2023屆江西省八所重點(diǎn)中學(xué)高三理數(shù)4月聯(lián)考試卷及答案

高三理數(shù)4月聯(lián)考試卷一、單項(xiàng)選擇題1.復(fù)數(shù)，那么以下說法正確的選項(xiàng)是〔

〕A.

復(fù)數(shù)的實(shí)部為

B.

復(fù)數(shù)的虛部為

C.

復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為

D.

復(fù)數(shù)的模為2.設(shè)集合，，那么集合中元素的個(gè)數(shù)為〔

〕A.

0

B.

1

C.

2

D.

33.假設(shè)，，，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

4.在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)?，那么事件“〞發(fā)生的概率為〔

〕A.

B.

C.

D.

5.正項(xiàng)數(shù)列滿足，是的前項(xiàng)和，且，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

6.定義在上的函數(shù)滿足，，假設(shè)，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)〔

〕A.

沒有零點(diǎn)

B.

有且僅有1個(gè)零點(diǎn)

C.

至少有2個(gè)零點(diǎn)

D.

可能有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)7.在的展開式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，那么含的項(xiàng)系數(shù)為〔

〕A.

45

B.

-45

C.

120

D.

-1208.點(diǎn)，分別是雙曲線：的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是右支上的一點(diǎn).直線與軸交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為，假設(shè)，那么的離心率為〔

〕A.

B.

3

C.

D.

9.在中，內(nèi)角?B?所對(duì)的邊分別為?b?，假設(shè)角?C?成等差數(shù)列，角的角平分線交于點(diǎn)，且，，那么的值為〔

〕A.

3

B.

C.

D.

10.十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的根底.著名的“康托三分集〞是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作：再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作：…，如此這樣，每次在上一次操作的根底上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集〞.假設(shè)使去掉的各區(qū)間長(zhǎng)度之和小于，那么操作的次數(shù)的最大值為〔

〕(參考數(shù)據(jù)：，，，)A.

4

B.

5

C.

6

D.

711.三棱錐的外接球的外表積為，，，，，那么三棱錐的體積為〔

〕A.

8

B.

C.

D.

1612.函數(shù)，那么關(guān)于的方程不可能有〔

〕個(gè)相異實(shí)根.A.

2

B.

3

C.

4

D.

5二、填空題13.用1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)不在相鄰數(shù)位上，那么滿足條件的五位數(shù)共有________個(gè)．〔用數(shù)字作答〕14.點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)到直線的最短距離為________.15.給出以下命題：①垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行；②“〞是“與夾角為鈍角〞的充分不必要條件；③斜二測(cè)畫法中邊長(zhǎng)為2的正方形的直觀圖的面積為；④函數(shù)的最小值為4；⑤，，那么.其中正確的有________(填上你認(rèn)為正確命題的序號(hào))16.平面向量??，滿足，，，那么對(duì)任意，的最大值為________.三、解答題17.函數(shù)只能同時(shí)滿足以下三個(gè)條件中的兩個(gè)：①函數(shù)的最大值為2；②函數(shù)的圖象可由的圖像平移得到；③函數(shù)圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.〔1〕請(qǐng)寫出這兩個(gè)條件的序號(hào)，并求出的解析式；〔2〕銳角中，內(nèi)角??所對(duì)的邊分別為??.，，求周長(zhǎng)的取值范圍.18.如下列圖，在三棱錐中，平面，，，，分別為線段，上的點(diǎn)，且，.〔1〕證明：平面平面；〔2〕求銳二面角的余弦值.19.橢圓：.左焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓外部，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，且的周長(zhǎng)最大值為.〔1〕求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2〕點(diǎn)?為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，為左頂點(diǎn)，假設(shè)直線?分別與軸交于?兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否過定點(diǎn).如果是請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.20.4月30日是全國交通平安反思日，學(xué)校將舉行交通平安知識(shí)競(jìng)賽，第一輪選拔共設(shè)有，，，四個(gè)問題，規(guī)那么如下：①每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分，答對(duì)問題，，，分別加1分，2分，3分，6分，答錯(cuò)任一題減2分；②每答復(fù)一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，假設(shè)累計(jì)分?jǐn)?shù)仍缺乏14分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局，假設(shè)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；③每位參加者按問題，，，順序作答，直至答題結(jié)束.假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問題，，，答復(fù)正確的概率依次為，，，，且各題答復(fù)正確與否相互之間沒有影響.〔1〕求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；〔2〕用表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.21.函數(shù)，.〔1〕討論函數(shù)的單調(diào)性；〔2〕假設(shè)，求的值；〔3〕證明：.22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.〔1〕求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；〔2〕假設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)，求的值.23.函數(shù).〔1〕求不等式的解集；〔2〕假設(shè)，，為正實(shí)數(shù)，函數(shù)的最小值為，且滿足，求的最小值.

