2022-2023學(xué)年山東省日照市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2022-2023學(xué)年山東省日照市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）（2021秋?河北區(qū)期末）cosl50。等于（）

A.—B.-C.--D.--

2222

2.（5分）（2012?安溪縣模擬）已知，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=i（l+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位

于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（5分）（2021春?日照期末）已知圓柱底面半徑為2,母線長為3,則其側(cè)面積為（）

A.12B.16C.12萬D.16%

4.（5分）（2021春?日照期末）sin70cos370-sin830sin370的值為（）

11

A6RcD6

2222

5.（5分）（2021春?日照期末）函數(shù)/（x）=Asin3x+e）3>0,|例<］）的部分圖象如圖所示，

那么八9=（）

6.（5分）（2008?天津）把函數(shù)y=sinx（xeR）的圖象上所有點向左平行移動？個單位長度，

再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的1（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)

2

是（）

A.y=sin(2x---))XGRB.y=sin(—+—),XGR

26

7T27r

C.y=sin(2x+—),xwRD.y=sin(2x+-),XGR

7.（5分）（2021春?日照期末）己知在AABC中，a，人，。分別為內(nèi)角A,B,。的對邊,

A=120°,2b=a+c,且〃-。=4,則b=（）

A.10B.6C.12D.16

8.（5分）（2021?南充模擬）在三棱錐尸-ABC中，B4_L平面ABC,若NA=60。，BC=6

PA=2,則此三棱錐的外接球的體積為（）

A.8萬B.4岳C.迪萬D.—

33

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求的，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分。

9.（5分）（2021春?日照期末）若復(fù)數(shù)z=^,其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（

）

A.z的虛部為一1B.|z|=x/2

C.z2為純虛數(shù)D.z的共枕復(fù)數(shù)為-1T

10.（5分）（2021春?日照期末）已知a,尸是空間兩個不同的平面，相，”是空間兩條不

同的直線，則（）

A.mlla?〃///，且6//〃，則a//4B.mlla?nil。,且mJ_〃，則

C.〃z_La,n工B,且則a///?D.mVaynA,0,且m_L〃，則a_L尸

11.（5分）（2021春?日照期末）下列結(jié)論正確的是（）

A.在A4BC中，若A>B,則sinA>sin8

B.在銳角三角形ABC中，不等式從+02—/>（）恒成立

C.在AA3c中，若acosb-hcosA=c,則AABC是直角三角形

D.在AABC中，若6=3,A=60。，446c=36，則AABC的外接圓半徑為半

12.（5分）（2021春?日照期末）如圖，正方體A8CD-ABCA的棱長為3,點E,F分別

在CC「叫上，字=2阮,BF=2FBX.動點〃在側(cè)面內(nèi)（包含邊界）運動，

且滿足直線BMII平面D、EF，貝U（）

A.RM//平面BCC百

B.三棱錐〃-EF”的體積為定值

C.動點M所形成軌跡的長度為3

D.過E,F的平面截正方體所得截面為等腰梯形

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）（2021春?日照期末）若tana=2,則2sina-cosa的值為_

sina+2cosa

14.（5分）（2021春?日照期末）若向量"=（3,3）,5=（2,-1）,則1在片上的投影的數(shù)量為

15.（5分）（2021春?日照期末）圣?索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907

年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑.1996年經(jīng)

國務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國重點文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡

的必到景點之一.其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從

任何角度都能領(lǐng)略它的美，小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向

找到一座建筑物43,高為15（退-1）米，在它們之間的地面上的點M,。三點共線）

處測得樓頂A.教堂頂C的仰角分別是15。和60。，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30。，

則小明估算索菲亞教堂的高度為米.

jrI

16.（5分M2021春?日照期末）已知函數(shù)f（x）=sinx-sin（x+—）_~的定義域為［加,n］（m<n）,

值域為［-!」］，則"-，"的取值范圍為

24----

四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（10分）（2021春?日照期末）己知cos（二一a）-sin（二一。）=—―,ae（—,—）.求：

441042

（1）cos2a；

（2）2cos2a+tana-----的值.

tana

18.（12分）（2021春?日照期末）已知向量1=（1,2）,5=（-3,2）.

