2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市張家港市高三上學(xué)期12月階段性調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

張家港市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月階段性調(diào)研

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：

1.本卷共6頁，包含單項(xiàng)選擇題（第1題~第8題）多項(xiàng)選擇題（第9題~第12

題）填空題（第13題~第16題）解答題（第17題~第22題）本卷滿分150分，

考試時(shí)間為120分鐘考試結(jié)束后，請將答題卡交回。

2.答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填

寫在答題卡的規(guī)定位置。

3.請?jiān)诖痤}卡上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效作

答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆請注意字體工整，筆跡清楚。

一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.已知集合5={S|S=2〃+1,〃￡Z},T={r|/=4〃+l,〃￡Z},則SDT=

A.0B.SC.TD.Z

2.若0>°，°>°,則“a+bW4"是"abW4”

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2

cosa=一

3.在平面直角坐標(biāo)系xO），中，角a以O(shè)x為始邊，且3。把角a的終邊燒端點(diǎn)O按

71

逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)2弧度，這時(shí)終邊對應(yīng)的角是0,則sinp=

出

22

A.B.-C.D.3

333

4.若直線y=%（x+i）—1與曲線y="相切，直線-1與曲線相切，

則kik2的值為

J_

A.2B.1C.eD.e

5.2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m）三

角高程測量法是珠峰高程測量方法之一，如圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A.B,

C三點(diǎn)，且A,B.C在同一水平面上的投影A',B',C'滿足NA'C'5'=45°,NA'B'C=60。

由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為15,BB與CC的差為100；由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為45,，則A,

C兩點(diǎn)到水平面ABC的高度差A(yù)A'—CC'約為(G=1.732)

A473B.446C373D.346

/X"電)-"")>2022

6.已知函2數(shù)叫對任意的罰">0,有工2一5恒成立，

則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

ion101產(chǎn)ioiF

A.[0,+8)B.(2,+oo)C.[2,+oo)D.[2,-RO)

7.在AABC中，AB=2fAC=3,ZBAC=60°,N為線段BC的中點(diǎn)，M為線段AC上

靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，兩條直線AN與BM相交于點(diǎn)P,則福?比=

579n

A.4B.4c.4D.4

22A

8.在平面直角坐標(biāo)系xOv中，M為雙曲線廠—A=4右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)M到直線

x—y+2=°的距離大于m恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為

A.1B.&C.2D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0

分。

9.設(shè)ZGC,在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)為Z,則下列條件的點(diǎn)Z的集合是圓的有

A.z-z-\B.|z-l|=|z+l|

C.|z—1|=2|z+11D.|z-l|+|z+l|-2

10.在棱長為2的正方體ABCD—48CQ|中，M為底面ABCD的中心，Q是棱上一

點(diǎn)，且配=ZG［0,1J,N為線段AQ的中點(diǎn)，則下列命題正確的是

A.CN與QM異面

B.三棱錐A—DMN的體積跟X的取值無關(guān)

C.不存在人使得

2=19

D.當(dāng)2時(shí)，過A,Q,M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的面積為5

11.已知f(x)是定義在R上周期為4的偶函數(shù)，且g(x)=1(x),則

A.f(x)關(guān)于直線X=1對稱B.g(x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對稱

C.g(6)=0D,g(l)=°

12.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(3x+g)(3>0),已知f(x)在［0,2旬有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，下述四

個(gè)結(jié)論正確的是

A.f(x)在(0,2兀)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)

B.f(x)在(0,2兀)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)

1912

C.3的取值范圍是［1°,5)

冗

D.f(x)在(0,12)上單調(diào)遞增

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(x)="+aex為偶函數(shù)，則不等式f\m-2)+/(4-m2)<0的解集為—。

14.已知直線/：辦+y-l=0是圓C：X?+y2-2x-4y+1=0的對稱軸，過點(diǎn)A(—3,a)

作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N,則直線MN的方程是。

15.在四邊形ABCD中，AB=BC=1,ZABC=90°,Z\ACD為等邊三角形，將4ACD沿邊

AC折起，使得80=6,則三棱錐D-ABC外接球的體積為o

——+=1(。>/7>0)

16.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓礦曠的左、右焦點(diǎn)分別是R、F2,過點(diǎn)B

且斜率為k的直線與圓工+丁交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在x軸上方)，線段RB與橢圓

交于點(diǎn)M,M延長線與橢圓交于點(diǎn)N,且|AM|=|BF/,|MF2|=2層川,則橢圓的離心

率為，直線AFi的斜率為?