答案解析局部一、單項(xiàng)選擇題1.【解析】【解答】，實(shí)部是，虛部是，共軛復(fù)數(shù)是，。故答案為：C．

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法那么求出復(fù)數(shù)z，在留言復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的定義，進(jìn)而求出復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，再利用復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而求出復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的模求解公式，進(jìn)而求出復(fù)數(shù)的模。2.【解析】【解答】依題意，集合中元素的個(gè)數(shù)，即，圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)。如圖所以一共有兩個(gè)交點(diǎn)，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為2。故答案為：C

【分析】依題意，集合中元素的個(gè)數(shù)，即和圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用和圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而得出集合中元素的個(gè)數(shù)。3.【解析】【解答】由題得，，，所以。故答案為：D

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合與特殊值對(duì)應(yīng)的指數(shù)與對(duì)數(shù)大小關(guān)系比較，再結(jié)合誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的圖象，進(jìn)而判斷出a,b,c三者的大小。4.【解析】【解答】如圖表示陰影局部，即事件表示“〞，那么，所以。故答案為：D

【分析】在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)?，那么表示陰影局部，即事件表示“〞再利用定積分求面積的方法結(jié)合幾何概型求概率公式，進(jìn)而求出事件“〞發(fā)生的概率。5.【解析】【解答】由題得，，兩式相減得，所以，所以，所以，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以，所以，所以，所以數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列.令得，解之得，所以。故答案為：A

【分析】利用得出，兩式相減變形得出，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以，所以，所以，再利用等差數(shù)列的定義推出數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，再利用分類討論的方法，令得，解之得，從而滿足等差數(shù)列通項(xiàng)公式的要求，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，進(jìn)而求出數(shù)列的前項(xiàng)和。6.【解析】【解答】由題可知:，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，由，所以，根據(jù)對(duì)稱性可知，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)。故答案為：B

【分析】定義在上的函數(shù)滿足，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，再利用同號(hào)為異號(hào)為負(fù)的性質(zhì)結(jié)合條件，從而結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷出函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，再利用同號(hào)為異號(hào)為負(fù)的性質(zhì)結(jié)合條件，所以，根據(jù)對(duì)稱性可知，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。7.【解析】【解答】∵在的展開式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴在的展開式有11項(xiàng)，即n=10；而展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，令x=1，代入，即，所以a=-1.∴是展開式的通項(xiàng)公式為：，要求含的項(xiàng)，只需10-2r=6，解得r=2，所以系數(shù)為。故答案為：A

【分析】利用條件結(jié)合二項(xiàng)式定理求出展開式中的通項(xiàng)公式，再利用展開式中的通項(xiàng)公式結(jié)合二項(xiàng)式的系數(shù)的性質(zhì)，再結(jié)合條件第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，從而求出a和n的值，再利用展開式中的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出含的項(xiàng)系數(shù)。8.【解析】【解答】如下列圖由,所以，因?yàn)樗?，又所以所以雙曲線方程為：，那么所以離心率為故答案為：D

【分析】利用雙曲線的定義得出結(jié)合，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，進(jìn)而求出a的值，從而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而確定焦點(diǎn)的位置，從而求出a,b的值，再利用雙曲線中a,b,c三者的關(guān)系式，進(jìn)而求出c的值，從而利用雙曲線的離心率公式，進(jìn)而求出雙曲線的離心率。9.【解析】【解答】因?yàn)槭瞧椒志€，所以，，，角??成等差數(shù)列，所以，而，所以，在中，，即，在中，，即，由，解得。故答案為：C．

