2022-2023學年河南省創(chuàng)新聯(lián)盟高二上學期第一次聯(lián)考數(shù)學試卷（A卷）

2022~2023年度創(chuàng)新聯(lián)盟高二年級第一次聯(lián)考

數(shù)學

一、選擇題

1（3-2i）（3+旬=（）

A.l+6iB.17+6iC.l-6iD.17-6i

答案：

B

解析：

【分析】

利用復數(shù)乘法法則計算即可.

【詳解】

（3-2i）（3+4i）=9+12i-6i-8i2=17+6i.

故選：B.

2.下列關于空間向量的說法中錯誤的是（）

A.平行于同一個平面的向量叫做共面向量

B.直線可以由其上一點和它的方向向量確定

C.空間任意三個向量都可以構成空間的一個基底

D.任意兩個空間向量都可以通過平移轉化為同一平面內的向量

答案：

C

解析：

【分析】

根據(jù)空間向量、基底的性質，以及共面向量、直線方向向量性質和概念判斷各選項的正誤.

【詳解】

A：平行于平面機的向量，均可平移至一個平行于的平面，故它們?yōu)楣裁嫦蛄?，正確；

B：直線的方向向量是直線任取一點，向其兩個方向的任意方向作出一個向量即可得，故一點和方向向量

確定直線，正確；

C：空間任意三個向量都共面時，則不能構成空間的基底，錯誤；

D：由向量的位置的任意性，將空間兩個向量某一端點移至重合位置，它們即可構成一個平面，即可為同

一平面的向量，正確.

故選：C.

3.已知空間三點A（3,2,0）,3（3,2,2）,C（3,0,l）,則C到直線A8的距離為（）

A.1B.2C.3D.75

答案：

B

解析：

【分析】

首先求出AC、A8,再根據(jù)夾角公式求出cos（AC,A3），從而求出sin（4C,,再根據(jù)距離公式計

算可得.

【詳解】

UUU

因為A（3,2,0）,8（3,2,2）,C（3,0,l）,所以AC=（0,—2,1）,AB=（0,0,2）,

則"=石，網(wǎng)=2,ABAC=2>

所以cos（AC,AB）=啟尚=乎，則sin（4C,AB）=-cos?（AC,AB）=,

所以C到直線AB的距離為|ACjsin（AC,Ag=&巫=2.

故選：B.

4.如圖，在正方體ABCO-ABCQ中，E,F分別為AB,8c的中點，則（）

A.平面B.平面gEF

C.4G7平面片EFD.AXD「平面片EF

答案:

C

解析:

【分析】

以點。為原點，04,。6,。2所在直線為尤y/軸，建立空間直角坐標系，求出平面耳EF的法向量，結

合法向量對選項逐一判斷即可.

【詳解】

以點。為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設45=2,則

4（2,2,2）,E（2,1,0）,尸（1,2,0）,6（2,2,0）,4（2,0,2）,百（0,2,2）,〃（0,0,2）,

EF=（-1,1,0）,EBI=（0,1,2）,叫=（-2,-2,2）,DB=（2,2,0）,A,Ct=（-2,2,0）,ZM,=（2,0,2）.

-八，、[m-EF=-x+y=Q

設平面gEF的一個法向量為m=（x,y,z）,則＜-八取加=（2,2,-1）,

''U〃?E4=y+2z=0

因為BR與加不平行，所以與平面B]EF不垂直,A錯誤；

因為OB與加不平行，所以BO與平面片七尸不垂直，B錯誤；

因為AG?〃?=（）,且線在面外，所以4G平面B^EF,C正確；

因為。A?加=2#0,所以AQ與平面片芯尸不平行，D錯誤

5.某工廠生產了一批節(jié)能燈泡，這批產品按質量標準分為一等品、二等品、不合格品.從這批產品中隨機抽

取一個進行檢測，設抽到一等品或二等品的概率為0.95,抽到二等品或不合格品的概率為（）.25,則抽到

二等品的概率為（）

A.0.05B.0.1C.0.15D.0.2

答案：

D

解析：

【分析】

利用對立事件的概率公式求出事件抽到不合格品，抽到一等品的概率，由此可求抽到二等品的概率.