（1）若以+25與汗+5垂直，求實數(shù)t的值；

（2）若@+2加與21-45的夾角為鈍角，求實數(shù)Z的取值范圍.

19.（12分）（2021春?日照期末）如圖，在幾何體AfiCDEF中，四邊形是菱形，且

ZBAD=60°,平面DFIIBE,且DF=2BE=2.

（1）證明：平面ACE_L平面3EFZ）；

（2）若二面角E-AC-B為45。，求幾何體ABCDEF的體積.

20.（12分）（2021春?日照期末）已知函數(shù)/（x）=2sin（2x+馬，

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)g（x）=/（x+g）-1在嗚］上有兩個零點，求實數(shù)9的取值范圍.

21.（12分）（2021春?日照期末）如圖，四棱錐P-MCD中，底面ASC￡＞為矩形且

PA=PB=AB=LBC=2,平面平面/WCZ）,E為棱PC上一點.

2

（1）在平面P8C內(nèi)能否做一條過點E的直線/,使得/_L/%,若能，請畫出直線并加以證

明；若不能，請說明理由.

（2）若E為棱PC上靠近點P的四等分點，求直線8E與平面ABCD所成角的正弦值.

22.（12分）（2021春?日照期末）為提升城市旅游景觀面貌，城建部門擬對一公園進(jìn)行改造，

己知原公園是直徑為200米的半圓，出入口在圓心。處，C點為一居民小區(qū)，8距離為

200米，按照設(shè)計要求，取圓弧上一點A,并以線段AC為一邊向圓外作等邊三角形ABC,

使改造之后的公園成四邊形A88,并將區(qū)域建成免費開放的植物園，如圖所示.

（1）若時，點3與出入口。的距離為多少米？

（2）A設(shè)計在什么位置時，免費開放的植物園區(qū)域A6CD面積最大？并求此最大面積.

2022-2023學(xué)年山東省日照市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）（2021秋?河北區(qū)期末）cosl50。等于（）

【解答】解：cos150°

=cos(180°-30°)

=-cos30°

2

故選：D.

2.（5分）（2012?安溪縣模擬）己知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=i（l+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位

于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：z=i（l+i）=i+i2=-l+i

所以z對應(yīng)的點為（-1,1）

所以z對應(yīng)的點位于第二象限

故選：B.

3.（5分）（2021春?日照期末）已知圓柱底面半徑為2,母線長為3,則其側(cè)面積為（）

A.12B.16C.12萬D.16萬

【解答】解：因為圓柱底面半徑為2,母線長為3,

則其側(cè)面積為S=2兀乂2乂3=\2兀.

故選：C.

4.（5分）（2021春?日照期末）sin7Ocos37O-sin83Osin37。的值為（）

A.-且B.-1C.1D.如

2222

【解答】解：sin70cos370-sin83°sin37°

=sin7°cos37°-cos70sin37°

=sin(7°-37°)

=sin(-30°)

=-sin30°

1

=—.

2

故選：B.

5.（5分）（2021春?日照期末）函數(shù)/（x）=Asin（tyx+（p\co>0,|^91<的部分圖象如圖所示,

那么/￡）=（）

【解答】解：由函數(shù)/（x）=Asin（s+9）的部分圖象知，A=l,

且工=工一2=工，解得丁=乃，所以幻=生=2；

43124T

又氣,0）是的五點法畫圖中的第一個點，

所以2乂專+°=0,解得9=一看；

JT

所以/（x）=sin（2x---）,

6

所以/（^）-sin（2x]-=sin看=g.

故選：B.

6.（5分）（2008?天津）把函數(shù)y=sinMx￡H）的圖象上所有點向左平行移動2個單位長度，

再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的1（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)

2

是（）

A.y=sin(2x---))XGRB.y=sin(—+—),XGR

26

7T27r

C.y=sin(2x+—),xwRD.y=sin(2x+-),XGR

【解答】解：由丫=$出》的圖象向左平行移動5個單位得到y(tǒng)=sin（x+。），

再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的g得到y(tǒng)=sin（2x+g）

故選：C.

