信號與系統(tǒng)課件 第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析

4.2傅里葉級數(shù)第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析4.0引言

4.1信號分解為正交函數(shù)4.3周期信號的頻譜

4.4非周期信號的頻譜

4.5傅里葉變換的性質(zhì)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

4.6能量譜和功率譜

4.7周期信號的傅里葉變換4.9取樣定理

4.10序列的傅里葉分析

4.11離散傅里葉變換及其性質(zhì)§4.0引言時域分析:以沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號本章:將以正弦信號和虛指數(shù)信號ejωt為基本信號，

可分解為一系列沖激函數(shù)之和,即而任意信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)yzs(t)=h(t)*f(t)

任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。

用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率，故稱為頻域分析。變換域分析

1.學(xué)習(xí)3種變換域：頻域、復(fù)頻域、z域⑴頻域：傅里葉變換，t→ω；對象：連續(xù)信號⑵復(fù)頻域：拉普拉斯變換，t→s；對象：連續(xù)信號⑶z域：z變換，k→z；對象：離散序列⑴

是信號內(nèi)在的頻率特性

2.頻域分析：t→ω⑵時間特性與其頻率特性之間關(guān)系⑶信號的頻譜、帶寬等重要概念學(xué)習(xí)內(nèi)容：1、了解信號的正交分解；了解傅立葉系數(shù)與周期信號波形對稱性的關(guān)系2、掌握周期信號的頻譜及其特點；掌握非周期信號的傅立葉變換的定義及其典型信號的傅立葉變換3、掌握傅立葉變換的主要性質(zhì)4、掌握周期信號傅立葉變換的求法及其傅立葉系數(shù)與傅立葉變換的關(guān)系5、理解抽樣信號的概念；掌握時域抽樣定理；了解頻域抽樣定理6、掌握連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析方法7、了解理想低通濾波器及其傳輸特性和信號傳輸?shù)牟皇д鏃l件重點與難點：1、周期信號的頻譜及其特點2、傅立葉變換的定義和典型信號的傅立葉變換3、傅立葉變換的主要性質(zhì)4、連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析方法5、時域抽樣定理傅里葉變換發(fā)展歷史1822年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理論時發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。進(jìn)入20世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開辟了廣闊的前景。在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點?！癋FT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。

§4.1信號分解為正交函數(shù)

矢量正交與正交分解信號正交與正交函數(shù)集信號的正交分解一、矢量正交與正交分解

矢量正交的定義：

指矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)與Vy=(vy1,vy2,vy3)的內(nèi)積為0。即

正交矢量集：指由兩兩正交的矢量組成的矢量集合如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個正交矢量集。且完備.矢量A=(2，5，8)表示為A=vx+2.5vy+4vz

矢量空間正交分解的概念可推廣到信號空間。二、信號正交與正交函數(shù)集1.信號正交：

定義在(t1，t2)區(qū)間的

1(t)和

2(t)滿足(兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱

1(t)和

2(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。2.正交函數(shù)集：

若n個函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)構(gòu)成一個函數(shù)集，這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足

則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的正交函數(shù)集。

3.完備正交函數(shù)集：如果在正交函數(shù)集{1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在函數(shù)φ(t)(≠0）滿足例如：三角函數(shù)集

{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}

虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完備正交函數(shù)集。則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。(i=1，2，…，n)沃爾什（Walsh）函數(shù)集在區(qū)間（0，1）內(nèi)是完備正交函數(shù)集。三、信號的正交分解設(shè)有n個函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為

f(t)≈C11+C22+…+Cnn

如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。通常使誤差的均方值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為:為使上式最小展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項不為0，寫為

即

所以系數(shù)代入，得最小均方誤差（推導(dǎo)過程見教材）在用正交函數(shù)去近似f(t)時，所取得項數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當(dāng)n→∞時（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時有

上式稱為(Parseval)帕斯瓦爾公式，表明：在區(qū)間(t1,t2)

f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量的能量之和。

函數(shù)f(t)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和小結(jié)函數(shù)f(t)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和帕斯瓦爾能量公式：§4.2傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)的三角形式傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式周期信號的功率一、傅里葉級數(shù)的三角形式1.三角函數(shù)集

在一個周期內(nèi)是一個完備的正交函數(shù)集。由積分可知{1,cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}2．級數(shù)形式系數(shù)an,bn稱為傅里葉系數(shù)

注意：an是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)設(shè)f(t)=f(t+mT)----周期信號、m、T、=2/T滿足狄里赫利Dirichlet條件，——稱為f(t)的傅里葉級數(shù)可分解為如下三角級數(shù)其他形式式中，A0=a0上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。A0/2為直流分量

