2023北京海淀北大附中初二期中（下）數(shù)學(xué)試卷及答案

2023北京北大附中初二（下）期中數(shù)學(xué)班級(jí)__________數(shù)學(xué)教室號(hào)__________姓名__________考號(hào)__________1．本試卷共6頁(yè)，道小題，滿分100分，時(shí)間90分鐘．2．在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫(xiě)班級(jí)、數(shù)學(xué)教室號(hào)、姓名和考號(hào)．3．試題答案一律填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．4．在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5．調(diào)研結(jié)束，請(qǐng)將答題卡交回．考生須知一、選擇題（本題共分，每小題3分）第1—8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．．．1.計(jì)算(2)2的結(jié)果為（）A.2B.4C.2D.222.以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A.5，12，B.12，3C.44，4D.4，563.下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）1A.5B.12C.D.D.m27P(?2)到原點(diǎn)的距離是（）4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A.1B.2C.535.下列計(jì)算正確的是（）A.2+3=5B.23?3=3C.52=10BCD.6=326.如圖，已知平行四邊形ABCD，BAD的角平分線交邊于點(diǎn)．交E延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如果FF=，那么的度數(shù)是（）BA.30B.40C.50D.7.如圖，在實(shí)踐活動(dòng)課上，小華打算測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，她發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面后還多出1m，當(dāng)她把繩子斜拉直，且使繩子的底端剛好接觸地面時(shí)，測(cè)得繩子底端距離旗桿底部5m，由此可計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度是（）第1頁(yè)/共24頁(yè)A.8mB.10mC.12mD.15m8.如圖，AB為55的正方形網(wǎng)格中的兩個(gè)格點(diǎn)，稱四個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的矩形為格點(diǎn)矩形，在此圖中以A，B為頂點(diǎn)的格點(diǎn)矩形共可以畫(huà)出（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)二、填空題（本題共分，每小題3分）9.若二次根式x?1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．x10.在平行四邊形ABCD中，∠A+∠＝100°，則∠A＝__．在四邊形ABCD中，如果條件可以是______12.“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等”的逆命題是：___________________________13.如圖，在中，D，E分別為AB，邊的中點(diǎn)，若=3，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_____．，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得四邊形ABCD成為平行四邊形，這個(gè)14.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的面積均為1，正方形ABCM，，MNPQ的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則正方形MNPQ的面積為_(kāi)_________．第2頁(yè)/共24頁(yè)⊥于E，如果15.如圖，在中，對(duì)角線﹑BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作交ADAE===25，則長(zhǎng)為_(kāi)________．16.在Rt△ABC中，∠ACB=90°ACBC=1．點(diǎn)Q在直線BC上，且AQ=2，則線段BQ的長(zhǎng)為_(kāi)__________．三、解答題（本題共分，第題6分，第18—21題每小題4分，第22—24題每小題5分，第25題7分，第26題8分）17.計(jì)算（1）+3+；（2）(2)+(?25+5?2318.如圖，點(diǎn)E、F是平行四邊形ABCD的對(duì)角線上的兩點(diǎn)．CF．=求證：DFBE．=19.下面是小明設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．第3頁(yè)/共24頁(yè)已知：如圖，直線l及直線l外一點(diǎn)A．求作：直線AD，使得AD//l．作法：如圖，①在直線l上任取兩點(diǎn)B，C，連接AB；②分別以點(diǎn)A，C為圓心，線段BCAB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在直線l上方相交于點(diǎn)D；③作直線AD．直線AD就是所求作的直線．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1（2）完成下面的證明．證明：連接CD．∵AB________，BC＝________，∴四邊形ABCD為平行四邊形（_________∴AD//l．1a=20.在解決問(wèn)題“已知，求2a2?8a+1的值”時(shí)，小明是這樣分析與解答的：2+312?3∵a===2?3，(+?)2+32323∴a?2=?3(?)∴a22=3，即a2?4a+4=3∴a∴2a2?4a?8a+1=2a?4a)+1=2(?)+1=?1.=?1(22請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：2(1)化簡(jiǎn)：；5?31a，求3a2?6a?1的值.(2)若2中，ABC=90，在邊上截取AD=AB，連接，過(guò)點(diǎn)A作⊥于點(diǎn)21.如圖，在E．已知6，BC8，如果F是邊==BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長(zhǎng)．第4頁(yè)/共24頁(yè)22.如圖，Rt△中，C90，AD平分BAC，交BC于點(diǎn)D，BC=4，BD=2.5．=（1）則點(diǎn)D到直線AB的距離為_(kāi)_____．（2）求線段的長(zhǎng)．23.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是，A，B，C，D均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．（1）判斷BCD是否為直角：______（2）直接寫(xiě)出四邊形ABCD的面積為_(kāi)_____．