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟。

17(10分)已知數(shù)列｛q｝的前門項(xiàng)和為5“，且5"="一，數(shù)列｛1?11｝滿足1511=3bnr+2(n>2),

且b1=a1+1°

(1)求數(shù)列｛4｝和｛bj的通項(xiàng)公式:

(2)設(shè)數(shù)列｛g｝滿足Cn=an(bn+1)，求數(shù)列｛,｝的前n項(xiàng)和T”。

18.(1)共享汽車，是指許多人合用一輛車，即開車人對車輛只有使用權(quán)，而沒有所有權(quán)，

有點(diǎn)類似于在租車行業(yè)里的短時(shí)間的租車。它手續(xù)簡便，打個(gè)電話或通過網(wǎng)上就可以預(yù)約訂

車某市為了了解不同年齡的人對共享汽車的使用體驗(yàn)，隨機(jī)選取了100名使用共享汽車的體

驗(yàn)者，讓他們根據(jù)體驗(yàn)效果進(jìn)行評分

(1)設(shè)消費(fèi)者的年齡為x,對共享汽車的體驗(yàn)評分為y若根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得

到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程為9=1.5x+15,且年齡x的方差為酸=9,評分y的方差為學(xué)=

25。求y與x的相關(guān)系數(shù)r,并據(jù)此判斷對共享汽車使用體驗(yàn)的評分與年齡的相關(guān)性強(qiáng)弱(當(dāng)

時(shí)，認(rèn)為相關(guān)性強(qiáng)，否則認(rèn)為相關(guān)性弱)；

(2)現(xiàn)將100名消費(fèi)者的年齡劃分為“青年”和“中老年”，評分劃分為“好評”和“差

評”。整理得到如下數(shù)據(jù)，請將2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為對共

享汽車的評價(jià)與年齡有關(guān)。

好評差評合計(jì)

青年16

中老年12

臺計(jì)44100

6=屋里型2二21

附：回歸直線9=Ax+&的斜率

f(七一元)(%一刃

相關(guān)系數(shù)r=?J“

］另(西-了)2￡(丫.-亍)2

Vi=\i=\

獨(dú)立性檢驗(yàn)中的k2=n(ad-bc)2苴中〃=Q+Z?+C+d

(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)'1

臨界值表:

P(K2>ko)0.0500.0100.001

k。3.846.63510.828

19.(1)已知a,b,c分別為AABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊，且bcosC+V3bsinC=a+c。

(I)求B；

(2)若aABC為銳角三角形，且。=2,求aABC的面積S的取值范圍。

20.(1)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD是正

三角形，側(cè)面PAD,底面ABCD,M是PD的中點(diǎn)

(1)若平面ABM與棱PC交于點(diǎn)N,求證：N是PC的中點(diǎn)；

(2)求二面角A—PC—D的正切值。

21.(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的方程為丁=2*(〃>°),直線1經(jīng)過拋

物線的焦點(diǎn)F與拋物線交于點(diǎn)A,B,經(jīng)過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)O的直線交拋物線的準(zhǔn)線于

點(diǎn)D。

(1)①求OA.OB的斜率之積；②求IOAHOBI的取值范圍；

(2)求證：直線BD平行于拋物線的對稱軸。

22.(1)已知函數(shù)f(X)=-xZ+(a-j)x+a-3(X>0)

(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)XI，*2,記h(X/X2)=f(Xi)f(X2),求h(XI，X2)的

取值范圍。

張家港市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月階段性調(diào)研

數(shù)學(xué)答案解析

注意事項(xiàng)：

考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：

1.本卷共6頁，包含單項(xiàng)選擇題（第1題~第8題）多項(xiàng)選擇題（第9題~第12

題）填空題（第13題~第16題）解答題（第17題~第22題）本卷滿分150分，

考試時(shí)間為120分鐘考試結(jié)束后，請將答題卡交回。

2.答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填

寫在答題卡的規(guī)定位置。

3.請?jiān)诖痤}卡上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效作

答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆請注意字體工整，筆跡清楚。

一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.已知集合5={5|$=2〃+1,〃€2},T={r|r=4〃+l,〃wZ},則snT=