A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，其角頻率與原周期信號相同

A2cos(2t+2)稱為二次諧波，其頻率是基波的2倍

可見：An是n的偶函數(shù)，n是n的奇函數(shù)。

an=Ancosn，bn=–Ansin

n，n=1,2,…將上式同頻率項合并，可寫為式中，A0=a0可見：An是n的偶函數(shù)，n是n的奇函數(shù)。

an=Ancosn，bn=–Ansin

n，n=1,2,…一般而言：Ancos(nt+n)稱為n次諧波。

例4.2-1將圖4.2-2所示的方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)。方波的組成：

Gibbs現(xiàn)象表明：用有限項傅氏級數(shù)表示有間斷點的信號時，在間斷點附近會不可避免的出現(xiàn)振蕩和超量。超量的幅度不會隨項數(shù)的增加而減少。只是隨著項數(shù)的增多，振蕩頻率變高，向間斷點處壓縮，而使它所占有的能量減少。二、波形的對稱性與諧波特性1.f(t)為偶函數(shù)——對稱縱坐標(biāo)bn=0，展開為余弦級數(shù)。2.f(t)為奇函數(shù)——對稱于原點an=0，展開為正弦級數(shù)。例3.f(t)為奇諧函數(shù)——f(t)=–f(t±T/2)此時其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=04．f(t)為偶諧函數(shù)——f(t)=f(t±T/2)此時其傅里葉級數(shù)中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量即a1=a3=…=b1=b3=…=0例4.2-2

正弦交流信號

經(jīng)全波或半波整流后的波形分別如圖4.2-7（a）、（b）所示，求它們的傅里葉級數(shù)展開式。圖4.2-7例4.2-2圖(2)半波整流信號圖4.2-7（b）的半波整流信號可寫為（其周期

）

它的傅里葉系數(shù)

可直接由式(4.2-3)、（4.2-4）求得，也可將它分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，如圖4.2-8所示。圖4.2-8半波整流信號的分解

由圖可見，其偶函數(shù)部分是幅度為的全波整流信號，奇函數(shù)部分是幅度為、角頻率為

的正弦信號，于是半波整流信號可寫為將

的展開式代入上式，得半波整流信號的傅里葉級數(shù)為三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算系數(shù)Fn稱為復(fù)傅里葉系數(shù)利用cosx=(ejx

+e–jx)/2可從三角形式推出：推導(dǎo)虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}復(fù)雜，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。指數(shù)形式傅氏級數(shù)推導(dǎo)上式中第三項的n用–n代換，A–n=An、–n=–n令A(yù)0=A0ej0ej0t，0=0

所以上式寫為：令復(fù)數(shù)

n=0,±1,±2，…表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和。F0=A0/2為直流分量。傅里葉系數(shù)之間關(guān)系n的偶函數(shù)：an，An，|Fn|n的奇函數(shù):

bn，n

周期信號的功率信號頻譜的概念周期信號頻譜的特點

頻譜帶寬§4.3周期信號的頻譜

復(fù)習(xí)1.三角函數(shù)集

{1,cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}在一個周期內(nèi)是一個完備的正交函數(shù)集，周期信號f(t)可分解為傅里葉級數(shù)的三角形式：即：周期信號可分解為直流分量和n次諧波分量。A0/2為直流分量Ancos(nt+n)稱為n次諧波

其中：n:正值指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)2.虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}在一個周期內(nèi)是一個完備的正交函數(shù)集，周期信號f(t)可分解為傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式：推導(dǎo)：上式中第三項：n用–n代換，A–n=An、–n=–n令A(yù)0=A0ej0ej0t，0=0所以指數(shù)形式的傅里葉形式n:正負(fù)其中：Fn稱為復(fù)傅里葉系數(shù)/各頻率分量的復(fù)數(shù)幅度表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和，F(xiàn)0=

A0/2為直流分量。所以指數(shù)形式的傅里葉形式傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式一、周期信號的功率——Parseval等式Parseval定理證明直流功率各次諧波功率和直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功率之和。周期信號一般是功率信號，其平均功率為二、周期信號頻譜的概念周期信號f(t)分解為：或其中：n:正值n:正負(fù)周期信號頻譜的概念周期信號的頻譜：指各次諧波幅值A(chǔ)n或Fn、相位n振幅頻譜圖：n~ω的關(guān)系畫在以ω為橫軸的平面隨頻率ω（nΩ）的變化關(guān)系。相位頻譜圖：將An或Fn~ω的關(guān)系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的圖。上得到的圖。單邊頻譜圖：雙邊頻譜圖：An~ωFn~ω頻譜圖示（單邊）幅度頻譜相位頻譜離散譜，譜線ω=nΩ單邊頻譜圖例1例：周期信號f(t)=解

首先應(yīng)用三角公式改寫f(t)的表達(dá)式，即顯然1是該信號的直流分量。的周期T1=8的周期T2=6所以f(t)的周期T=24，基波角頻率Ω=2π/T=π/12試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率Ω，畫出它的單邊頻譜圖，并求f(t)的平均功率P。是f(t)的(π/4)/(π/12)=3次諧波分量；是f(t)的(π/3)/(π/12)=4次諧波分量；畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖：例2請畫出其幅度譜和相位譜解：化為余弦形式單邊頻譜圖三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的譜系數(shù)

