高中數(shù)學函數(shù)模型及其應用

高中數(shù)學函數(shù)模型及其應用第一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二1．三種函數(shù)模型之間增長速度的比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增減性_______________________________________增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)大小比較存在一個x0，當x＞x0時，有______________單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增logax＜xn＜ax第二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二第三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二1．函數(shù)y＝x2與y＝2x在(0，＋∞)上函數(shù)值是如何變化的？【提示】

當x∈(0，2)時，2x＞x2，當x∈(2，4)時，x2＞2x，當x∈(4，＋∞)時，2x＞x2.2．直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長各有什么特點？【提示】

直線上升，勻速增長；指數(shù)增長，先慢后快，其增長量成倍增加，可用“指數(shù)爆炸”形容；對數(shù)增長；先快后慢，其增長速度緩慢．第四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二1．(人教A版教材習題改編)一根蠟燭長20cm，點燃后每小時燃燒5cm，燃燒時剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(h)的函數(shù)關系用圖象表示為圖中的(

)第五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二【解析】

由題意知h＝20－5t，故選B.【答案】

B第六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二2．擬定甲地到乙地通話m分鐘的電話費f(m)＝0.5×[m]＋1(單位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整數(shù)(如[3.62]＝3，[4]＝4)，當m∈[0.5，3.2]時，函數(shù)f(m)的值域是(

)A．{1，2，3，4}

B．{1，1.5，2，2.5}C．{1，1.5，2.5，3} D．{1.5，2，2.5}【解析】當m∈[0.5，3.2]時，[m]所有可能值為0，1，2，3共四個，故f(m)的值域為{1，1.5，2，2.5}．【答案】

B第七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二【答案】

B第八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二4．某種儲蓄按復利計算利息，若本金為a元，每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y元，則本利和y隨存期x變化的函數(shù)關系式是________．【解析】

已知本金為a元，利率為r，則1期后本利和為y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和為y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和為y＝a(1＋r)3，…x期后本利和為y＝a(1＋r)x，x∈N.【答案】

y＝a(1＋r)x，x∈N第九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二5．(2013·武漢模擬)里氏震級M的計算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅．假設在一次地震中．測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級，9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的________倍．第十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二【答案】

6

10000第十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二第十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二第十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二【審題視點】

計算實施規(guī)劃前后10年總利潤，通過比較可知該規(guī)劃方案是否具有實施價值．第十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二第十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二第十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二1．本題在求規(guī)劃實施前最大利潤時，易忽視二次函數(shù)的特性，直接把x＝60代入求解，造成錯誤答案．2．(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯．(2)解決函數(shù)應用問題時，最后要還原到實際問題．第十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關系如圖2－9－1(1)；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2－9－1(2)(注：利潤和投資單位：萬元)．第十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤？②問：如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？第十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二第二十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二第二十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二 已知某物體的溫度θ(單位：攝氏度)隨時間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律是：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m＞0)．(1)如果m＝2，求經(jīng)過多少時間，物體的溫度為5攝氏度；(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．【思路點撥】

(1)解關于2t的一元二次方程求解．(2)轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解．第二十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二第二十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二第二十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二1．解答本題的關鍵是把所求解問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程或二次函數(shù)問題求解．2．(1)指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結合進行考查，在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來表示．(2)應用指數(shù)函數(shù)模型時，先設定模型將有關已知數(shù)據(jù)代入計算驗證，確定參數(shù)．第二十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二第二十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二第二十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二 (2013·杭州模擬)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．第二十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二(1)當0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達式；(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時)【思路點撥】

(1)當20≤x≤200時，運用待定系數(shù)法求v(x)的解析式，進而確定當0≤x≤200時，分段函數(shù)v(x)．(2)根據(jù)(1)求出f(x)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式求最值．第二十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二第三十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二第三十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二第三十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二1．理解題意，由待定系數(shù)法，準確求出v(x)，是求解本題的關鍵．要注意分段函數(shù)各段變量的取值范圍，特別是端點值．2．實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成，如出租車票價與路程之間的關系，應構建分段函數(shù)模型求解．第三十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二第三十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二(1)從藥物釋放開始，求每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關系式；(2)據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少個小時后，學生才能回到教室？第三十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二第三十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二第三十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二特別關注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域．第三十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二解決實際應用題的一般步驟(1)審題：深刻理解題意，分清條件和結論，理順其中的數(shù)量關系，把握其中的數(shù)學本質(zhì)；(2)建模：由題設中的數(shù)量關系，建立相應的數(shù)學模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；(3)解模：用數(shù)學知識和方法解決轉(zhuǎn)化出的數(shù)學問題；(4)還原：回到題目本身，檢驗結果的實際意義，給出結論．第三十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二從近兩年高考試題看，對函數(shù)的實際應用問題的考查，更多地以社會實際生活為背景，設問新穎，靈活；題型以解答題為主，難度中等偏上，常與基本不等式、導數(shù)等知識交匯，考查學生分析問題、解決問題的能力．第四十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二規(guī)范解答之二函數(shù)建模在實際問題中的應用) (14分)(2012·江蘇高考)如圖2－9－3，建第四十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二(1)求炮的最大射程．(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．第四十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二第四十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二【解題程序】第一步：根據(jù)題意建立方程，確定x、k的范圍；第二步：建立炮的射程的函數(shù)模型，并求最大值；第三步：把所求問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題；第四步：把方程有解問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有正根問題；第五步：列不等式求解，用數(shù)學結果回答實際問題．

第四十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二易錯提示：(1)未讀懂題意，不能建立x與k的函數(shù)關系．(2)不能把炮彈擊中目標轉(zhuǎn)化為關于k的一元二次方程有正根問題．(3)不能正確列不等式求解．防范措施：(1)求解函數(shù)實際問題，審題是關鍵，要弄清相關“名詞”準確尋求各量之間的關系．(2)在求解過程中應分清變量之間的辨證關系，結合所求，合理轉(zhuǎn)化．第四十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二(3)根據(jù)一元二次方程列不等式(組)時，首先判斷兩根之和與兩根之積的正負，根據(jù)它們的正負確定如何列不等式(組)．第四十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二1．(2013·宜春模擬)某市原來居民用電價為0.52元/kw·h，換裝分時電表后，峰時段(早上8點到晚上9點)的電價0.55元/kw·h，谷時段(晚上9點到次日早上8點)的電價為0.35/kw·h，對于一個平均每月用電量為200kw·h的家庭，換裝分時電表后，每月節(jié)省的電費不少于原來電費的10%，則這個家庭每月在峰時段的平均用電量至多為(

)A．110kw·h

B．114kw·hC．118kw·h

D．120kw·h第四十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二【解析】

設在峰時段的平均用電量為xkw·h，由題意知0.52×200－[0.55x＋0.35(200