【詳解】

因為抽到一等品或二等品概率為0.95,所以抽到不合格品的概率為1—0.95=0.05,

因為抽到二等品或不合格品的概率為0.25,所以抽到一等品的概率為1-0.25=0.75,

故抽到二等品的概率為1一0.05-0.75=0.2,

故選：D.

6.已知點M（3,0）、N（l,4）,點P在y軸上，且NMPN=90，則P的坐標為（）

A.（0,1）B.（0,2）C.（0,3）D.（0,1）或（0,3）

答案：

D

解析：

【分析】

設尸（0,a）,由題意可知MRNP=0,利用平面向量垂直的坐標表示可得出關于實數(shù)。的方程，解之即

可.

【詳解】

設尸（0,。），因為=，所以MP,NP,且心=（—3,a）,NP=（—l,a—4）,

所以，MP-NP=3+a（a-4）=a2-4a+3=Q,解得a=l或3,故P的坐標為（0,1）或（0,3）.

故選：D.

7.如圖，在正四棱柱A8CO-A8CQ中，43=4,44）=6,/是棱烏G的中點，點E在棱B片上，且

]DG

8避=16f.若過點4￡F的平面與直線。2交于點6,則5方=（）

解析：

【分析】

建立空間直角坐標系，表示出點的坐標，設G=（O,O,a）,由面面平行的性質得到EE〃平面A。。4,再

由線面平行的性質得到EF//AG，根據(jù)向量共線的坐標表示計算可得.

【詳解】

以。為坐標原點，以OA，DC，的方向分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則A（4,0,0）,E（4,4,4）,尸（2,4,6）,=（-2,0,2）,

設G=（0,0,a）,則AG=（Y,0,a）.

因為平面BCC,4〃平面ADD,4,"u平面BCC,Bt,

所以Ef7/平面AO44，

因為平面AEF'平面ADD.A,=AG,u平面AEF，所以EF//AG,

則EF=/14G，即（一2,0,2）=2（-4,0,。），即.，，解得。=4,故右二不.

2=3

故選：A.

8.已知直線/經(jīng)過4（2&%-2）,8（0,爐）（》20）兩點，則直線/的傾斜角的取值范圍為（）

7t3%r不3%，"71、-3萬、

A.[r一,—]B.（一,—]C.[—，]）D.[—，萬）

242424

答案：

A

解析：

【分析】

分x=0和x>0兩種情況，分別求出直線/傾斜角范圍，即可得到答案

【詳解】

當x=0時，A（0,-2）,B（0,0）,所以此時直線/的傾斜角為]；

當x>o時，設直線/的傾斜角為e(owe<萬)，

-2-X12*4121r-

所以直線/的斜率怎8="棄=一一j=(~+x)<一一4x2&=-1,

2>/2x2V2x2A/2

當且僅當x=0時，等號成立，

7F3乃

所以tan6<—1,所以一<。《已一，

24

TT37r

此時直線/的傾斜角的取值范圍為(一,一］,

24

綜上，直線/的傾斜角的取值范圍為［二TT,373r］,

24

故選:A.

9.如圖，在直三棱柱ABC—A14cl中，AB_L8C,84=8C=84=2,3AE=AC,點/在棱CG上,

點。在棱A5上.若班'_LZ)￡,則CF=()

123

A.—B.-C.1D.—

232

答案：

B

解析：

【分析】

建立空間直角坐標系，利用向量法可得.

【詳解】

以B為坐標原點，分別以5ABe,8瓦所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則

42

B(O,O,O),E(-,-,O).

/、/、/、/、一_^,42

設。(加,0,2)(噫如2),尸(0,2,")(四劭2),BF=(0,2,2).

422

因為班1，￡>￡，所以BF-ED=——+2"=0,解得〃=—,即。尸=一.

333

故選：B.