雙邊頻譜圖整理三、周期信號頻譜的特點舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示,求頻譜。

令Sa(x)=sin(x)/x(取樣函數(shù)）

,n=0,±1，±2，…

(1)包絡(luò)線形狀：取樣函數(shù)(3)離散譜（諧波性）周期信號頻譜的特點

T一定，變小，此時=2/T(譜線間隔)不變,兩零點之間的譜線數(shù)目：1/=（2/）/(2/T)=T/

增多。

(1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性，譜線位置是基頻Ω的整數(shù)倍；

一定，T增大，間隔減小，頻譜變密，幅度減小。

如果周期T無限增長（這時就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜，各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。(2)一般具有收斂性，總趨勢減小。譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系:四．頻帶寬度1.問題提出第一個零點集中了信號絕大部分能量（平均功率）由頻譜的收斂性可知，信號的功率集中在低頻段。周期矩形脈沖信號的功率而總功率二者比值2．頻帶寬度在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍對于一般周期信號，將幅度下降為0.1|Fn|max

的頻率區(qū)間定義為頻帶寬度。矩形：一般把第一個零點作為信號的頻帶寬度。語音信號 頻率大約為

300~3400Hz音樂信號

50~15,000Hz擴音器與揚聲器有效帶寬約為

15~20,000Hz3.系統(tǒng)的通頻帶>信號的帶寬，才能不失真帶寬與脈寬成反比內(nèi)的信號來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。記為：

§4.4非周期信號的頻譜

傅里葉變換常用函數(shù)的傅里葉變換一．傅里葉變換1.引出周期信號f(t)，其指數(shù)形式傅里葉級數(shù)：

其頻譜Fn：

T→∞頻譜強度Fn→無窮小對非周期信號：再用Fn表示頻譜就不合適了。傅里葉變換2.頻譜密度的概念知道：

F(jω)：稱為頻譜密度函數(shù)（含義）。T→∞頻率Ω=譜線間隔Δ(nΩ)→無窮小離散頻率nΩ→連續(xù)頻率ω表示→無窮小T→∞頻譜強度Fn→0，但FnΤ≠0且連續(xù)定義：

F(jω)=F(nΩ)T=

Ω:頻率量綱F(jω)表示單位頻率上頻譜值傅里葉變換3.傅里葉變換對的推導(dǎo)譜線間隔Δ(nΩ）=Ω⑴F(jω)=F(jω)=⑵f(t)f(t)=f(t)=F(jω)=FnT

函數(shù)f(t)的傅里葉變換傅里葉變換Δ(nΩ）→ｄω變換：f(t)=nΩ→ωejnΩt→ejωtf(t)=F(jω)=FnT

函數(shù)F（jω)的傅里葉逆變換也可簡記為

f(t)←→F(jω)F(jω)一般是復(fù)函數(shù)，寫為

F(jω)=|F(jω)|ej(ω)=R(ω)+jX(ω)

說明(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟。(2)用下列關(guān)系還可方便計算一些積分或F(jω)=F[f(t)]

f(t)=F

–1[F(jω)]f(t)傅里葉變換存在的充分條件:復(fù)習(xí)一、周期信號：1.傅里葉的三角函數(shù)形式2.傅里葉的復(fù)指數(shù)形式復(fù)習(xí)3.頻譜的概念振幅頻譜圖：相位頻譜圖：An或Fn~ωn~ω單邊頻譜圖：雙邊頻譜圖：An~ωFn~ω二、非周期信號：1.傅里葉變換復(fù)習(xí)F(jω)=f(t)=二、常用函數(shù)的傅里葉變換1.矩形脈沖(門函數(shù)）記為gτ(t)(t10tgτ)2t-2t頻譜圖幅度頻譜相位頻譜頻寬：F(jω)一般是復(fù)函數(shù)：F(jω)=|F(jω)|ej(ω)2．單邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–tε(t)，>0頻譜圖幅度頻譜：相位頻譜：3．雙邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–|t|，

>0F(jω)=|F(jω)|ej(ω)4．沖激函數(shù)(t)、′(t)5．直流信號1有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1，(t)等，但傅里葉變換卻存在，直接用定義式不好求解。

可構(gòu)造一函數(shù)序列{fα(t)}逼近f

(t)

，即而fα(t)滿足絕對可積條件，并且{fα(t)}的傅里葉變換所形成的序列{Fα(j)}是極限收斂的，則可定義f(t)的傅里葉變換F

(j)為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。討論：推導(dǎo)

1←→?構(gòu)造

f(t)=e-t，>0←→所以又因此，

1←→2()雙邊指數(shù)函數(shù)ω≠0ω=0求F

[1]另一種方法將(t)←→1代入反變換定義式，有將=-u，有再根據(jù)傅里葉變換定義式，得將t=ω，有將u=t，有直流/常數(shù)傅里葉變換是沖激函數(shù)6.符號函數(shù)不滿足絕對可積條件f(t)=e–tε(t)，>0頻譜圖7.階躍函數(shù)1←→2()歸納記憶：1.F

變換對2.常用函數(shù)F

變換對：δ(t)ε(t)

e-t

ε(t)

gτ(t)

sgn

(t)

e–|t|

1

12πδ(ω)§4.5傅里葉變換的性質(zhì)

線性奇偶性對稱性尺度變換時移特性

頻移特性卷積定理時域微分和積分頻域積分和微分相關(guān)定理一．線性性質(zhì)Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)then[af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]Proof:F