【分析】因?yàn)槭瞧椒志€，所以，，，再利用角??成等差數(shù)列，再結(jié)合三角形內(nèi)角和為180度的性質(zhì)，進(jìn)而求出角C的值，在中利用余弦定理，得出，在中利用余弦定理得出，再結(jié)合條件，從而解方程組求出a,b,c的值。10.【解析】【解答】記表示第次去掉的長(zhǎng)度，所以，第2次操作，去掉的線段長(zhǎng)為，，第次操作，去掉的線段長(zhǎng)度為，所以，那么，由，，所以的最大值為5。故答案為：B

【分析】記表示第次去掉的長(zhǎng)度，利用條件，所以，第2次操作，去掉的線段長(zhǎng)為，，第次操作，進(jìn)而找出規(guī)律得出去掉的線段長(zhǎng)度為，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合條件得出，由，，進(jìn)而求出的最大值。11.【解析】【解答】設(shè)球半徑為，那么，，而，所以是球的直徑，球心是中點(diǎn)，，所以中點(diǎn)是直角外心，所以平面，又平面，所以，，，，所以是中點(diǎn)，所以。故答案為：A．

【分析】設(shè)球半徑為，再利用球的外表積公式結(jié)合條件三棱錐的外接球的外表積為，進(jìn)而求出球的半徑，而，所以是球的直徑，球心是中點(diǎn)，，所以中點(diǎn)是直角外心，所以平面，再利用線面垂直的定義證出線線垂直，所以，再利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)求出AE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出OE的長(zhǎng)，所以是中點(diǎn)，再利用三棱錐體積之間的關(guān)系結(jié)合三棱錐的體積公式，進(jìn)而求出三棱錐的體積。12.【解析】【解答】，或時(shí)，，時(shí)，，所以在和上遞增，在上遞減，極大值為，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，且恒成立，設(shè)，那么當(dāng)，無解，當(dāng)時(shí)，有三解，時(shí)，有二解，時(shí)，有一解．為，，時(shí)等號(hào)成立．，方程無解，，即時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，原方程有1個(gè)解，，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，方程為，，那么中一個(gè)不大于，一個(gè)不小于．不妨設(shè)，在坐標(biāo)系中，作函數(shù)的圖象，作直線，它們的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為〔有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)〕，由圖可知，假設(shè)，，此時(shí)，有2個(gè)根，有1個(gè)根，共有3個(gè)根，時(shí)，，，有3個(gè)根，有1個(gè)根，共有4個(gè)根，時(shí)，，，有1個(gè)根，有1個(gè)根，共有2個(gè)根，因此不可能有5個(gè)根．故答案為：D．

【分析】利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)g(x)的極大值，再利用函數(shù)求極限的方法和不等式恒成立的問題求解方法，進(jìn)而設(shè)，再利用分類討論的方法得出的解的個(gè)數(shù)，再利用為，，時(shí)等號(hào)成立，再利用分類討論的方法得出方程的解的個(gè)數(shù)，再結(jié)合方程為，，那么中一個(gè)不大于，一個(gè)不小于，不妨設(shè)，在坐標(biāo)系中，作函數(shù)的圖象，作直線，它們的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為〔有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)〕，由圖結(jié)合分類討論的方法可知和的根的個(gè)數(shù)，進(jìn)而得出關(guān)于的方程不可能有5個(gè)相異的實(shí)根。二、填空題13.【解析】【解答】先安排三位奇數(shù)，得到四個(gè)空位，再從四個(gè)空位中選出兩個(gè)空位安排偶數(shù)，共有個(gè)。故答案為：72。

【分析】利用條件結(jié)合排列數(shù)公式，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，進(jìn)而求出滿足條件的五位數(shù)的個(gè)數(shù)。14.【解析】【解答】設(shè)與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)P〔x0，y0〕，，所以，，解得，，∴點(diǎn)到直線的距離為最小距離。故答案為：。