10.甲、乙兩名射擊運動員在某次測試中各射擊20次，兩人測試成績的條形圖如圖所示，則（）

A.甲運動員測試成績的極差大于乙運動員測試成績的極差

B.甲運動員測試成績的眾數(shù)大于乙運動員測試成績的眾數(shù)

C.甲運動員測試成績的平均數(shù)大于乙運動員測試成績的平均數(shù)

D.甲運動員測試成績的標準差小于乙運動員測試成績的標準差

答案：

D

解析：

【分析】

由圖可得甲、乙運動員測試成績的極差、眾數(shù)，計算平均數(shù)和標準差，比較即可

【詳解】

3x7+8x8+5x9+4x10

由圖可得甲運動員測試成績的極差為3,眾數(shù)為8,平均數(shù)為=8.5

20

『滋力I(7-8.5)2x3+(8-8.5)2x8+(9-8.5)2x5+(10-8.5)2x4屏

懷住岑刃J-------------------------------------------------=----

V2010

4x7+7x8+4x9+5x10

乙運動員測試成績的極差為3眾數(shù)為8,平均數(shù)為----------------------=0.5,

20

標準差為((7-8.5)2x4+(8-8.5)2x7+(9-8.5)2x4+(10-84)2x5_

小'V20—10

甲運動員測試成績的極差等于乙運動員測試成績的極差，A錯誤；

甲運動員測試成績的眾數(shù)等于乙運動員測試成績的眾數(shù)，B錯誤；

甲運動員測試成績的平均數(shù)等于乙運動員測試成績的平均數(shù)，C錯誤；

甲運動員測試成績的標準差小于乙運動員測試成績的標準差，D正確.

故選：D.

11.己知函數(shù)/(x)=In三就，給出下列結論：

①/(x)的最小正周期為兀；

②/(x)的圖象關于原點對稱；

③/(同在(—?,?)上單調遞增；

④“X)的值域為(0,+/).

其中所有正確結論的序號為()

A.①②B.③?C.②③④D.①②③

答案：

D

解析：

【分析】

1_i_[AnYTT

對y=——變形得到y(tǒng)=tan(x+—),得到其最小正周期，得到A選項正確；

1-tanx4

先求解定義域，再利用函數(shù)奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù)，B選項正確；

根據(jù)復合函數(shù)單調性，整體法求解函數(shù)單調區(qū)間，判斷C選項；

1_i_f為nY

先求解y=一二的值域，進而求出/(x)的值域為R,D正確.

1-taax

【詳解】

Ifpm丫-jr

因為函數(shù)y=------=tan(x+-)的最小正周期為兀,

1-tanx4

/(%+71)=/(%),所以/(X)的最小正周期為兀，①正確;

人1+tanx/兀、八71,兀,

令--------ton(xH—)>0,解得：-----Fkit<x,<—卜kit,keZ.

1-taru444

、上(、、1+tan(-x)1-tan.r,1+taax￡l、

又因為〃-x)=In------1=In--------=-In---------=-f(x),

1-tan(-x)1+tanx1-tanr

所以/(x)為奇函數(shù)，/(x)的圖象關于原點對稱，②正確.

因為函數(shù)丁=（211（1+；）在（一：+阮：+匕1：）（左￡2）上單調遞增,

所以/（X）在（-：+E,：+加仕eZ）上單調遞增，③正確.

因為函數(shù)y=12!1。+：）在（一：+也,：+%1：）（〃62）上的值域為（0,+8）,

所以/（X）的值域為R，④錯誤.

故選：D.

12.有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面

體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數(shù)為24,棱長

為血的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣

的四面體所得.若點E為線段上的動點，則直線DE與直線Ab所成角的余弦值的取值范圍為

()

[1烏

B.%

A.勺2C.

答案:

C

解析：

【分析】

將半正多面體補成正方體并建立空間直角坐標系，確定相關點坐標，設

=（一利用向量夾角的坐標表示及二次函數(shù)性質求所成角的余弦值的取值范

BE=ABC4/t,O）,/LG[O,l],

S.

【詳解】

將半正多面體補成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標系.

因為半正多面體的棱長為0,故正方體的棱長為2.