[af1(t)+bf2(t)]=[aF1(jω)+bF2(jω)]例1線性性質(zhì)例Forexample

F(jω)=?Ans:

f

(t)=f1(t)–g2(t)f1(t)=1←→2πδ(ω)g2(t)←→2Sa(ω)∴F(jω)=2πδ(ω)-2Sa(ω)=-二．奇偶虛實性如果f(t)是實函數(shù)，

f(t)←→F(jω)=|F(jω)|ej(ω)=R(ω)+jX(ω)thenR(ω)=R(–ω)，X(ω)=–X(–ω)Proof--3|F(jω)|=|F(–jω)|，(ω)=–(–ω)f(–t)←→F(–jω)=F*(jω)

Iff(t)=f(–t)thenX(ω)=0，F(xiàn)(jω)=R(ω)Iff(t)=–f(–t)thenR(ω)=0，F(xiàn)(jω)=jX(ω)奇偶虛實性證明設(shè)f(t)是實函數(shù)（為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似，略）變換：t=-u即：三*、對稱性Iff(t)←→F(jω)thenProof:上式：t→ω，ω→t變化：ω→-ω∴

F(jt)←→2πf(–ω)F(jt

)←→2πf(–ω)例題--3對稱性舉例1例如：f1(t)F1(ω)F2(ω)f2(t)1(2π)(1)

f(t)←→F(jω)F(jt

)←→2πf(–ω)1對稱性舉例2Forexample←→F(jω)=?Ans:ifα=1∴

f(t)←→F(jω)F(jt

)←→2πf(–ω)例4.5-1求取樣函數(shù)

的頻譜函數(shù)解直接利用式（4.5-1）不易求出Sa(t)的傅里葉變換，利用對稱性則較為方便由式（4.4-12）知，寬度為

，幅度為1的門函數(shù)

的頻譜函數(shù)為

，即取，即

且幅度為。根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)，脈寬為2，幅度為

的門函數(shù)【見圖4.5-1（a）】的傅里葉變換為四、尺度變換性質(zhì)如果f(t)←→F(jω)則

其中“a”是非零實常數(shù)Proof令：

a=-1,f(-t)←→F(-jω)

奇偶虛實性尺度變換證明Proof:F[f(at)]=

a>0:F[f(at)]

a<0:

F[f(at)]f(a

t)←→

Thatis

尺度變換例Forexample1f(t)=←→F(jω)=?Ans:利用對稱性：因此：

f(t)←→F(ω)F(jt

)←→2πf(–ω)f(-t)←→F(-jω)

尺度變換意義(1)

f(at)0<a<1時域擴展,頻帶壓縮脈沖持續(xù)時間增加---1/a倍---變化慢了，信號在頻域的頻帶壓縮---a倍、高頻分量減少、幅度上升a倍。t/2=τ/2t=τf(a

t)←→

(2)a>1時域壓縮，頻域擴展a倍

(3)a=-1時域反轉(zhuǎn)，頻域也反轉(zhuǎn)

脈沖持續(xù)時間短，變化快；尺度變換意義f(a

t)←→

在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。f(-t)←→F(-jω)五、時移特性如果f(t)←→F(jω)則：其中“t0”是實常數(shù).Proof:

F

[f(t–t0)]Example1-101-2012-11-11-1圖4.5-3例4.5-3圖

例：多個門函數(shù)的疊加(a)(b)圖4.5-45個矩形脈沖的頻譜時移特性舉例1Forexample

F(jω)=?Ans:

f1(t)=g6(t-5),

f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴

F(jω)=‖+時移特性舉例2求圖(a)所示三脈沖信號的頻譜。解：

時移特性舉例2因為脈沖個數(shù)增多，頻譜包絡(luò)不變，帶寬不變。

時移尺度舉例3Forexample2若f(t)←→F(jω),

則：f(at–b)←→?Ans:

f(t–b)←→e-jωb

F(jω)orf(at)←→f(at–b)=f(at–b)←→六、頻移性質(zhì)如果f(t)←→F(jω)則證明:其中ω0是一個實常數(shù)。F

[ejω0t

f(t)]=F[j(ω-ω0)]例1f(t)=ej3t←→F(jω)=?Ans:

1←→2πδ(ω)

ej3t×1←→2πδ(ω-3)Example2頻移（調(diào)制）特性例例：已知矩形調(diào)幅信號

解：因為其中g(shù)τ(t)為矩形脈沖，脈寬為τ

，求頻譜函數(shù)。矩形脈沖gτ(t)的頻譜Gτ

(jω):由頻移特性：頻移（調(diào)制）特性例意義將頻譜的包絡(luò)線一分為二，向左、向右各平移ω0七、卷積性質(zhì)時域卷積定理：如果

f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)則

f1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)頻域卷積定理：如果

f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)則

f1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)ProofExample時域卷積定理的證明

F[f1(t)*f2(t)]因此：交換積分次序使用時移特性f1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)卷積定理舉例例：結(jié)果:Usingsymmetry,八、時域的微分和積分如果f(t)←→F(jω)則證明:f(n)(t)=(n)(t)*f(t)f(t)=(t)*f(t)f(n)(t)=(n)(t)*f(t)←→F[(n)(t)*f(t)]F[(n)(t)*f(t)]=時域的微分和積分如果f(t)←→F(jω)證明:時域微分定理：時域微分定理：兩邊對t求導(dǎo)：所以：反復(fù)：時域的微分和積分Examplef(-1)(t)=(t)*f(t)←→時域積分定理：證明:時域微分特性例1f(t)=1/t2←→?例1：Ans:

f(t)←→F(ω)F(t)←→2πf(–ω)例2：定義f(t)←→F

(jω)Ans:f”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)F2(jω)=F[f”(t)]=ej2ω–2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2