【分析】設(shè)與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)P〔x0，y0〕，再利用求導(dǎo)的方法求出函數(shù)在切點(diǎn)處的切線的斜率，進(jìn)而結(jié)合切點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍，從而求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用幾何法結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，進(jìn)而求出點(diǎn)到直線的距離為最小距離。15.【解析】【解答】①直棱柱的側(cè)面都與底面垂直，但側(cè)面之間不一定平行，①錯(cuò)；②當(dāng)反向時(shí)，，但的夾角不是鈍角，不是充分條件，②錯(cuò)；③先說明當(dāng)直角三角形的兩條直角邊與坐標(biāo)平行時(shí)，此時(shí)不妨把直角頂點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，其直觀圖為，，，，，如果斜邊在其它象限最多把上式中改為，結(jié)果不變．而平面上任意多邊形都可以用直角邊與坐標(biāo)軸平行的直角三角形組合而成．因此可知斜二測(cè)畫法中直觀圖面積是原圖形面積的，邊長(zhǎng)為2的正方形面積為4，其直觀圖面積為，③正確；④，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，但，因此4不可能是最小值．④錯(cuò)誤；⑤，時(shí)，，⑤正確．故答案為：③⑤．

【分析】利用兩平面平行的判定定理，充分條件、必要條件的判斷方法，斜二測(cè)法畫直觀圖結(jié)合條件求平面圖形直觀圖的面積，均值不等式求最值的方法，兩角差的正切公式，進(jìn)而得出正確命題的序號(hào)。16.【解析】【解答】由，，可設(shè)，由，把坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)可得：，所以點(diǎn)的軌跡方程為，又因?yàn)?，所以求的最大值即兩個(gè)圓、上動(dòng)點(diǎn)最大值，如下列圖;當(dāng)過兩圓的圓心時(shí)有最大，即。故答案為：。

【分析】由，，可設(shè)，由，再利用數(shù)量積運(yùn)算法那么結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)而求出點(diǎn)C的軌跡方程，再利用向量的模的坐標(biāo)表示結(jié)合幾何法得出的最大值即兩個(gè)圓、上動(dòng)點(diǎn)最大值，那么當(dāng)過兩圓的圓心時(shí)有最大，再利用兩點(diǎn)距離公式，進(jìn)而求出對(duì)任意，的最大值。三、解答題17.【解析】【分析】〔1〕因?yàn)棰佗趦蓚€(gè)條件矛盾，最大值不相同，②③兩個(gè)條件也矛盾，周期不相同．只有選①③，由①結(jié)合正弦型函數(shù)最大值求解方法得出，由③知函數(shù)圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，從而求出最小正周期是，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式，進(jìn)而求出的值，進(jìn)而求出函數(shù)f(x)的解析式。

〔2〕因?yàn)樵阡J角中，內(nèi)角??所對(duì)的邊分別為??，，，得出，所以，再利用正弦定理結(jié)合三角形中三內(nèi)角和為180度的性質(zhì)結(jié)合條件，進(jìn)而求出，，從而結(jié)合兩角和的正弦公式和輔助角公式，進(jìn)而得出b+c為正弦型函數(shù)，因?yàn)?，再利用換元法將正弦型函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的圖像求出正弦型函數(shù)的值域，進(jìn)而求出b+c的取值范圍，再結(jié)合a的值，進(jìn)而求出三角形周長(zhǎng)的取值范圍。18.【解析】【分析】(1)因?yàn)?，，再利用勾股定理得出三角形為直角三角形且，所以，再利用線面垂直的定義證出線線垂直，即，再利用線線垂直證出線面垂直，所以平面，再利用線面垂直證出面面垂直，即證出平面平面。

〔2〕過作于，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且，所以，因?yàn)椋浴?，再利用兩直線平行對(duì)應(yīng)邊成比例，所以，得，因?yàn)槠矫?，，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示求出向量的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積求向量夾角公式，進(jìn)而求出銳二面角的余弦值。19.【解析】【分析】〔1〕橢圓：，左焦點(diǎn)，進(jìn)而求出右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)距離公式結(jié)合條件得出，所以，再利用橢圓的定義得出，所以，即點(diǎn)為與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，周長(zhǎng)最大，因?yàn)?/p>

從而求出a,c的值，再利用橢圓中a,b,c三者的關(guān)系式，進(jìn)而求出b的值，從而