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【解析】TjS,ScT=T,選c

2若a>O,b>°,則“a+b44"是“abW4”

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】“a+bW4"時(shí)+疝，貝gbW4,充分

“而44”時(shí)，取。=i,b=4,則。+力=5>4,不必要，選A。

2

cosa=一

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a以O(shè)x為始邊，且3。把角a的終邊燒端點(diǎn)O按

71

逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)2弧度，這時(shí)終邊對應(yīng)的角是|3,則sin|3=

A.二B.ZC.-正D.T

333

【答案】B

?0.(萬、2

sinp=sin一+a=cosa=—

【解析】<2)3,選B

4.若直線>="""+1)-1與曲線y=e*相切，直線>=/("+1)—1與曲線y=Mx相切，

則k#2的值為

\_

A.2B.1C.eD.e'

【答案】B

【解析】直線h：>=匕(*+1)-1過定點(diǎn)人(一1,—1)是丁=，的切線，切點(diǎn)設(shè)為B(xi，

exl),y'=ex,%[=/',切線y-e*1=c*'(x—M)過A(―1，—1),

—1一泊=e』(一1—%)，.?一?"=1,直線b：y=&(x+1)—1過定點(diǎn)A(—1,一1)是

y=In%的切線，切點(diǎn)為和為C(X2,lnx2),>'=-，k>=—,切線：y—Inx2=—(x—x9)

xx2x2

過A(—1,—1),

=

—1—Inx2—(一]—“2)

.x2.%21nx2=1,則工2>]

令/(x)=xlnx(x>1),/z(x)=lnx+l>0,f(x)在(L+oo)/,

1x

/(x,)=')=1,x2-e*,k、k>—e'—=1,選B。

5.2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位：m)三

角高程測量法是珠峰高程測量方法之一，如圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A,B,

C三點(diǎn)，且A,B.C在同一水平面上的投影A',B，,C滿足NA'C'B'=45°,ZA'B'C^60°。

由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為15,BB與CC的差為100；由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為45,則A,

C兩點(diǎn)到水平面ABC的高度差A(yù)4'—CC約為(百=1.732)

D.346

【答案】C

【解析】如圖過C作COLBB',垂足為D,過B作BE_LA4',垂足為E。

BD100100

CD==100(2+⑹

tan15~CD~~CD2-G

RtABCD中,

.100(2+?_A*.A0=100G+100

...BE=100G+100=AE

后6F'..

W

.A4,-CC=A4,-(BB,-10())=A7V,-B5,+100

=AE+100=100V3+200=373；選c

/(.A/("J>2022

6.已知函數(shù)“x)=r對任意的占">0,有

々一%恒成立,

則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

ion101FIOIF

22

A.io,+oo)B.(,+oo)c.［2,+8)D.I,+oo)

【答案】D

323>2022

［解析］玉>玉>0有々一石，.?./(馬)一2022/>/(%)—2022%

??g(%)=/(%)-2022x在((),+oo)/,g，(x)=Y+%in%-2022%

k

g'(x)=2%+——2022>010112

x恒成立，2/一20221+220,^->0

2

%上

2，選D。

7.在AABC中，AB=2,AC=3,N84C=60°,N為線段BC的中點(diǎn)，M為線段AC上

靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，兩條直線AN與BM相交于點(diǎn)P,則衣-BC=

W工2U

A.4B.4c.4D.4

【答案】A

【解析】

A3/1,

---1-----=11__1___1___

VB,P,M三點(diǎn)共線，22,則；［=一，麗=二通+—恁

244

而屁=（厚+；回（/一硝=；網(wǎng)一珂=；

8.在平面直角坐標(biāo)系xOv中，M為雙曲線/一產(chǎn)=4右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)M到直線

X-y+2=0的距離大于m恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為

A.1B.&C.2D.2及

【答案】B

【解析】雙曲線X一）'=4,漸近線：y=x

d5/2廠

y=x與x_y+2=0的距離72,則〃?Wj2,即根,皿=及，選B。

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0

分。

9.設(shè)ZGC,在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)為Z,則下列條件的點(diǎn)Z的集合是圓的有

A.z-z-\B.|z-l|=|z+l|

C.|z-1|=21z+11D.|z-l|+|z+l|-2

【答案】AC

【解析】令2=%+）力彳=%一.

