第6講-函數(shù)的單調(diào)性與最值課件

課前雙基鞏固

課堂考點(diǎn)探究

教師備用例題第二單元

函數(shù)第6講函數(shù)的單調(diào)性與最值內(nèi)容要求借助函數(shù)圖像,會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值,理解它們

的作用和實(shí)際意義.

增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2當(dāng)x1<x2時(shí),都有

,那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)

當(dāng)x1<x2時(shí),都有

,那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)

1.單調(diào)函數(shù)的定義

知識(shí)聚焦f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)

增函數(shù)減函數(shù)圖像描述自左向右看圖像是

自左向右看圖像是

（續(xù)表）上升的下降的2.單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是

,那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,

叫作函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

增函數(shù)或減函數(shù)區(qū)間D3.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M(1)對(duì)于任意x∈I,都有

;

(2)存在x0∈I,使得

結(jié)論M為最大值M為最小值f(x)≥Mf(x0)=M

3.函數(shù)最值的結(jié)論:(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值,當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值一定在端點(diǎn)處取得.(2)開(kāi)區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值或最小值.

對(duì)點(diǎn)演練題組一常識(shí)題1.[教材改編]函數(shù)f(x)=(2a-1)x-3是R上的減函數(shù),則a的取值范圍是

.

2.[教材改編]函數(shù)f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的單調(diào)遞增區(qū)間是

;單調(diào)遞減區(qū)間是

.

[解析]由函數(shù)f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的圖像(圖略)即可得到單調(diào)區(qū)間.

4.[教材改編]函數(shù)f(x)=|x-a|+1在[2,+∞)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

[解析]函數(shù)f(x)=|x-a|+1的單調(diào)遞增區(qū)間是[a,+∞),當(dāng)f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增時(shí),滿足[2,+∞)?[a,+∞),所以a≤2.

(-∞,-3)

題組二

常錯(cuò)題◆索引:求單調(diào)區(qū)間忘記定義域?qū)е鲁鲥e(cuò);求分段函數(shù)的單調(diào)性時(shí)忘記整體考慮;利用單調(diào)性解不等式時(shí)忘記在單調(diào)區(qū)間內(nèi)求解;混淆“單調(diào)區(qū)間”與“在區(qū)間上單調(diào)”兩個(gè)概念.

7.函數(shù)y=f(x)是定義在[-2,2]上的減函數(shù),且f(a+1)<f(2a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

[-1,1)8.(1)若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

(2)若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,4],則a的值為

.

[解析]

(1)函數(shù)f(x)的圖像的對(duì)稱軸為直線x=1-a,由1-a≥4,得a≤-3.(2)函數(shù)f(x)的圖像的對(duì)稱軸為直線x=1-a,由1-a=4,得a=-3.a≤-3-3探究點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

[思路點(diǎn)撥]直接判斷單調(diào)性即可,再按照單調(diào)性的定義證明單調(diào)性.

[總結(jié)反思](1)定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟:①任取x1,x2∈D,且x1<x2;②作差f(x1)-f(x2);③變形(通常是因式分解和配方);④定號(hào)(即判斷f(x1)-f(x2)的正負(fù));⑤下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

BC

A探究點(diǎn)二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

D

D

[0,2)[總結(jié)反思](1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常見(jiàn)方法:①定義法;②圖像法;③導(dǎo)數(shù)法.(2)求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為:①確定函數(shù)的定義域;②求簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;③求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,其依據(jù)是“同增異減”.(3)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示,有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開(kāi)寫(xiě),不能用并集符號(hào)“∪”連接.

[解析]函數(shù)f(x)=log2(x2-3x-4)的定義域?yàn)閧x|x>4或x<-1},y=x2-3x-4(x>4或x<-1)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1),所以函數(shù)f(x)=log2(x2-3x-4)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1),故選A.A(2)[2019·貴陽(yáng)二模]

下列關(guān)于函數(shù)f(x)=|x-1|-1的結(jié)論,正確的(

)A.f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增

B.f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減C.f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞增

D.f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減

D

探究點(diǎn)三利用函數(shù)單調(diào)性解決問(wèn)題微點(diǎn)1利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小[思路點(diǎn)撥]先確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性,再依據(jù)自變量的大小比較函數(shù)值的大小.