F

(jω)=Notice:dε(t)/dt=(t)←→1ε(t)←×→1/(jω)f，(t)=ε(t+2)–2ε(t)+ε(t–2)總結(jié):如果

f

(n)(t)←→Fn(jω)，且

f(-∞)+f(∞)=0

則

f(t)←→F

(jω)=Fn(jω)/(jω)n九、頻域的微分和積分如果f(t)←→F(jω)則

(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)其中：Example1頻域的微分定理：頻域的積分定理：例1假定f(t)=tε(t)←→F

(jω)=?Ans:注意:

tε(t)=ε(t)*ε(t)←→這是錯誤的.

因為()()

和(1/j)()

沒有定義。(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)例2DetermineAns:十、相關(guān)定理如果

f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)，f(t)←→F(jω)則

F[R12(τ)]=F1(jω)F2*

(jω)F[R21(τ)]=F1*

(jω)F2(jω)

F[R(τ)]=|F

(jω)|2Proof相關(guān)定理證明利用相關(guān)函數(shù)與卷積積分的關(guān)系

R12(τ)=f1(τ)*f2(–τ)

F[R12(τ)]=F[f1(τ)*f2(–τ)]=F[f1(τ)]F[f2(–τ)]由于F[f2(–τ)]

=F2(–jω)=F2*(jω)

所以：F[R12(τ)]=F1(jω)F2*(jω)§4.6能量譜和功率譜帕斯瓦爾關(guān)系Parseval’sRelation

能量譜功率譜能量譜和功率譜分析一．帕塞瓦爾關(guān)系Parseval’sRelation

ExampleProof帕塞瓦爾能量關(guān)系證明證法一：證法二證明方法二由相關(guān)定理知所以又能量有限信號的自相關(guān)函數(shù)是因此，得帕塞瓦爾能量關(guān)系例ForexampleDeterminetheenergyofAns:二．能量譜密度（能量譜）

定義能量譜指單位頻率的信號能量，記為E(ω)在頻帶df內(nèi)信號的能量為E(ω)df，因而信號在整個頻率范圍的總能量E(ω)E(ω)由帕塞瓦爾關(guān)系可得E(ω)=|F(jω)|2R(τ)←→E(ω)能量譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對傅里葉變換對。三、功率譜是功率有限信號

則

的平均功率為：

定義功率譜指單位頻率的信號功率，記為P(ω)

在頻帶df內(nèi)信號的功率為P(ω)df，因而信號在整個頻率范圍的總功率P(ω)P(ω)P(ω)=因此R(τ)←→P(ω)功率有限信號的功率譜與自相關(guān)函數(shù)是一對傅里葉變換。維納-欣欽關(guān)系式例1例2功率譜例1求余弦信號的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。解：對此功率有限信號，由自相關(guān)函數(shù)的定義，有求功率譜因為功率有限信號的功率譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對傅里葉變換,所以功率譜為:P(ω)功率譜例2白噪聲，其功率譜密度為PN(ω)=N(常量)，-∞<ω<∞解：利用維納-欣欽關(guān)系式，得自相關(guān)函數(shù)由于白噪聲的功率譜密度為常數(shù)，所以白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為沖激函數(shù)，表明白噪聲在各時刻的取值雜亂無章，沒有任何相關(guān)性。求自相關(guān)函數(shù)。四、能量譜和功率譜分析時域頻域因此

顯然

物理意義：響應(yīng)的能譜等于激勵的能譜與|H(jω)|2的乘積。同樣，對功率信號有

Py(ω)=|H(jω)|2Pf(ω)例功率譜分析例解：系統(tǒng)函數(shù)為輸出功率譜：自相關(guān)函數(shù)考慮到由得平均功率§4.7周期信號的傅里葉變換

正余弦函數(shù)的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換

傅里葉系數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系周期信號：f(t)←→傅里葉級數(shù)Fn

離散譜

周期信號的傅里葉變換如何求？與傅里葉級數(shù)的關(guān)系？非周期信號：f(t)←→傅里葉變換F(jω)

連續(xù)譜一．正、余弦函數(shù)的傅里葉變換已知1←→2πδ(ω)同理e–jω0t←→2πδ(ω+ω0)ejω0t←→2πδ(ω–ω0)