7.（5分）（2021春?日照期末）已知在AABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,

A=120°,2b=a+c,S.a-b=4,則6=（）

A.10B.6C.12D.16

【解答】解：由A=120。，=b2+c2-2bccos120°=b2+c2+bc,

由2b=a+c,且a—。=4,化為2b=6+c+4,即6=c+4,①

由a=b+4可得（6+4）2+/+bc,GPc2+Z?c=8i>+16,②

由①②解得6=10，c=6>

故選：A.

8.（5分）（2021?南充模擬）在三棱錐P—A8c中，叫_L平面ABC,若24=60。，BC=g,

9=2,則此三棱錐的外接球的體積為（）

A.8萬B.4岳C.生魚"D.—7T

33

【解答】解：如圖

設(shè)底面三角形ABC的外接圓的半徑為廣，由正弦定理可得：—=2r,

sinA

A

HP2r=—=-=2,/.r=1.

T

?.?1R4JL平面ABC,三棱錐的外接球的球心與AABC外接圓圓心的連線與底面垂直,

且到P與A的距離相等，則球心到底面距離d=l,

2

再設(shè)三棱錐的外接球的半徑為R,則R=J屋+尸=母.

，此三棱錐的外接球的體積為V=-^=—x（揚3=曳旦.

333

故選：D.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中,

有多項符合題目要求的，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分。

7

9.（5分）（2021春?日照期末）若復(fù)數(shù)z=）-,其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（

1+Z

)

A.z的虛部為-1B.|z|=V2

C.Z2為純虛數(shù)D.z的共輒復(fù)數(shù)為-1-i

72(1-i)

【解答】解：-.-2=—=1—i,

1+Z(1+/)(!-/)

.?"的虛部為_1,|2|=四,Z?=（l-i）2=-2i為純虛數(shù)，Z的共加復(fù)數(shù)為1+i.

.?.正確的選項為：ABC.

故選：ABC.

10.（5分）（2021春?日照期末）已知a,6是空間兩個不同的平面，加，"是空間兩條不

同的直線，則（）

A.mlla,n//J3,且〃"/〃，則a//￡B.mJla,nil。,且則a_L

C.m\-ai〃_L夕，且???//〃，則cr/〃？D.nL（3,且機_L〃，則a_L￡

【解答】解：若他//a，〃//4，且m//〃，則a//￡或。與尸相交，故A錯誤；

若”?//a,/“_!_〃，則〃ua或〃//夕或“與a相交，又〃//尸，所以c//￡或a與尸相交,

相交也不一定垂直，故8錯誤；

若機加〃〃，則又”_L〃，所以a///7,故C正確；

若，〃_La,mX.n,則〃ua或〃//a,又〃_L夕，則夕_1,4，故￡）正確.

故選：CD.

11.（5分）（2021春?日照期末）下列結(jié)論正確的是（）

A.在&WC中，若A>B,貝!1sinA>sin8

B.在銳角三角形AfiC中，不等式。2+02-黯>0恒成立

C.在AABC中，若acosB-6cosA=c,則AABC是直角三角形

D.在AABC中，若。=3,A=60°,5^=3^,則AABC的外接圓半徑為半

【解答】解：對于A：在AABC中，若A>8,故利用正弦定理：sinA>sinB,故A

正確；

,222

對于8：在銳角AABC中，0cA〈工，所以cosA>0,故cosA=）+'———>0,所以

22bc

〃+。2-4>0恒成立，故B正確；

對于C：在AABC中，若acos8-6cosA=c,整理得：sinAcosB-sinBcos>4=sinC,所以

A-B=Cf由于A+3+C=;r,解得4=工，則AABC是直角三角形，故C正確；

2

對于。：在AABC中，若b=3,A=60。，三角形面積S=36,所以

S=—/?csinA=-x3xcx—=3>/3,兌軍得c=4,

222

所以/=巨+,2—力ccosA=13,所以a=g,則2/?=」一=理=久我，故。錯誤；

sinAV33

T

故選：ABC.