對A,z?N=（x+yi）（x-yi）=x2+J=1表示圓，A對。

對B,|z-lHz+l|,則d+（y—i1=x2+（y+i）2,則y=。不是圓，B錯(cuò)。

對于C,|z—l|=2|z+]|,則尤2+（,_1）2=4*+（,+]）2]

，（5丫」6

化簡得13）9表示圓，c對。

對于D,|z+l|+|z_l|=Jx2+（y+i）2+也2+&_1）2=2表示線段,D錯(cuò)。

10.在棱長為2的正方體ABCD—中，M為底面ABCD的中心，Q是棱上一

點(diǎn)，且麗=4^4ZG[0,1J,N為線段AQ的中點(diǎn)，則下列命題正確的是

A.CN與QM異面

B.三棱錐A—DMN的體積跟X的取值無關(guān)

C.不存在入使得AM_LQAZ

D.當(dāng)2時(shí)，過A,Q,M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的面積為2

【答案】BD

【解析】連AC,CQ,則M,N分別為AC,AQ的中點(diǎn)，MN為aAQC的中位線。

MN//CQ,則CN,QM共面，A錯(cuò)。

VA-DMN^N-ADM=]SA4￡>M[=§為定值，B對。

如圖建系。I(0,0,2),Al(2,0,2),加=4取1'，則Q(21,0,2)

W=(-1,1,0),=(1-22,1,-2),AM-2M=22-1+1=22,

4=0時(shí)，AMA.OM,C錯(cuò)。

截面如圖所示，圖形ACFQ,過Q作AC的垂線垂足為G。

S1(0+2⑹乎《

D對。

11.已知f(x)是定義在R上周期為4的偶函數(shù)，且8(*)=''('),貝!!

A.f(x)關(guān)于直線X=1對稱B.g(x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對稱

C.g(6)=0D.g(l)=°

【答案】BC

【解析】f(x+4)=f(x)=f(-x),；.f(x)關(guān)于X=2對稱，A錯(cuò)。

f'(x+4)=-f'(-x),即g(x+4)=-g(-x),...g(x+4)+g(-x)=0,

即g(x)關(guān)于(2,0)對稱，B對。

/(x+4)=/(x),.?.f,(x+4)=f/(x),即g(x+4)=g(x),g(x)的周期為4,

虱6)=g(2)=0,C對。

無法判斷g(1)是否為0,D錯(cuò)，選BC。

12.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(3x+](3>0),已知f(x)在[0,2兀]有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，下述四

個(gè)結(jié)論正確的是

A.f(x)在(0,2n)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)

B.f(x)在(0,2TI)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)

1912

C.3的取值范圍是[1°,5)

兀

D.f(x)在(0,12)上單調(diào)遞增

【答案】BCD

【解析】。342萬，則牌3X+牌2713+(，f(X)有4個(gè)零點(diǎn),

兀1912

則2加yd￡69G[—,—),C對

5105

f(x)有兩個(gè)極小值點(diǎn)，2個(gè)或3個(gè)極大值點(diǎn)，A錯(cuò)，B對

八7C717171717C71.43"2、27C

0<X<—,一<5+一<—①+一，一69+—G[---，一乃)，—7K—

1255125125120552

71

：.f(x)在(0,12)/,D對，選BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)f(x)="+ae-x為偶函數(shù)，則不等式/(m-2)+/(4-/n2)<0的解集為

【答案】(—,-1)52,+8)

【解析】/(%)=ex+ae-x為偶函數(shù)，則a=l,f(x)=ex+e~x,f'(x)="—為奇函數(shù)在

R上/,/'(機(jī)—2)+/'(4—m2)<0,則/'(6-2)<—/'(4一，〃2)=/'(加2-4)

m—2<m2—4,加>2或m<—I

14.已知直線/：av+y-l=O是圓C：x?+y2-2x-4y+1=0的對稱軸，過點(diǎn)A(—3,a)

作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N,則直線MN的方程是.

