2022-2023學(xué)年四川省成都市新津中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年四川省成都市新津中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某校食堂使用大小、手感完全一樣的餐票，小明口袋里有一元餐票2張，兩元餐票3張，五元餐票1張，若從他口袋中隨意摸出2張，則其面值之和不少于4元的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】從他口袋中隨意摸出2張，基本事件總數(shù)n=，再求出其面值之和不少于4元包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能示出從他口袋中隨意摸出2張，其面值之和不少于4元的概率．【解答】解：小明口袋里有一元餐票2張，兩元餐票3張，五元餐票1張，從他口袋中隨意摸出2張，基本事件總數(shù)n==15，其面值之和不少于4元包含的基本事件個(gè)數(shù)m==8，∴從他口袋中隨意摸出2張，其面值之和不少于4元的概率：p==．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．2.設(shè)a＞0，且x，y滿足約束條件，若z=x+y的最大值為7，則的最大值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用；簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，利用z=x+y的最大值為7，推出直線x+y=7與x+4y﹣16=0的交點(diǎn)A必在可行域的邊緣頂點(diǎn)，得到a，利用所求的表達(dá)式的幾何意義，可得的最大值．【解答】解：作出不等式組約束條件表示的平面區(qū)域，直線x+y=7與x+4y﹣16=0的交點(diǎn)A必在可行域的邊緣頂點(diǎn)．解得，即A（4，3）在3ax﹣y﹣9=0上，可得12a﹣3﹣9=0，解得a=1．的幾何意義是可行域的點(diǎn)與（﹣3，0）連線的斜率，由可行域可知（﹣3，0）與B連線的斜率最大，由可得B（﹣1，），的最大值為：=．故選：D．3.已知，若，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的值為A.－1 B.－2 C.1 D.2參考答案：A【分析】根據(jù)題意，由偶函數(shù)的定義可得，解可得a的值，驗(yàn)證的單調(diào)性即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則有，解可得：，當(dāng)時(shí)，，在上不是增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用，其中解中利用函數(shù)奇偶性的定義，得出的值，再借助函數(shù)的單調(diào)進(jìn)行判定是解答的關(guān)鍵，同時(shí)注意對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.下面四個(gè)命題：①“直線直線”的充要條件是“平行于所在平面”；②“直線、為異面直線”的充分不必要條件是“直線、不相交”；③“直線平面內(nèi)所有直線”的充要條件是“平面”；④“平面平面”的必要不充分條件是“內(nèi)存在不共線三點(diǎn)到的距離相等”；其中正確命題的序號(hào)是(

)

A.①②

B.②④

C.③④

D.②③

參考答案：C略6.已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a=A． B． C． D．1

參考答案：C

7.直線與圓相交于兩點(diǎn)，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A8.已知a、b、c為三條不重合的直線，下面結(jié)論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c.其中正確的個(gè)數(shù)為()A.0個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.3個(gè)參考答案：B略9.已知集合，，則A. B.C. D.參考答案：C【分析】化簡(jiǎn)集合，然后計(jì)算和，得到答案.【詳解】集合，即,而，所以，故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集、并集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.10.函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足xf′（x）+2f（x）＞0，則（）A．4f（﹣2）＜f（﹣1） B．4f（4）＜f（2） C．4f（2）＞﹣f（﹣1） D．3f（）＞4f（2）參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】根據(jù)題目給出的條件2f（x）+xf′（x）＞0，想到構(gòu)造函數(shù)g（x）=x2f（x），求導(dǎo)后分析該函數(shù)的單調(diào)性，從而能判出函數(shù)的極小值點(diǎn)，進(jìn)一步得到函數(shù)g（x）恒大于0，則有f（x）恒大于0，再利用函數(shù)的單調(diào)性，分別比較大小，即可得到答案．【解答】解：令g（x）=x2f（x），則g′（x）=2xf（x）+x2f′（x），=x[2f（x）+xf′（x）]，∵2f（x）+xf′（x）＞0，∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）＜0，所以函數(shù)g（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)．∴當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)g（x）有極小值，也就是最小值為g（0）=0．所以g（x）=x2f（x）恒大于等于0，當(dāng)x≠0時(shí)，由x2f（x）恒大于0，可得f（x）恒大于0．又對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，取x=0時(shí)，有2f（0）+0×f（0）＞0，所以f（0）＞0．綜上有f（x）恒大于0．g（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)．∴g（﹣2）＞g（﹣1），即4f（﹣2）＞f（﹣1），故A錯(cuò)誤；g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．∴g（4）＞g（2），即4f（4）＞f（2），故B錯(cuò)誤；∵f（x）恒大于0，∴﹣f（﹣1）＜0，4f（2）＞0，∴4f（2）＞﹣f（﹣1），故C正確；對(duì)于D，g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．g（）＜g（2），即3f（）＜4f（2），故D正確．故答案選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則

．參考答案：12.化簡(jiǎn)： 參考答案：略13.連續(xù)拋擲兩顆骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是a，b，則函數(shù)在處取得最值的概率是