頻移特性

頻譜圖（a）余弦函數(shù)及其頻譜（b）正弦函數(shù)及其頻譜圖4.6-1

正、余弦函數(shù)及其頻譜二、一般周期信號的傅里葉變換說明：(1)離散譜---周期信號fT(t)的傅氏變換由沖激序列(2)譜線的幅度不是有限值，而是沖激函數(shù)；組成，且沖激函數(shù)僅存在于諧波頻率處；ejnΩt←→2πδ(ω–nΩ)(3)含義—在頻譜點取得無限大的頻譜值。指數(shù)形式的傅氏級數(shù)：傅里葉系數(shù)：(t10tgτ)2t-2t矩形脈沖周期矩形脈沖矩形脈沖的頻譜周期矩形脈沖的頻譜離散譜連續(xù)譜圖4.7-2

周期矩形脈沖的傅里葉變換展開為傅里葉級數(shù)→傅里葉系數(shù)Fn進(jìn)行傅里葉變換→頻譜密度F（jw）周期信號傅氏變換例例1：周期性單位沖激函數(shù)序列如圖，求其傅里葉變換。解：1tωT2T3T-T00Ω2Ω3Ω-Ω表達(dá)式：傅里葉系數(shù)：周期信號的傅里葉變換：Ω在積分區(qū)間內(nèi)只有δ(t)周期信號傅氏變換例1tωT2T3T-T00Ω2Ω3Ω-ΩΩFSFT例2：周期性矩形脈沖信號如圖，求其傅里葉變換。解：周期信號f(t)也可看作一時限非周期信號f0(t)的周期拓展。即f(t)=T(t)*f0(t)F(jω)=ΩΩ(ω)·

F0(jω)F(jω)f0(t)=g2(t)←→,即單脈沖信號f0(t)，則一般：從周期信號fT(t)中截取一個周期如fT(t)=T(t)*f0(t)其中F(jω)=ΩΩ(ω)·

F0(jω)=

F0(jω)·

ΩΩ(ω)時域卷積定理周期信號fT(t)傅氏變換的求解方法三、傅里葉系數(shù)與傅里葉變換關(guān)系截?。阂粋€單脈沖f0(t)，其傅氏變換F0(jω)Fn：周期信號fT(t)的傅里葉系數(shù)F0(jω)：第一個周期的單脈沖信號的傅里葉變換周期信號傅里葉變換的兩種求解方法:兩者關(guān)系:§4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

基本信號ejt作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)頻率響應(yīng)H(j)的求法無失真?zhèn)鬏斉c濾波

傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。對周期信號：對非周期信號：其基本信號為ejt一．虛指數(shù)函數(shù)ejt作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)

設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵是角頻率ω上式積分

正好是h(t)的傅里葉變換，y(t)=H(j)ejt表明：激勵為幅度為1的虛指數(shù)函數(shù)ejωt時，系統(tǒng)y(t)=h(t)*ejt由卷積定義：的虛指數(shù)信號ejt時，其零狀態(tài)響應(yīng)

記為H(j)，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。H(j)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位隨頻率變化情況。的響應(yīng)是系數(shù)為H(j)的同頻率虛指數(shù)函數(shù)。二、一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)ejtH(j)ejtF(j)ejtdF(j)H(j)ejtd齊次性可加性‖f(t)‖y(t)=F

–1[F(j)H(j)]Y(j)=F(j)H(j)頻域分析法步驟：頻率響應(yīng)H(j)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變

H(j)稱為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；φ()稱為相

傅里葉變換法換Y(j)與激勵f(t)的傅里葉變換F(j)之比，即

頻特性（或相頻響應(yīng)）。H(j)是的偶函數(shù)，φ()是的奇函數(shù)。頻域分析例例：某LTI系統(tǒng)的H(j)和θ()如圖，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。解法一：用傅里葉變換F(j)=4πδ(ω)+4π[δ(ω–5)+δ(ω+5)]+4π[δ(ω–10)+δ(ω+10)]Y(j)=F(j)H(j)=4πδ(ω)H(0)+4π[δ(ω–5)H(j5)+δ(ω+5)H(-j5)]+4π[δ(ω–10)H(j10)+δ(ω+10)H(-j10)]H(j)=H(j)ejθ()=4πδ(ω)+4π[-j0.5δ(ω–5)+j0.5δ(ω+5)]y(t)=F-1[Y(j)]=2+2sin(5t)解法二：用三角型傅里葉級數(shù)f(t)的基波角頻率Ω=5rad/sf(t)=2+4cos(Ωt)+4cos(2Ωt)H(0)=1，H(jΩ)=0.5e-j0.5π，H(j2Ω)=0y(t)=2+4×0.5cos(Ωt–0.5π)=2+2sin(5t)三、頻率響應(yīng)H(j)的求法1.H(j)=F[h(t)]H(j)=Y(j)/F(j)（1）由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。（2）由電路直接求出。例頻率響應(yīng)例1例4.8-2某系統(tǒng)的微分方程為解：對微分方程兩邊取傅里葉變換jY(j)+2Y(j)=F(j)f(t)=e-tε(t)←→Y(j)=H(j)F(j)y(t)=(e-t–e-2t)ε(t)求輸入f(t)=e-tε(t)時系統(tǒng)的響應(yīng)y(t)。y′(t)+2y(t)=f(t)考慮到?jīng)_激函數(shù)的取樣性質(zhì)，并將上式第二項展開，得取式（4.7-8）的傅里葉逆變換，得輸出電壓上式是大家熟知的結(jié)果，這里只是用它來說明頻域分析的基本方法。四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波