D

D[總結(jié)反思]比較函數(shù)值的大小時(shí),若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),則要利用其函數(shù)性質(zhì),轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行比較,對(duì)于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖像法求解.例4(1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意的x1,x2且x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0成立,若f(x2+1)>f(m2-m-1)對(duì)任意x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A.(-1,2)B.[-1,2]C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,-1]∪[2,+∞)微點(diǎn)2利用函數(shù)的單調(diào)性解決不等式問(wèn)題[思路點(diǎn)撥]由題意可知函數(shù)f(x)為增函數(shù),據(jù)此列出關(guān)于x的不等式求解即可.[解析]由題可知函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),因?yàn)閒(x2+1)>f(m2-m-1)對(duì)任意x∈R恒成立,所以m2-m-1<(x2+1)min,即m2-m-1<1,解得-1<m<2,故選A.A

[總結(jié)反思]利用函數(shù)單調(diào)性解不等式的具體步驟是:(1)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)>f(x2)的形式;(2)考查函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(3)根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性去掉法則“f”,轉(zhuǎn)化為形如“x1>x2”或“x1<x2”的常規(guī)不等式,從而得解.

微點(diǎn)3利用函數(shù)的單調(diào)性求最值問(wèn)題[思路點(diǎn)撥]對(duì)原函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)變形,利用常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性確定f(x)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)的最大值和最小值.

C

C

[思路點(diǎn)撥]分a>1和0<a<1兩種情況,討論函數(shù)f(x)在每段區(qū)間上的單調(diào)性與最值情況,即可求解.

[解析]①若a>1,則當(dāng)x≤1時(shí),f(x)=ax+a單調(diào)遞增,此時(shí)a<f(x)≤2a;當(dāng)1<x≤a時(shí),f(x)=a-x+1單調(diào)遞減,當(dāng)x>a時(shí),f(x)=x-a+1單調(diào)遞增,故當(dāng)x>1時(shí),f(x)的最小值為f(a)=1.若f(x)有最小值,則a>1.C

C[總結(jié)反思]若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào),則必在區(qū)間的端點(diǎn)處取得最值;若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上不單調(diào),則最小值為函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極小值和區(qū)間端點(diǎn)值中最小的值,最大值為函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值和區(qū)間端點(diǎn)值中最大的值.

微點(diǎn)4利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)[思路點(diǎn)撥]根據(jù)一次函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義得到不等式組,解出即可.

A(2)已知函數(shù)f(x)=e|x-a|(a為常數(shù)),若f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),則a的取值范圍是

.

[思路點(diǎn)撥]根據(jù)解析式求出所給函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,利用[1,+∞)是所得單調(diào)遞增區(qū)間的子集,求得a的取值范圍.(2)已知函數(shù)f(x)=e|x-a|(a為常數(shù)),若f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),則a的取值范圍是

.

(-∞,1][總結(jié)反思]

(1)視參數(shù)為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖像或單調(diào)性的定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù);(2)若分段函數(shù)是單調(diào)函數(shù),則不僅要保證在各區(qū)間上單調(diào)性一致,還要確保在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)的.

應(yīng)用演練

C2.【微點(diǎn)2】[2020·佛山一中月考]

已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)閇0,+∞)的減函數(shù),且f(2)=-1,則滿足f(2x-4)>-1的實(shí)數(shù)x的取值范圍是(

)A.(3,+∞) B.(-∞,3)C.[2,3) D.[0,3)[解析]

∵f(2)=-1,∴f(2x-4)>-1為f(2x-4)>f(2),又∵f(x)是定義域?yàn)閇0,+∞)的減函數(shù),∴0≤2x-4<2,解得2≤x<3.故選C.C3.【微點(diǎn)2】[2019·新鄉(xiāng)三模]

已知函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,且當(dāng)x∈[-2,1]時(shí),f(x)=x2-2x-4,則關(guān)于x的不等式f(x)<-1的解集為(

)A.(-∞,-1) B.(-∞,3)C.(-1,3) D.(-1,+∞)[解析]當(dāng)x∈[-2,1]時(shí),由f(x)=x2-2x-4=-1,得x=-1或x=3(舍),所以f(x)<-1可化為f(x)<f(-1).又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,所以x>-1,所以f(x)<-1的解集為(-1,+∞).故選D.D

D5.【微點(diǎn)4】已知函數(shù)f(x)=x2-6x+8在[1,a)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,3] B.[0,3]C.[3,+∞) D.(1,3][解析]由題可得二次函數(shù)f(x)=x2-6x+8的圖像的開(kāi)口向上