.參考答案：14.設(shè)為單位向量，且?jiàn)A角為60°，若方向上的投影為_(kāi)________.參考答案：15.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線在處的切線方程是

．參考答案：16.（4分）（2015?上海模擬）如果函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)，則f（﹣2）=．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)的值．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（2×2﹣3）=﹣1，故答案為：﹣1【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．17.已知向量，若，則＝________．參考答案：試題分析：,..考點(diǎn)：1向量數(shù)量積公式;2向量的模.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣bx+alnx．（Ⅰ）若曲線f（x）在點(diǎn)（1，）處的切線平行于x軸，求f（x）；（Ⅱ）f（x）存在極大值點(diǎn)x0，且a＜e2（其中e=2.71828…），求證：f（x0）＜0．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（I）令f（1）=，f′（1）=0即可解出a，b，得出f（x）的解析式；（II）根據(jù)f（x）有極大值點(diǎn)可得f（x）也有極小值點(diǎn)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組得出a，b的范圍和關(guān)系，求出x0的范圍，化簡(jiǎn)得f（x0）=﹣x02+alnx0﹣a，求出右側(cè)函數(shù)在x0的范圍內(nèi)恒小于0即可．【解答】解：（I）f′（x）=x﹣b+，∵曲線f（x）在點(diǎn)（1，）處的切線平行于x軸，∴，即，解得a=﹣2，b=﹣1．∴f（x）=x2+x﹣2lnx．（II）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．令f′（x）=x﹣b+=0得x2﹣bx+a=0，∵f（x）存在極大值點(diǎn)x0，且x→+∞時(shí)，f′（x）→+∞，∴f（x）存在極小值點(diǎn)x1，∴x2﹣bx+a=0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x0，x1，∴，∴a＞0，b＞0，b＞2．∵x0是f（x）的極大值點(diǎn)，∴f′（x0）=x0﹣b+=0，即x02﹣bx0+a=0，∴bx0=x02+a．∵x0==，b，∴0＜x0＜，∴f（x0）=x02﹣bx0+alnx0=x02﹣（x02+a）+alnx0=﹣x02+alnx0﹣a，∴f′（x0）=﹣x0+=＞0，∴f（x0）在（0，）上單調(diào)遞增，∴f（x0）＜f（）=﹣a+aln﹣a=﹣+lna=（lna﹣3）＜0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值的關(guān)系，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的與判別式△之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．19.學(xué)校為測(cè)評(píng)班級(jí)學(xué)生對(duì)任課教師的滿意度，采用“100分制”打分的方式來(lái)計(jì)分．現(xiàn)從某班學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，以下莖葉圖記錄了他們對(duì)某教師的滿意度分?jǐn)?shù)（以十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉）：規(guī)定若滿意度不低于98分，測(cè)評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”．（I）求從這10人中隨機(jī)選取3人，至多有1人評(píng)價(jià)該教師是“優(yōu)秀”的概率；（Ⅱ）以這10人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)班級(jí)的總體數(shù)據(jù)，若從該班任選3人，記ξ表示抽到評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考答案：考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（Ⅰ）設(shè)Ai表示所取3人中有i個(gè)人評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”，至多1人評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”記為事件A，由P（A）=P（A0）+P（A1），能求出至多有1人評(píng)價(jià)該教師是“優(yōu)秀”的概率．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．解答：解：（Ⅰ）設(shè)Ai表示所取3人中有i個(gè)人評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”，至多1人評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”記為事件A，則P（A）=P（A0）+P（A1）==．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=（）3=，∴ξ的分布列為：

ξ0123

PEξ==0.9．點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．20.（12分）已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線的極坐標(biāo)方程為(1)求曲線的普通方程；(2)求直線被曲線截得的弦長(zhǎng).參考答案：從而弦長(zhǎng)為

21.（本小題滿分12分）已知，寫出用表示的關(guān)系等式，并證明這個(gè)關(guān)系等式．

參考答案：解：

------2分

證明：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角，它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A，B．

則，

．

由向量數(shù)量積的定義，有．由向量數(shù)量積的的坐標(biāo)表示，有

于是

．①------7分對(duì)于任意的，總可選取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)k，使得=+或=－+成立．故對(duì)于任意的，總有成立，帶入①式得對(duì)，總有成立．------12分另證：由于都是任意角，也是任意角．由誘導(dǎo)公式，總可以找到一個(gè)角．當(dāng)時(shí)，，則有，帶入①既得

．當(dāng)時(shí)，，就是的夾角，則有，帶入①既得

．綜上，對(duì)，總有．------12分22.

某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品被檢測(cè)出一種有害物質(zhì)超標(biāo)，該廠家為了檢測(cè)生產(chǎn)該產(chǎn)品的A、B兩條流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)地從這兩條流水線上生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取件產(chǎn)品作為樣本，測(cè)出它們的這一種有害物質(zhì)的指標(biāo)值．若該產(chǎn)品指標(biāo)值落在內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品．表：A流水線樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)圖：B