所以A(2,1,0),尸(2,2,1),B(l,0,2),C(0,l,2),D(l,2,2),AF=(0,l,l),BC=(-l,l,0).

設BE==(—440),2e[0,1],則E(1—2,42),OE=(—；I,A-2,0).

小心AFDE2-2

'/|AF||DE|V2722+(2-2)2

I(.-2)211

22

~~2\(A-2)+2(/l-2)+2~~2l++~2.

丫2-2(2-2)2

令f=六e—T，則CM"，網(wǎng)二面Li,

因為2r+2f+1e[；/],所以cos（AF,DE）e,-1].

故直線￡>E與直線"所成角的余弦值的取值范圍為[；,等].

故選：C.

二、填空題

13.已知點M（l,—2,0）,N（2,2,l）在直線/上，寫出直線/一個方向向量。=

答案：

。，4，1）

解析：

【分析】

由方向向量的定義求解即可

【詳解】

因為點M（l,—2,0）,N（2,2,l）在直線/上，

所以MN=（l,4,l）,/MN（/eR,且，工0）都是直線/的方向向量.

故答案為：（1,4,1）

14.設向量a=（3,2,l）,匕=（l,x,l）,c=（y,4,2）,且a_LO,a〃c,則1+,=.

答案：

V62

解析：

【分析】

根據(jù)空間向量的垂直及平行的坐標表示求出x，y,再由向量的坐標運算及模的坐標表示求解.

【詳解】

因為a_L6,所以3+2x+l=0,解得x=—2,則〃=（1,一2,1）.

42

因為a〃c，所以v方=/=1，解得了=6,則。=（6,4,2）.

.?.b+c=（7,2,3）,1+c卜病.

故答案為：^62.

15.若等邊三角形的一條中線所在直線的斜率為1，則該等邊三角形的三邊所在直線的斜率之和為

答案：

3

解析：

【分析】

根據(jù)題意得到該等邊三角形的三邊所在直線的傾斜角，進而求出三邊所在直線的斜率，求出和即可.

【詳解】

因為一條中線所在直線的斜率為1，所以此中線所在直線的傾斜角為45，

可得該等邊三角形的三邊所在直線的傾斜角分別為75,15,135,

14-----qrz

因為tanl350=—1,tan750=tan(45°+30°)=-，=葉片=2+百，

733—73

1------

3

Ig

1------A

tan15。=tan(45°-30。)=—=

'1+V33+V3

y

即該等邊三角形的三邊所在直線的斜率分別為2+52-5-1,

所以該等邊三角形的三邊所在直線的斜率之和為3.

故答案為：3.

16.已知正四面體A5CD的棱長為12,球。內切于正四面體ABC。,反尸是球。上關于球心。對稱的兩

個點，則A2?8尸的最大值為.

答案:

1276-24

解析:

【分析】

先根據(jù)等體積法求出內切球的半徑，

再根據(jù)AEBF=(^AE'+FF)=AE'-BF'+EE-F'F,結合基本不等式即可求得結果.

【詳解】

設點E在平面A8C內的射影為E',點F在平面ABC內的射影為尸'，點。在平面ABC內的射影為

0',如圖1.因為正四面體ABC。的棱長為12,所以

AO'=—AB=DO'=yjAD2-AO2跖S2石.

4"=4AR(.=—AB=36

34

設球。的半徑為A.

因為VABCD=^O-ABC+^O-ABD+^O-BCD+^O-ACD,所以3sABC?DO—4X—SABC，R,則

R=-DO'=46.

4

AE?BE=(AE'+E'E^BF'+F，F(xiàn))=AE'-BF'+E'E'F'F

￡￡FF

E'E-F'F=|r￡|-)2,當且僅當忸回=他時，等號成立.

IF^<(|HI==6

過點￡作垂足為〃，過點f'作ENLA5,垂足為N,過點0'作O'PJ_A5,垂足為

P,如圖2.圓。'的半徑為RE,尸是關于點。'對稱的兩個點，且。E',,R.

AE''BF'=(AM+ME'^BN+NF')=AM-BN+ME'-NF'.