［答案】4x+3y-6=。

【解析】圓9+V一2x—4y+l=°,圓心c(1,2),半徑為2,1是圓C的對稱軸，則

。+2—1=0,.?.a=-l,A(—3,—1),過A作圓C：(l)+(丁—2)=4的切線，

切點(diǎn)為M,N,切點(diǎn)弦MN：(-3-1)6-1)+(—1-2)。-2)=4,即4%+3丁-6=°。

15.在四邊形ABCD中，AB=BC=1,4ABe=90。，Z^ACD為等邊三角形，將AACD沿邊

AC折起，使得80=6,則三棱錐D—ABC外接球的體積為。

6兀

【答案】2

【解析】取AC中點(diǎn)M,連BM,DMo

13

4+3-1V6V3

乙l~~—=—，sinzDBM=—

2x^xV333

過D作平面ABC的垂線，垂足為N,.?.DN=gx掾=1,BN=V2,MN=y

22

fOM+i=RQ.r=

設(shè)外接球半徑為R,則12，則R=蟲，V=￡TTR3=每

((1-0M)2+工=R2232

——+=l(ct>/?>0)

16.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓礦曠的左、右焦點(diǎn)分別是R、F2,過點(diǎn)B

且斜率為k的直線與圓工+丁交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在x軸上方)，線段RB與橢圓

交于點(diǎn)M,M6延長線與橢圓交于點(diǎn)N,且|AM|=|BFi|,IMF2I=2|FzN|,則橢圓的離心

率為，直線AFi的斜率為?

【答案】~\

【解析】取中點(diǎn)G,則由|AM|=|BF/nAF]=BM,且由F】G=GMnAG=GB,，G

為AB中點(diǎn)，/.OG±ABt又：o為F1F2中點(diǎn)，，0G||MF2nMFi1MF2,設(shè)F?N=X,

.*.MF2=2x,.\MF1=2a—2x,NF】=2a—Xo

在RtAMFiN中，(2a—2x)2+9x2=(2a—x)2=-8ax+13x2=-4ax4-x2=>x=|,

MFi=：a,MF2=在Rt^MFiFz中，竺a2+把=4c?

3399

c石

=橢圓離心率a3,圖中1<AB=tan。=￡=：(0=4MF1F2),

5a2

當(dāng)AB斜率為負(fù)時(shí)，畫圖知顯然不滿足，舍去。

綜上應(yīng)填：3；2。

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟。

17(10分)已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S“，且?一〃，數(shù)列｛bn｝滿足以=3bn_1+2(n>2),

且b]—a1+1o

(1)求數(shù)列｛%｝和｛孤｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛/｝滿足Cn=an(bn+1)，求數(shù)列｛品｝的前n項(xiàng)和T”。

【解析】

(I)當(dāng)〃=1時(shí)，4=5=1,

22

當(dāng)n32時(shí)，an=Sn-Sn_t=n—(n—l)=2n—1,

因?yàn)椤斗?,所以

因?yàn)閎n=3bn.1+2(n>2),所以(以+1=3(bn_1+l)(n>2),

又bi=a1+1=2,所以bn_i+1H0,所以[跖+占=3(n>2),

bn-l+l

所以數(shù)列｛bn+1｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列。

所以bn=3-3n-l-l=3n-lo

n

(2)Cn=an(bn+1)=(2n-l)3,

23n

Tn=1x3+3x3+5x3+-+(2n-1)x3

234n+1

3Tn=1x3+3x3+5X3+-+(2n-1)X3

23nn+1

-2Tn=1x3+2X3+2x3+-+2X3-(2n-1)X3

=-3+2(3+32+…+3n)-(2n-1)X3n+1=-3+2x二；)-(2n-1)x3n+1

1—3

=-6+3n+1-(2n-l)x3n+1=-6+(2-2n)x3n+1,

所以Tn=(n-1)x3n+1+3

18.(1)共享汽車，是指許多人合用一輛車，即開車人對車輛只有使用權(quán)，而沒有所有權(quán)，

有點(diǎn)類似于在租車行業(yè)里的短時(shí)間的租車。它手續(xù)簡便，打個(gè)電話或通過網(wǎng)上就可以預(yù)約訂

車某市為了了解不同年齡的人對共享汽車的使用體驗(yàn)，隨機(jī)選取了100名使用共享汽車的體

驗(yàn)者，讓他們根據(jù)體驗(yàn)效果進(jìn)行評分

(1)設(shè)消費(fèi)者的年齡為x,對共享汽車的體驗(yàn)評分為y若根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得