12.（5分）（2021春?日照期末）如圖，正方體ABCZJ-4與GR的棱長為3,點E,尸分別

在CG，8用上，字=2欽,喬=2項.動點M在側(cè)面A￡?°A內(nèi)（包含邊界）運動，

且滿足直線BM//平面QEF，則（）

B.三棱錐〃-EFM的體積為定值

C.動點M所形成軌跡的長度為3

D.過R,E,P的平面截正方體所得截面為等腰梯形

【解答】解：A選項，因為平面AORA〃平面8CC|B1,RMq平面AORA，所以RM"

平面3CGB「說法正確.

在線段A|A上取4尸=1,上取RQ=2,連接P。，BP,BQ.

在正方體中，因為CE=1,BF=2,所以BP//RE,PQHEF,

所以8P//平面REF,PQ//平面￡>田尸，所以平面BPQ//平面QEF,故M點的軌跡為

線段PQ.

3選項，因為P。//平面。￡尸，所以M到平面RE尸的距離不變，又△REF的面積不變，

所以。_"材=匕/fEF=定值，3選項正確?

C選項，PQ="2+32,c選項錯誤.

￡）選項，取3尸中點G,人與中點O,

因為O為中點，F(xiàn)為81G中點，所以。尸〃AG,又AG//RE,所以O(shè)F//RE,

所以過。-E,尸的平面截正方體所得截面為梯形O尸ER,又。0=F^|7x^=E/，

。選項錯誤.

故選：AB.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）（2021春?日照期末）若tana=2,則2sm°cosa的值為

sin2+2cos。4

【解答】解:因為tana=2,

則原式=2理=>2-1=3

tana+22+24

故答案為：-.

4

14.（5分）（2021春?日照期末）若向量&=（3,3）,5=（2,-1）,則J在〉上的投影的數(shù)量為

3非

【解答】解：a在5上的投影數(shù)量為IM-cos值以1萬卜上」=華=-"二十"5”=也.

1葉屹1聞M+（-1）25

故答案為：孚.

15.（5分）（2021春?日照期末）圣?索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907

年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑.1996年經(jīng)

國務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國重點文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡

的必到景點之一.其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從

任何角度都能領(lǐng)略它的美，小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向

找到一座建筑物Afi,高為15（6-1）米，在它們之間的地面上的點M（8,M,。三點共線）

處測得樓頂A.教堂頂C的仰角分別是15°和60°,在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30。,

【解答】解：由題意知：NC4M=45。，=105°所以NACM=30。,

AHAB

在RtAABM中，AM=--------

sinZAMBsin15°

在A4CM中，由正弦定理得熊=懸所以皿=嚶薩=焉*

(15^-15).——

AR?sin45°asin60。

在RtADCM中，CD=CM?sin60。二”‘m甘sm.u一'-應(yīng)2]2=306.

sin15°-sin30°

42

故答案為：30G.

16.(5分)(2021春?日照期末)已知函數(shù)f(x)=sinx-sin(x+—)-的定義域為，〃](〃?<〃)，

34

值域為U，則〃-加的取值范圍為—專一爭一

jr1

【解答】解：f(x)=sinx-sin(x+y)_

./?'1

=sinx(—sinxH---cosx)——

224

1.2M.1

=—sinx+——sinxcosx——

224

_1c、1

——(Z1—cos2x)H---sin2x—

444

1,6「1.

=—(—sin2x--cos02x)

=^sin(2x--),值域為[一；，；],

sin(2x——)G[―1?—J,

所以2x-生兀—今>2k;r+^],

故xe伙萬一工，%乃+工],keZ,

26

71712萬

k7V+--{k7T__)=——，

623

所以〃-〃?最大值為生；

3

令2》-工=-三，得》=-乙，

626

令2x—工=工，得工=工，

666

所以〃-〃，的最小值為2-(-馬=工，

663

所以iz的取值范圍是耳，爭.

故答案為：[工，—].

33

四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(10分)(2021春?日照期末)已知cos(=-a)?sin("-a)=——>aG(―,—).求：

441042

(1)cos2a；

(2)2cos2,+tana------的值.

tana

【解答】解：(1)因為cos(工一a)?sin(工一a)=--—,?G(—,—),

441042

所以(cosa+sina)(coscr-sincr)=—(cos2a-sin2a)=—cos2a=--—，

222210

3

所以cos2。二一二；

5

/八EL-cos2a-sura1-tan1a3

(2)因為cos2a=-----------=------=一一，

cosa+sina1+tarTa5

整理可得tan?a=4,

因為aw(乃，馬,

42

可得tana=2>

所以

c21c1cos'a-sin~a1,I-tan'aI,3.