AM-BN=-\AM^BN\?-(|AB-/?)(|AB-R)=-(6-76)2,當且僅當直線NF,腔'與圓相切

時，等號成立.

ME,-NF'=|A/r||2VF|<(頗|；幽)2=(空0)2=Q也丫=12，當且僅當頗[=|忖時,

等號成立.因為以上取等條件可以同時成立，所以ABBE,6-(6-V6)2+12=12>/6-24.

三、解答題

17.如圖，在四棱柱中，四邊形A8Q9是正方形，A4,=6,48=4,且

71

NCiCB=NC】CD=3,設CD=a,CB=b,CC[=c.

(1)試用a,z?,e表示4。：

(2)已知。是與。的中點，求。。的長.

答案:

見解析

解析：

【分析】

(1)根據(jù)已知條件，結合向量的加減法運算法則，即可求解.

(2)。為耳。的中點，求的長，只需求出耳。的長，利用(1)中所求的結果，求與。的模即可.

【詳解】

(1)BQ=BiC+CD=—CC「CB+CD=a—b—c.

(2)由題意知,=4,愀=4,卜卜6"?。=(),

71

a-c=Z7-c=4x6cos—=12.

3

|_|2--2-2-2

ByZ)—(Q—h—c)~—ci+b+c—2〃,h—2〃?c+2b?c-68，

DO=；B[D=&i

18.已知坐標平面內三點A(—2,T),B(2,0),C(—l,l).

(1)求直線AB的斜率和傾斜角；

(2)若A,B,C,O可以構成平行四邊形，且點。在第一象限，求點。的坐標；

(3)若石(明〃)是線段AC上一動點，求/萬的取值范圍.

答案：

見解析

解析：

【分析】

(D根據(jù)過兩點的斜率公式求出斜率，再求傾斜角；

(2)設￡)(x,y),根據(jù)原B=《D，心c=%即求解即可；

n

(3)因為-----表示直線3E的斜率，求出E與點C重合時，直線8c的斜率；E與點A重合時，直線BE

m-2

的斜率即可得答案.

【詳解】

(1)因為直線A8的斜率為上一=1.

-2-2

71

所以直線A3的傾斜角為了；

(2)如圖，當點。在第一象限時，kAB=kCD,kAC=kBD.

x=3

設0(x,y),則j；1+4，解得

y=5

/-2—1+2

故點O的坐標為(3,5)；

A7

(3)由題意得一為直線班:的斜率.

m-2

當點E與點C重合時，直線踮的斜率最小，原0=—7二=一』；

-1-23

當點E與點A重合時，直線3E的斜率最大，kAB=\.

故直線BE的斜率的取值范圍為,

3

nI

即一^的取值范圍為［-2』］.

m-23

19.如圖，已知圓錐的頂點為P,點C是圓0上一點，NBOC=45,AB=2OP=4,點。是劣弧人。

上的一點，平面PC。平面Q4B=/,且/〃AB.

(1)證明：OCLO。

(2)求點。到平面PC。的距離.

答案：

見解析

解析：

【分析】

(1)由線面平行的判定和性質，推得A8〃CD,再由N3OC=45°和圓的對稱性，求出相關的角的大

小，即可得證；

(2)建立空間直角坐標系，求出平面PCO的法向量，利用點到平面的距離公式計算可得所求值.

【詳解】

(1)證明：因為/〃AB,/u平面平面P。。，

所以AB平面PCD.

因為ABi平面ABC。，且平面ABC。'】平面PC￡>=C￡）,

所以A8〃C￡>.

因為ZBOC=45".所以NBOC=ZOCD=NODC=45，

所以NOOC=90,即OCLOD.

(2)如圖，以。為坐標原點，以OZ),OC,OP的方向分別為x,yz軸的正方向，建立空間直角坐標系

O-xyz,如圖所示:

則C（0,2,0）,D（2,0,0）,P（0,0,2）,PC=（0,2,—2）,Pr>=（2,0,—2）,OC=（0,2,0）.