到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程為歹=1.5x+15,且年齡x的方差為毆=9,評分y的方差為蘇=

25。求y與x的相關(guān)系數(shù)r,并據(jù)此判斷對共享汽車使用體驗(yàn)的評分與年齡的相關(guān)性強(qiáng)弱(當(dāng)

W時(shí)，認(rèn)為相關(guān)性強(qiáng)，否則認(rèn)為相關(guān)性弱)；

(2)現(xiàn)將100名消費(fèi)者的年齡劃分為“青年”和“中老年”，評分劃分為“好評”和“差

評”。整理得到如下數(shù)據(jù)，請將2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為對共

享汽車的評價(jià)與年齡有關(guān)。

好評差評合計(jì)

青年16

中老年12

臺計(jì)44100

6二ZL（七一可（.一刃

附：回歸直線3=6%+&的斜率’）

￡（七一元）（％一9）

相關(guān)系數(shù)r=「“

（不-方了力（R-才

V/=1/=1

獨(dú)立性檢驗(yàn)中的k2=g+b）黑）蒜??其中i，+c+d。

臨界值表：

P(K2>ko)0.0500.0100.001

k。3.846.63510.828

【解析】

100

Z(Xj-X)ioo

(1)因?yàn)镾；=衛(wèi)---------=9,所以￡(七一君2=900,

100/=!

100

Z(x-y)2

因?yàn)閟；=旦7G—=25,所以Z(y—力2=2500,

lUv/=1

100

Z(x,D(y,一刃

因?yàn)槭炊?----------=1.5，

￡(%-元)2

/=!

100100

所以Z(x,—君(％—9)=L5xZ(%—君2=1.5x900=1350,

/=1/=!

100

13501350“

所以相關(guān)系數(shù)，二哥------而——-----------------------------------------=(_)9

￡（%——￡（y-y）27900x250030x50

i=\/=1

因?yàn)?.9>0.75,所以可以判斷對共享汽車使用體驗(yàn)的評分與年齡的相關(guān)性很強(qiáng)

（2）根據(jù)題意可得2x2列聯(lián)表如下：

好評差評合計(jì)

青年163248

中老年401252

合計(jì)5644100

因?yàn)镵?=際貌篝蕾就西=1925>10,828,所以有99.9%的把握認(rèn)為對共享汽

車的評價(jià)與年齡有關(guān)。

19.(1)已知a,b,c分別為AABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊，且bcosC+遍bsinCa4-Co

(1)求B；

(2)若AABC為銳角三角形，且。=2,求AABC的面積S的取值范圍。

【解析】

abJ=2R

(1)VbcosC+V3bsinC=a+c,由正弦定理sinAsinBsinC

邊化角得sinBcosC+百sinBsinC=sinA+sinC

=sin(B+C)+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC,

V3sinBsinC+sinC=cosBsinC,

?：CG(0,71),sinCw(),

V3sinB=cosB+1

.,.2sin(B-^)=1

B=—

又B所以B-旨也即3。

n兀4-2萬

B=—A+C=——

(2)3,3,即八=票一(：，又c=2,

2sin(竽-C)_V3cosC+sinC一百+1

二由正弦定理得a=煞一元+1，

sinCsinC

?FABC=jacsinB=as嗎*唆+1),

0<A<一

2

TTTT

VAABC為銳角三角形,0<C<-,解得多<c<—

262

2萬

--C

3

從而tanCe(——,+oo),.-.Se

20.(1)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD是正

三角形，側(cè)面PAD_L底面ABCD,M是PD的中點(diǎn)

