǎn)