2022-2023學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)全集為R，集合，，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：由題意首先求得，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可得：，結(jié)合交集的定義可得：.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查交集的運(yùn)算法則，補(bǔ)集的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2．兩個(gè)變量與的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同的模型，它們的相關(guān)系數(shù)如下表，其中擬合效果最好的模型是（

）模型模型1模型2模型3模型4相關(guān)系數(shù)A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4【答案】B【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，判斷的大小，即可判斷選項(xiàng).【詳解】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可知，越大，約接近于1，則擬合效果越好.由數(shù)據(jù)可知，模型2的相關(guān)系數(shù)最大，所以擬合效果最好.故選：B3．已知2，，成等比數(shù)列，則a的值為（

）A．2 B．4 C．2或4 D．無(wú)法確定【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】依題意，，故，解得a＝2．故選：A4．某質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)是（），則當(dāng)時(shí)，它的速度對(duì)的瞬時(shí)變化率（即加速度）是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意可先求出，再求出即可.【詳解】由題可得，即，，.故選：A.5．拋擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣（兩面圖案分別為“花”“字”）一次，記“花”面朝上的概率為，令隨機(jī)變量，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可得服從兩點(diǎn)分布，然后根據(jù)方差的概念即得.【詳解】由題知，服從兩點(diǎn)分布，且，所以.故選：D.6．某試驗(yàn)分5個(gè)程序，其中程序B、C實(shí)施時(shí)必須相鄰，則試驗(yàn)的實(shí)施方法有（

）A．24種 B．48種 C．96種 D．120種【答案】B【分析】利用捆綁法：先將B、C作為一個(gè)整體，再與剩余程序排列即可.【詳解】先將B、C作為一個(gè)整體，共有種；再與剩余程序排列，共有種；所以共有種.故選：B.7．若過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線，垂線交軸于點(diǎn)（為雙曲線的半焦距），則此雙曲線的離心率是A． B． C．2 D．【答案】A【解析】不妨取雙曲線的左焦點(diǎn)，由題得方程，化簡(jiǎn)即得解.【詳解】不妨取雙曲線的左焦點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，根據(jù)題意，得點(diǎn)在直線上，，.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和離心率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.8．若函數(shù)存在增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】C【分析】先假設(shè)函數(shù)不存在增區(qū)間，則單調(diào)遞減，利用的導(dǎo)數(shù)恒小于零列不等式，將不等式分離常數(shù)后，利用配方法求得常數(shù)的取值范圍，再取這個(gè)取值范圍的補(bǔ)集，求得題目所求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)不存在增區(qū)間，則函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)在區(qū)間恒成立，可得，則，可得，故函數(shù)存在增區(qū)間時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式恒成立問(wèn)題的求解策略，屬于中檔題.二、多選題9．若且，則實(shí)數(shù)m的值可以為（