(1)若平面ABM與棱PC交于點(diǎn)N,求證：N是PC的中點(diǎn)；

(2)求二面角A—PC—D的正切值。

【解析】

(I)???底面ABCD為正方形，...AB〃C￡),

：ABa面PCD,DCu面PCD,；.AB〃面PCD,

：ABU面ABM,平面ABM與面PCD交于直線MN,A8/MN,

'JAB//CD,：.MN//CD,

由M是PD的中點(diǎn)，得N是PC的中點(diǎn)

(2)方法一：?.?底面ABCD為正方形，CD'AE

?.,側(cè)面PAD_L底面ABCD,側(cè)面PADC1底面MCZ)=AD,CDu底面ABCD.

ACDlffiPAD,；AMU面PAD,ACD1AM

?.?面PAD是正三角形，M是PD的中點(diǎn)，PDLAAf,

而CDCIPD=D,CD,PDU面PCD,，AMJ_面PCD,

在4PCD內(nèi)過M作MH1PC于點(diǎn)H,連接AH,

由AMJ_面PCD,PCcffiPCD,所以AMIPC。

由MH1PC,AMnMH=M,所以PC_L平面AMH,

又AHU平面AMH,所以PCIAH。

所以NAHM為二面角A-PC-。的平面角，tan4AHM=需，

由？A=2,則AM=g,MH=—PM=—,

22

tanZ.AHM=—=牛=A/6O

MHV2

方法二

建系如圖所示,

AP=(0-1>V3),AC=(2,2,0),平面APC的一個(gè)法向量n=(V3,一百，1)；

CP=(-2>-l<V3),DP=(0,-1,V3),平面APC的一個(gè)法向量m=

(0>V3>1)；cos(m-n)=-^=,tan0=V6?

21.(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的方程為y2=2px(p>°),直線1經(jīng)過拋

物線的焦點(diǎn)F與拋物線交于點(diǎn)A,B,經(jīng)過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)O的直線交拋物線的準(zhǔn)線于

點(diǎn)D。

(1)①求OA.OB的斜率之積；②求IOAMOBI的取值范圍：

(2)求證：直線BD平行于拋物線的對稱軸。

【解析】解析一

<1)設(shè)A舄，yi),B*,y2),所以直線AB的方程為2px-(y1+y2)y+丫佻=0，因

-P_2

為直線1過焦點(diǎn)(2,0),所以％必=一',

①k°A,k°B=—=—~—J"=T，所以O(shè)A,OB的斜率之積為一4o

=4/17+4/」+!)〉(丁尸叢)

4\y,?24

所以例的取值范圍是［乎，+00)

4

x--pp.

(2)直線OA的方程是y=含x,拋物線的準(zhǔn)線為2,所以D(―2,_2-),又yB=

丫2=所以yB=yD

所以直線BD平行于拋物線的對稱軸。

x=my+—

解析二：(1)①設(shè)直線1方程為2,A(xi，yi),B(x2,%),

x=my+—2c2c

-2=>y—2pmy-p~=0,

.V=2px

d.yipi

?■?yiY2=—p2,x”2=

2p2p-4

4

②KM=令=女，'

2kM%

2P

；?I°AI=小+磊卬-Ji+磊㈤=p2ji+=+表(川+4)

I1i'5-

NP9J"而+羽二卜佻口正

當(dāng)且僅當(dāng)弘=一%時(shí)取“="，即A5_Lx軸時(shí)取"="。

.??I0AHOBI取值范圍為gp2,+00)。

(2)0人方程丫=型*,令*=一巳=丫口=一巳=y2，ABD||x,證畢!

Yi2Yi

-x2+(a-2)x+a-3

22.(1)已知函數(shù)f(x)(x>0；

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)X1，尤2,記h(X/X2)=f(xjf(x2),求h(Xl,X2)的

取值范圍。

【解析】解析一

(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+00),對f(X)求導(dǎo)得：

_ex(-2x+a-2)-ex[-xz+(a-2)x+a-3]_x2-ax+l

jX=-，

令g(x)=x2—ax+1,X>0

(i)若〃貝即r(x)>o,所以f(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增。

(ji)若a>0,g(0)=1

①當(dāng)△<()時(shí)，即0<aW2,則即所以