專題六第2講隱圓問題

第2講隱圓問題隱圓問題近幾年在各地?？己透呖嫉奶羁疹}和解答題中都出現(xiàn)過，難度為中、高檔題．在題設(shè)中沒有明確給出圓的相關(guān)信息，而是隱含在題目中的，要通過分析、轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，從而最終利用圓的知識(shí)來求解，我們稱這類問題為“隱圓”問題．例1(1)已知圓C：(X—3)2+(y—4)2=1和兩點(diǎn)A(—m,0),B(m,0),且m>0.若圓C上存在一點(diǎn)P，使得∠APB=90°,則m的最大值是()A．7B．6C．5D．4答案B解析如圖所示，圓C：(X-3)2+(y-4)2=1的半徑為1,IOCI=5,所以圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)O距離的最大值為6，最小值為4,由∠APB=90°可得，以AB為直徑的圓和圓C有交點(diǎn)，連接OP,故IPO∣=2abI=m，故4≤m≤6.所以m的最大值是6.⑵在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓X2+y2=1交X軸于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，若直線X+√3y+m=0上存在點(diǎn)P,使得IPAI=2IPBI,則m的取值范圍為.答案［-呈L解析由題意得A(-1,0),B(1,0)，設(shè)P(X,y),則由IPAI=2IPBI,得(X+1)2+y2=2'：'(X-1)2+y2,即(X-I)2+y2=196，5—+m因此圓(X-5)2+y2=號(hào)與直線X+√∣y+m=0有交點(diǎn)，即--≤4，解得-4≤m≤1.3/ 9 ' 2 3 3故m的取值范圍為1-133,1. ，一 一一一，一一 f r. ，一 ，一.ff例2(1)在平面直角坐標(biāo)系XOy中，點(diǎn)A(—12,0),B(0,6),點(diǎn)P在圓O：X2+y2=50上，若PA?PB≤20,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是()A.[0,?⑵ B.[—5√2,1]C.[—?,12,√2] D.[—2,0]答案B→→解析設(shè)P(X,y)，由PA?PB≤20可得(x+6)2+(y-3)2≤65,則點(diǎn)P為圓。在圓(x+6)2+(y-3)2:65內(nèi)部及其上的點(diǎn)，IX2+y2=50,聯(lián)立LX2+y2+12X-6y=20,解得X=1，或,X=-5,Ly=-5.Ly=7結(jié)合圖形(圖略)可知-5√2≤X≤1.???一?. ?.......?……――> .??⑵已知等邊三角形ABC的邊長為2,點(diǎn)P在線段AC上，若滿足PA?PB—2A+1=0的點(diǎn)P恰有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是.<31答案18,2」解析如圖，以AB的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為X軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-1,0),B(1,0)，設(shè)P(X,y),則→?→-2A+1=0,即為(-1-X)(1-X)+y2-2A+1=0，化簡得X2+y2=2A(A>0)，故所有滿足→?→-2A+1=0的點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，戶為半徑的圓上.過點(diǎn)O作OM⊥AC，垂足為點(diǎn)M，由題意知，線段AC與圓X2+y2=2A有兩個(gè)交點(diǎn)，所以IOM∣<√2A≤lOAI,即^3<√2A≤1,解得^≤2.■能力提升發(fā)現(xiàn)隱圓的方法(1)利用圓的定義或圓的幾何性質(zhì)確定隱圓．⑵在平面上給定相異兩點(diǎn)A,B，設(shè)點(diǎn)P在同一平面上且滿足IPAI=AIPBI,當(dāng)A>0且A≠1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是個(gè)圓，這個(gè)圓我們稱作阿波羅尼斯圓.⑶兩定點(diǎn)A,B，動(dòng)點(diǎn)P滿足→?PB二丸，確定隱圓?(4)兩定點(diǎn)A,B,動(dòng)點(diǎn)P滿足IPA∣2+∣PB∣2是定值，確定隱圓?O跟蹤演練1.已知圓O：x2+y2=1,圓M：(X—a)2+(y—2)2=2.若圓M上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為A,B，使得PA⊥PB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.[0,2] B.[—5?'2,1]C.[—\,,2,√2] D.[—2,2]答案D解析由題意可知四邊形PAOB為正方形，IOPI=\12,???點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，以\/2為半徑的圓上，又P也在圓M上，???IOMI≤2λ,'r2，.??a2+4≤8，???-2≤a≤2..已知圓O：x2+y2=5,A,B為圓O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且ABI=2,M為弦AB的中點(diǎn)，C(2√2,a),D(2λ,'2,a+2).當(dāng)A,B在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有∠CMD為銳角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .答案(一8,—2)∪(0,+∞)解析由題意得IOMI=[U=2,所以點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，半徑為2的圓上.設(shè)CD的中點(diǎn)為N,則N(2√2,a+1),且\CDI=2.因?yàn)楫?dāng)A,B在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有∠CMD為銳角，所以以O(shè)為圓心，半徑為2的圓與以N(2√2,a+1)為圓心，半徑為1的圓外離，所以?j(2√2)2+(a+1)2>3,整理得(a+1)2>1,解得a<-2或a>0,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-2)∪(0,+∞)..已知圓C：(x—2)2+y2=2,直線l：y=k(X+2)與X軸交于點(diǎn)A,過l上一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為T，若IPAI=PPT，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .答案3--；177,解析由題意知A(-2,0),C(2,0),設(shè)P(X,y),則由IPAI二率IPTI,得IPAI2=2IPTI2=2(IPCI2-2),故(X+2)2+y2=2[(x-2)2+y2-2],化簡得(X-6)2+為=36,所以滿足IPAI=，、,②PT的點(diǎn)P在以(6,0)為圓心，6為半徑的圓上，由題意知，直線y=k(X+2)與圓(％-6)2+為=36有公共點(diǎn)，所以d=「BU≤6，解得-學(xué)k+2+1 7≤k≤7..在平面直角坐標(biāo)系XOy中，已知圓C：(X—a)2+(y—a+2)2=1,點(diǎn)A(0,2)，若圓C上存在點(diǎn)M,滿足IMAI2+IMOI2=10,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .答案[0,3]解析設(shè)M(X,y),由IMAI2+imoi2=1