設平面PCO的法向量為〃=(x,y,z),

\n-PC=2y-2z=Q,

令x=1,得〃=（1,1,1）.

ivPD=2x-2z=0,

OCn2

因為cos（OC,〃）=

|oc||/?|-2x733，

所以點O到平面PCD的距離為cos(oc,〃)=2叵.

20.在“①acos(C—2)=2土￡,②b+c-a=-46S(其中s為二.。的面積)”這兩個條件中任

32a+b+c

選一個補充在下列橫線上，并加以解答(注意：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分)上

己知ABC的內角48,C的對邊分別為a,4c,

(1)求角A；

(2)若.=26，求▲ABC面積的最大值.

答案：

見解析

解析：

【分析】

(1)選擇①，由兩角差的余弦公式、兩角和的正弦公式和正弦定理將①化簡為6sinA=cosA+l，再

11

由輔助角公式即可得出sin(A-7)=^，即可求出角A；選擇②，由余弦定理化簡②可得

62

jr1

cosA+l=&sinA，再由輔助角公式即可得出sin(A-7)=：,即可求出角A；

62

(2)由余弦定理結合均值不等式即可求出bew12,再由三角函數(shù)的面積公式即可求出,ABC面積的最大

值.

【詳解】

(1)選擇①：

因為acos(C-f)="：，,所以L〃cosC+，^asinC="十0.

32222

由正弦定理可得sinAcosC+>/3sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC,

即sinAcosC+^sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC?

由sinCw。，化簡得#sinA=cosA+1，即sin(A-g)=:.

o2

因為一工vA—至〈至，所以A—J=即4=工.

666663

選擇②:

u.46s260csirLA

因m為/?+c-a=------=---------，

Q+Z?+C

所以（〃+c）2-/=2cbesinA,即b2+c2-a2+2hc=2\[3bcsinA.

由余弦定理知b1+c2-a1=2/?ccosA?所以2bccosA+2bc=2百〃csinA.

由人cwO,化簡得cosA+1=J§sinA,即sin（A—二）二二■,

62

,,,71,715萬,7t7t??.71

因為——<A——<—,所以A——=—,即4=—.

666663

（2）由（1）知4=工，則S=Lz?csirb4=，^Z?c.

324

結合余弦定理可得片=12=Z?2+c?-2/?ccosA=/?2+/-bcN2/>c-%=/?c，

當且僅當匕=c時，等號成立，

所以bc52,S=Bbc￡36

4

故_ABC面積的最大值為3g.

21.如圖，在幾何體A3COE尸中，平面?！?gt;￡尸_1平面48。。,/胡。=60.四邊形。?！辏菏瑸榫匦?在

四邊形A8CD中，AD//BC,AD±AB,AB=BC=2AD.

(1)點G在線段BE上，且BG=〃BE,是否存在實數(shù)〃，使得AG//。尸？若存在，求出〃的值；若

不存在，請說明理由.

(2)若P為線段。尸的中點，求直線3P與平面43E所成角的正弦值.

答案：

見解析

解析：

【分析】

(1)先由面面垂直得到DE，平面ABC。，再建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，利用空間向量平行

求出〃的值；

(2)求出平面A5E的法向量，從而利用空間向量求解線面角.

【詳解】

(1)因為四邊形8"為矩形，所以CO_LDE.

因為平面C￡＞石尸_L平面ABC。，平面CUE尸平面ABCD=C￡),DEu平面CDEF,

所以?！辏矫?88.

不妨設AB=BC=2AD=2,則。E=ADtanZEAD=.

取。為原點，DA所在直線為x軸，DE所在直線為z軸，建立如圖所示的空

則￡＞（0,0,0）,4（1,0,0）,3（1,2,0）,后（0,0,6）,尸（一1,2,后卜

哈（-1,-2,@,AB=（O2O）〃=卜1,2,⑹，

AG=AB+BG=AB+/uBE=（-〃,2-2〃,,

因為AG//Z）/，所以一1x（2—2〃）=—2/7,解得〃=萬，經(jīng)驗證符合要求.

故存在實數(shù)〃，使得AG〃。下，且"的值為g.

、…一/\ABm=0,