）A． B． C．0 D．1【答案】AD【分析】令可得，解得即可.【詳解】因?yàn)?，令可得，所以，所以或，解得?故選：AD10．下列不等式中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用作差法判斷選項(xiàng)ABC的正誤，利用基本不等式的使用條件判斷D錯(cuò)誤即可.【詳解】∵，故，A正確；，，的符號(hào)不定，所以與的大小不定，B錯(cuò)誤；，故，C正確；，當(dāng)時(shí)，成立，但當(dāng)時(shí)，，則不成立，故錯(cuò)誤．故選：BD．11．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且X落在區(qū)間內(nèi)的概率和落在區(qū)間內(nèi)的概率相等．若，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性以及區(qū)間概率關(guān)系可得，再根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性求對(duì)應(yīng)區(qū)間概率，最后對(duì)照選項(xiàng)作選擇.【詳解】因?yàn)檎龖B(tài)分布關(guān)于對(duì)稱，且X落在區(qū)間內(nèi)的概率和落在區(qū)間內(nèi)的概率相等，則，故A正確；可得正態(tài)分布關(guān)于對(duì)稱，則，又因?yàn)?，則，，故C、D正確；但無(wú)法確定的大小，故B錯(cuò)誤；故選：ACD.12．下列不等式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，然后由、、、得出每個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】令，則，令得易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以①，即，即，故A正確②，即，所以可得，故B錯(cuò)誤③，即，即所以，所以，故C正確④，即，即，即所以，故D錯(cuò)誤故選：AC【點(diǎn)睛】本題考查的是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，解題的關(guān)鍵是函數(shù)的構(gòu)造和自變量的選擇，屬于較難題.三、填空題13．集合的非空真子集的個(gè)數(shù)是______．【答案】【分析】首先解一元二次不等式，即可求出集合，再根據(jù)含有個(gè)元素的集合有個(gè)非空真子集計(jì)算可得.【詳解】由，即，解得，所以，即集合含有個(gè)元素，故集合的非空真子集有個(gè).故答案為：14．若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a能取的最大整數(shù)為_(kāi)______________．【答案】【分析】先由集合與充分必要的關(guān)系得到是的真子集，從而利用數(shù)軸法得到，由此得解.【詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以是的真子集，因?yàn)榈葍r(jià)于，所以是的真子集，所以，所以實(shí)數(shù)a能取的最大整數(shù)為.故答案為：.15．盒中有個(gè)紅球，個(gè)黑球，今隨機(jī)地從中取出一個(gè)，觀察其顏色后放回，并加上同色球個(gè)，再?gòu)暮兄谐槿∫磺?，則第二次抽出的是黑球的概率是_________．【答案】/【分析】根據(jù)，由全概率公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】記事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；則；，；，，.故答案為：.16．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若，則此拋物線方程為_(kāi)_________．【答案】【分析】作準(zhǔn)線于，準(zhǔn)線于，設(shè)，由拋物線定義得，結(jié)合求得，進(jìn)而求出，即可求得拋物線方程.【詳解】如圖，作準(zhǔn)線于，準(zhǔn)線于，設(shè)，由拋物線定義得，，故，在直角三角形中，因?yàn)?，，所以，從而得，設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于，則，所以，因此拋物線方程為.故答案為：.四、解答題17．設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，已知，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，且的前n項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差，進(jìn)而求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論得到，利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為的等差數(shù)列，且，所以，則或.又，，∴.（2）由（1）可得，，∴18．設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可得函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，再求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，即可求出函數(shù)的值域.【詳解】（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值即最小值，所以，又，，又，所以，所以.19．某網(wǎng)站統(tǒng)計(jì)了某網(wǎng)紅螺螄粉在2022年9月至2023年2月（月份代碼為1~6）的銷售量y（單位：萬(wàn)份），得到以下數(shù)據(jù)：月份代碼x123456銷售量y6710111214(1)由表中所給數(shù)據(jù)求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)為調(diào)查顧客對(duì)該網(wǎng)紅螺螄粉的喜歡情況，隨機(jī)抽查了200名顧客，得到如下列聯(lián)表，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下面的列聯(lián)表，并判斷依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“顧客是否喜歡該網(wǎng)紅螺螄粉與性別有關(guān)”．喜歡不喜歡合計(jì)男100女60合計(jì)110（參考公式：經(jīng)驗(yàn)回歸方程：，其中，），其中．臨界值表：0.010.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析；能認(rèn)為“顧客是否喜歡該網(wǎng)紅螺螄粉與性別有關(guān)”【分析】（1）根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式，計(jì)算出回歸直線方程.（2）根據(jù)已知條件填寫(xiě)列聯(lián)表，計(jì)算的值，由此作出判斷.【詳解】（1）依題意可得，，，，所以，所以，所以.（2）依題意可得列聯(lián)表如下：喜歡不喜歡合計(jì)男7030100女4060100合計(jì)11090200所以，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為“顧客是否喜歡該網(wǎng)紅螺螄粉與性別有關(guān)”．20．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值1.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于x的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）根據(jù)，可得可得結(jié)果.（2）根據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想，可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并比較的極值與的大小關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）由，有，又有，解得：，，故函數(shù)的解析式為（2）由（1）有可知：故函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，所以的極小值為，極大值為由關(guān)于x的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即等價(jià)于函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)實(shí)數(shù)m的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)極值求函數(shù)的解析式，還考查了方程的根與函數(shù)圖像交點(diǎn)的等價(jià)轉(zhuǎn)換，屬基礎(chǔ)題.21．某射擊俱樂(lè)部將要舉行移動(dòng)靶射擊比賽．比賽規(guī)則是每位選手可以選擇在區(qū)射擊3次或選擇在區(qū)射擊2次，在區(qū)每射中一次得3分，射不中得0分；在區(qū)每射中一次得2分，射不中得0分．已知參賽選手甲在區(qū)和區(qū)每次射中移動(dòng)靶的概率分別是和．(1)若選手甲在區(qū)射擊，求選手甲至少得3分的概率．(2)我們把在、兩區(qū)射擊得分的數(shù)學(xué)期望較高者作為選擇射擊區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)，如果選手甲最終選擇了在區(qū)射擊，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出對(duì)立事件的概率，在得出選手甲至少得3分的概率；（2）分別求出在，區(qū)的得分的數(shù)學(xué)期望，從而得出不等式，解出的范圍．【詳解】（1）選手甲在區(qū)射擊不得分的概率為，選手甲在區(qū)射擊至少得3分的概率為．（2）設(shè)選手甲在區(qū)射擊的得分為，在乙區(qū)射擊的得分為，則的可能取值為0，3，6，9，的可能取值為0，2，4，則，，，，，，，，，，又，．22．已知函數(shù)，，且．(1)當(dāng)m＝1時(shí)，求函數(shù)在x＝1處的切線方程；(2)若恒成立，在上存在最小值，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，最值，解決恒成立求參數(shù)的值，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)m＝1時(shí)，，定義域?yàn)椋?，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為：，而，所以切線的斜率為：，故切線的方程為：，即.（2）因?yàn)?，所以，，，因?yàn)?，所以，所?所以，，令，則或，