高中數(shù)學橢圓幾何性質練習題

2．1.2橢圓的簡單幾何性質第1課時橢圓的簡單幾何性質雙基達標（限時20分鐘）1．已知橢圓以兩條坐標軸為對稱軸，一個頂點是(0，13)，另一個頂點是(－10，0)，則焦點坐標為()．A．(±13，0) B．(0，±10)C．(0，±13) D．(0，±eq\r(69))解析由題意知，橢圓焦點在y軸上，且a＝13，b＝10，則c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(69)，故焦點坐標為(0，±eq\r(69))．答案D2．橢圓x2＋4y2＝1的離心率為()．A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(2,3)解析將橢圓方程x2＋4y2＝1化為標準方程x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，則a2＝1，b2＝eq\f(1,4)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\f(\r(3),2)，故離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).答案A3．已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)，離心率是eq\f(\r(6),3)，則橢圓C的方程為()．A.eq\f(x2,3)＋y2＝1 B．x2＋eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,3)＝1解析因為eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，且c＝eq\r(2)，所以a＝eq\r(3)，b＝eq\r(a2－c2)＝1.所以橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.答案A4．已知橢圓的短軸長等于2，長軸端點與短軸端點間的距離等于eq\r(5)，則此橢圓的標準方程是________．解析設橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，焦距為2c，則b＝1，a2＋b2＝(eq\r(5))2，即a2＝4.所以橢圓的標準方程是eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,4)＋x2＝1.答案eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,4)＋x2＝15．已知橢圓eq\f(x2,k＋8)＋eq\f(y2,9)＝1的離心率為eq\f(1,2)，則k的值為________．解析當k＋8>9時，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(k＋8－9,k＋8)＝eq\f(1,4)，k＝4；當k＋8<9時，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(9－k－8,9)＝eq\f(1,4)，k＝－eq\f(5,4).答案4或－eq\f(5,4)6．求橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標．解已知方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,1)＝1，所以，a＝2，b＝1，c＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，因此，橢圓的長軸的長和短軸的長分別為2a＝4，2b＝2，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，兩個焦點分別為F1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，橢圓的四個頂點是A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－1)，B2(0，1)．綜合提高（限時25分鐘）7．已知橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，且長軸長是短軸長的2倍，則m＝()．A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．2D．4解析將橢圓方程化為標準方程為x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，∵焦點在y軸上，∴eq\f(1,m)>1，∴0<m<1.由方程得a＝eq\r(\f(1,m))，b＝1.∵a＝2b，∴m(2)對于x軸上的點P(t，0)，橢圓E上存在點M，使得MP⊥MH，求實數(shù)t的取值范圍．解(1)由題意可得，c＝1，a＝2，∴b＝eq\r(3).∴所求橢圓E的標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)設M(x0，y0)(x0≠±2)，則eq\f(xeq\o\al(2,0),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),3)＝1. ①eq\o(MP,\s\up6(→))＝(t－x0，－y0)，eq\o(MH,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，由MP⊥MH可得eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MH,\s\up6(→))＝0，即(t－x0)(2－x0)＋yeq\o\al(2,0)＝0. ②由①②消去y0，整理得t(2－x0