系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：信號的傳輸濾波傳輸要求信號盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。

1、無失真?zhèn)鬏?/p>

（1）定義：信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時間的先后不同，而沒有波形上的變化。即輸入信號為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽?，輸出信號?yīng)為

y(t)=Kf(t–td)其頻譜關(guān)系為

Y(j)=Ke–jtdF(j)

(2)無失真?zhèn)鬏敆l件：系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)h(t)，H(j)的要求是：(a)對h(t)的要求：

h(t)=K(t–td)(b)對H(j)的要求：

H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即

H(j)=K,θ()=–td

上述是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號時，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。例相位特性為什么與頻率成正比關(guān)系？只有相位與頻率成正比，方能保證各諧波有相同的延遲時間，在延遲后各次諧波疊加方能不失真。延遲時間td是相位特性的斜率：群時延或稱群延時在滿足信號傳輸不產(chǎn)生相位失真的情況下，系統(tǒng)的群時延特性應(yīng)為常數(shù)。

例失真的有關(guān)概念線性系統(tǒng)引起的信號失真由兩方面的因素造成●幅度失真：各頻率分量幅度產(chǎn)生不同程度的衰減；●相位失真：各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，使響應(yīng)的各頻率分量在時間軸上的相對位置產(chǎn)生變化。

●線性系統(tǒng)的失真——幅度，相位變化，不產(chǎn)生新的頻率成分；●非線性系統(tǒng)產(chǎn)生非線性失真——產(chǎn)生新的頻率成分。

對系統(tǒng)的不同用途有不同的要求：●無失真?zhèn)鬏敚弧窭檬д娌ㄐ巫儞Q。2、理想低通濾波器具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。c稱為截止角頻率。

理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為：●

的低頻段內(nèi)，傳輸信號無失真

。理想低通的沖激響應(yīng)

h(t)=?-1[g

2c()e-jtd]=可見，它實際上是不可實現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。理想低通的階躍響應(yīng)g(t)=h(t)*(t)=

經(jīng)推導(dǎo)，可得稱為正弦積分階躍響應(yīng)波形說明（1）上升時間：輸出由最小值到最大值所經(jīng)歷的時間，：（2）有明顯失真，只要c<∞，則必有振蕩，其過沖比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截斷效應(yīng)引起的振蕩現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。gmax=0.5+Si(π)/π=1.0895一種可實現(xiàn)的低通理想低通濾波器在物理上是不可實現(xiàn)的，近似理想低通濾波器的實例3、物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的條件就時域特性而言，一個物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)在t<0時必須為0，即h(t)=0,t<0

即

響應(yīng)不應(yīng)在激勵作用之前出現(xiàn)。

就頻域特性來說，佩利（Paley)和維納（Wiener)證明了物理可實現(xiàn)的幅頻特性必須滿足

并且稱為佩利-維納準(zhǔn)則。（必要條件）

從該準(zhǔn)則可看出，對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點上為0，但不能在某個有限頻帶內(nèi)為0。§4.9取樣定理

信號的取樣取樣定理

取樣定理論述了在一定條件下，一個連續(xù)信號完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號?？梢哉f，取樣定理在連續(xù)信號與離散信號之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。一．信號的取樣

所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程。

這樣得到的離散信號稱為取樣信號fs(t)

。

它是對信號進(jìn)行數(shù)字處理的第一個環(huán)節(jié)。脈沖序列數(shù)字處理過程：需要解決的問題：Fs(jω)與F(jω)的關(guān)系由fs(t)能否恢復(fù)f(t)?1．理想取樣（周期單位沖激取樣）

f(t)←→F(jω)(–ωm<ω<ωm)

s(t)←→S(jω)

fs(t)←→Fs

(jω)2．沖激取樣信號的頻譜×=*=TS取樣間隔ωS

取樣角頻率畫fS(t)的頻譜時，設(shè)定ωS≥2ωm

,這時其頻譜不發(fā)生混疊，因此能設(shè)法(如利用低通濾波器)，從FS(j)中取出F(j)，即從fS(t)中恢復(fù)原信號f(t);

否則將發(fā)生混疊。二、時域取樣定理

一個頻譜在區(qū)間（-m，m)以外為0的帶限信號f(t)，可唯一地由其在均勻間隔Ts[Ts≤1/(2fm)]上的樣點值f(kTs)確定?；謴?fù)由取樣信號恢復(fù)原信號理想低通濾波器濾除高頻成分，即可恢復(fù)原信號從時域運算解釋對ωC要求:ωm≤ωC≤ωS-ωm時域運算以理想抽樣為例理想低通濾波器：

說明連續(xù)信號f(t)可以展開成Sa函數(shù)的無窮級數(shù)，級數(shù)的系數(shù)等于取樣值f(nTs)。也可以說在取樣信號fs(t)的每個取樣值上畫一個峰值為f(nTs)的Sa函數(shù)波形，由此合成的信號就是fs(t)。奈奎斯特(Nyquist)頻率和間隔注意：為恢復(fù)原信號，必須滿足兩個條件：（1）f(t)必須是帶限信號；（2）取樣頻率不能太低，必須fs≥2fm，或者說，取樣間隔不能太大，必須Ts≤1/(2fm);否則將發(fā)生混疊。