2cos-a+tana-----------=cos勿+tana------------+1=------；------—+tana------------+1=-----------—+tana-----------+1=一一+2l+i=12

tanalanacosa+sin'atanaI+tcui'atana5210

18.(12分)(2021春?日照期末)已知向量力=(1,2),6=(-3,2).

(1)若布+力與d+5垂直，求實數(shù)I的值；

(2)若妨+26與2a-4石的夾角為鈍角，求實數(shù)2的取值范圍.

【解答】解：(1)因為a=(1,2),5=(-3,2),

所以/+涕=(/—6,2f+4),d+5=(-2,4),

因為夜+M與4+5垂直，

_14

所以(加+乃)?(6+b)=-2(f-6)+4(2f+4)=0,解得/=_￡.

3

(2)ka+2b=(k-6,2k+4),2a-4b=(14,-4),

因為%+25與24-4b的夾角為鈍角，

所以(%+2b)-(2萬—46)<0,即14("6)-4(22+4)<0,解得Ac'.

3

當(dāng)%+25與2d-4b的夾角為180。時，即fai+與2d-4b方向相反時,

即上心=殳11<0,解得/=一1.

14-4

所以及的取值范圍為(YO,—1)U(-1,竺)?

19.(12分)(2021春?日照期末)如圖，在幾何體MC"五中，四邊形ABCZ)是菱形，且

ZBAD=60°,3E_L平面A88,DF//BE,S.DF=2BE=2.

(1)證明：平面ACE_L平面8￡/Z>；

(2)若二面角石-AC-8為45。，求幾何體ABCDE5的體積.

【解答】（1）證明：?.?四邊形438是菱形，.?.AC_LBD,

?.?3E_L平面ABC￡>,:.BErAC,

又BEp|BD=8,，AC_L平面

而ACu平面ACE,平面ACEJ_平面8EFD;

（2）解：由（1）知AC_L平面BEFD,

連接OE,則OE_LAC,又8O_LAC,

.?./反出為二面角后一4。一3的平面角，為45。，

在RtAEBO中，:BE=\,..03=1,則如=2,

在菱形ABC￡>中，N84￡>=60。，可得40=6-：=6,

:.AC=2y/3.

：.幾何體ABCDEF的體積V=-SBEI.D?AC=；xgx2x（1+2）x2百=2百.

B

20.（12分）（2021春?日照期末）已知函數(shù)/（x）=2sin（2x+.,xe[0,^b

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x+e)-1在［0,￡上有兩個零點，求實數(shù)9的取值范圍.

【解答】解：⑴函數(shù)/(x)=2sin(2x+&,

rr

由于工￡［0,耳］,

所以2x+1嗚，爭.

當(dāng)勺時，函數(shù)單調(diào)遞增，即xe［0,2］,

33212

當(dāng)2%+工€［生，竺］時，函數(shù)單調(diào)遞減，即

323122

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：［0,2］;函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：［2,芻.

12122

(2)函數(shù)g(x)=/(x+s)-1在嗚］上有兩個零點，

令/(x+9)-1=0,

JTJT\

整理得：2sin(2x+§+2Q)=l,故§皿2%+百+2夕)=］,

所以2%+工+2。=2k7r+至或2x+工+20=2攵乃+—(攵￡Z),

3636

冗冗

解得X］=k7r---(p?電=左4+Z-叭keZ),

由于0^^)<x2g

k兀一巴一(p.Q

故12

.7t7t

K7T+---(/)?—

42

71

§、、K71---

整理得I12,

.71

(p..k冗---

I4

故OG伙萬一?，左萬一專］(左GZ).

21.(12分)(2021春?日照期末)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面A8C。為矩形且

PA=PB=AB=-BC=2,平面平面ABC￡>,E為棱PC上一點.

2

(1)在平面PBC內(nèi)能否做一條過點E的直線/,使得/_LA4,若能，請畫出直線并加以證

明；若不能，請說明理由.

(2)若E為棱PC上靠近點P的四等分點，求直線B