通常把最低允許的取樣頻率fs=2fm稱為奈奎斯特（Nyquist)頻率；

把最大允許的取樣間隔Ts=1/(2fm)稱為奈奎斯特間隔。頻域取樣定理根據(jù)時域與頻域的對偶性，可推出頻域取樣定理:一個在時域區(qū)間（-tm，tm)以外為0的時限信號f(t)的頻譜函數(shù)F(j)，可唯一地由其在均勻頻率間隔fs[fs≤1/(2tm)]上的樣值點F(jns)確定?！?.10序列的傅里葉分析周期序列序列的離散傅里葉級數(shù)DFS非周期序列的離散時間傅里葉變換DTFT)四種傅里葉變換的特點和關(guān)系

將傅里葉級數(shù)和傅里葉變換的分析方法應(yīng)用于離散時間信號稱為序列的傅里葉分析。一．周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)

周期序列記為fN(k)，N為周期，數(shù)字角頻率為

由于也是周期為N的序列，即由于

也是周期為N的序列，即則fN(k)可展開為推導(dǎo)注意：ejk是周期為2π的周期函數(shù)。離散傅里葉系數(shù)推導(dǎo)兩端同乘e-jmΩk，并在一個周期求和，有上式右端對k求和時，僅當(dāng)n=m時為非零且等于N，故上式可寫為DFS定義令則FN(n)稱為離散傅里葉系數(shù)。稱為周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DiscreteFourierSeries,DFS)。令

則

離散傅里葉級數(shù)變換對注意：fN(k)只有N個諧波分量。例離散傅里葉級數(shù)例例求圖所示周期脈沖序列的離散傅里葉級數(shù)展開式。解周期N=4，=2/N=/2，求和范圍取為[0，3]

fN(k)=[2+(1–j1)ej0.5πk

+(1+j1)ej1.5πk]/4=0.5[1+cos(0.5πk)+sin(0.5πk)]二、非周期序列的離散時間傅里葉變換(DTFT)周期序列fN(k)非周期序列f(k)連續(xù)譜；離散譜1.引出0θ定義非周期序列f(k)的離散時間傅里葉變換(DiscreteTimeFourierTransform,DTFT)為逆變換的導(dǎo)出fN(k)→f(k)由于n的取值周期為N，2πn/N的周期為2，所以θ周期為2

。

非周期序列的離散時間傅里葉逆變換表示說明：F(ejθ)是θ的連續(xù)周期函數(shù)，周期為2π。DTFT存在的充分條件是f(k)滿足絕對可和，即例DTFT舉例例：求下列序列的離散時間傅里葉變換。

解

F1(ej)=DTFT[f1(k)]=三、四種傅里葉變換的特點和關(guān)系

，，類別時域特點頻域特點(連續(xù))傅里葉級數(shù)(CFS)連續(xù)、周期信號fT(t)（周期為T）離散、非周期頻譜Fn(離散間隔為Ω=2π/T)(連續(xù)時間)傅里葉變換(CTFT)連續(xù)、非周期信號f(t)連續(xù)、非周期頻譜F(j)離散傅里葉級數(shù)(DFS)離散、周期序列fN(n)（周期為N）

離散、周期頻譜FN(n)（周期為N,離散間隔為Ω=2π/N)離散時間傅里葉變換(DTFT)離散、非周期序列f(k)連續(xù)、周期頻譜F(ej)（周期為2）一般說來，在一個域中為連續(xù)的表示，在另一個域中就是非周期性的表示；與此對比，在一個域中為離散的表示，在另一個域中就是周期性的表示。

關(guān)系fT(t)的傅里葉級數(shù)(CFS)與f(t)的傅里葉變換(CTFT)的關(guān)系f(t)為剪裁fT(t)主周期得到的非周期信號。

fN(k)的離散傅里葉級數(shù)(DFS)與f(k)的離散時間傅里葉變換(DTFT)的關(guān)系FN(n)=F(ej)，F(xiàn)(ej)=FN(n)f(k)為剪裁fN(k)主周期得到的非周期序列?！?.11離散傅里葉變換及其性質(zhì)離散傅里葉變換DFT與DTFT、DFS的關(guān)系DFT

的性質(zhì)

離散信號分析和處理的主要手段是利用計算機去實現(xiàn)，然而序列f(k)的離散時間傅里葉變換F(ej)是的連續(xù)函數(shù)。為便于計算機去實現(xiàn)，引入離散傅里葉變換(DiscreteFourierTransform,DFT)一．離散傅里葉變換(DFT)

借助周期序列DFS的概念導(dǎo)出有限長序列的DFT。將有限長序列f(k)延拓成周期為N的周期序列fN(k)若將f(k)，F(xiàn)(n)分別理解為fN(k)，F(xiàn)N(n)的主值序列，那么，DFT變換對與DFS變換對的表達(dá)式完全相同。

例DFT舉例例：求下列矩形脈沖序列的離散傅里葉變換。