（3）找到格點(diǎn)E，并畫(huà)出四邊形ABEDABCD面積相等．24.已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝2，∠ABD＝15°，∠＝60°．（1）求∠BDC的度數(shù)；（2）求CD的長(zhǎng)．25.如圖，三角形中，ABBC，AB=BC=4，E為線段⊥上任意一點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，連接DE，作DF垂直于DE且滿足=（點(diǎn)與點(diǎn)B在直線FEDEF，直線EF交AB第5頁(yè)/共24頁(yè)于點(diǎn)G．（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖1AE=2，則ED的長(zhǎng)為_(kāi)_____；（2）若點(diǎn)G恰好是線段EF的中點(diǎn)，連接，證明：=4且AC⊥BF．（3）作點(diǎn)B關(guān)于直線DF的對(duì)稱點(diǎn)．連接，DQ，當(dāng)AQ+取最小值時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)Q的面積．26.對(duì)平面上的兩個(gè)圖形X，Y，若平移圖形X所得的圖形X與Y相交，則稱X為X關(guān)于Y的“巡邏平移圖形”，稱X關(guān)于Y的所有巡邏平移圖形所組成的整體，為X關(guān)于Y的“巡邏區(qū)域”，其面積為X關(guān)于Y的“巡邏面積”．示例：如下圖，線段是線段AB關(guān)于線段CD的一個(gè)巡邏平移圖形；平行四邊形EFGH是線段AB關(guān)于線段CD的巡邏區(qū)域．注：圖中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形．（1）①請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線段CD關(guān)于線段AB的巡邏區(qū)域，其面積為_(kāi)_____；mnxmnx②已知線段和線段的長(zhǎng)度分別為1，，且關(guān)于的巡邏面積為，則的取值范圍是______；（2）圖中三角形區(qū)域T關(guān)于平行四邊形區(qū)域P的巡邏面積為_(kāi)_____；注：此處所指的三角形區(qū)域，平行四邊形區(qū)域，以及下文的正方形區(qū)域均包含內(nèi)部的所有點(diǎn)．（3）①若線段k關(guān)于某邊長(zhǎng)為1的正方形區(qū)域的巡邏面積為，則線段k長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____；②若正方形區(qū)域S關(guān)于某長(zhǎng)度為1的線段的巡邏面積為12S邊長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．第6頁(yè)/共24頁(yè)參考答案一、選擇題（本題共分，每小題3分）第1—8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．．．1.【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)二次根式的性質(zhì)求解即可．2【詳解】解：()2=2，故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握(a)2=a(a0)是解答此題的關(guān)鍵．2.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理、三角形的三邊關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、52+122=169132，則此項(xiàng)可以構(gòu)成直角三角形，符合題意；=B、1+2=3，則此項(xiàng)不能構(gòu)成三角形，不符合題意；C、42+4+52242，則此項(xiàng)不可以構(gòu)成直角三角形，不符合題意；=4162，則此項(xiàng)不可以構(gòu)成直角三角形，不符合題意；D、42故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵．3.【答案】A【解析】【分析】檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是．【詳解】A、被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式是最簡(jiǎn)二次根式，故A符合題意；B、12=223=23，被開(kāi)方數(shù)含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，不是最簡(jiǎn)二次根式，故B不符合題意；1777C、==，被開(kāi)方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，故C不符合題意；727D、m2=m，被開(kāi)方數(shù)含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，不是最簡(jiǎn)二次根式，故D不符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．4.【答案】D【解析】第7頁(yè)/共24頁(yè)【分析】直接利用勾股定理求解即可．P?1,2【詳解】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)()到原點(diǎn)的距離是(??)102+(?)20=5,2故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握“由兩點(diǎn)的坐標(biāo)求解兩點(diǎn)之間的距離”是解本題的關(guān)鍵．5.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的加減乘除法法則逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、2與3不是同類(lèi)二次根式，不可合并，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、23?3=3，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、52=10，則此項(xiàng)正確，符合題意；D、63=2，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．6.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得=F=，然后根據(jù)角平分線的定義可得BAD=2=140，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB∥CD,AD∥，BAF=F=70，是BAD的角平分線，BAD=BAF=140，又，B=180?BAD=，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7.【答案】C【解析】【分析】由題可知，旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用勾股定理即可解答．【詳解】解：設(shè)旗桿的長(zhǎng)度為xmx）m，如圖，第8頁(yè)/共24頁(yè)在Rt△ABC中，由勾股定理得：x22=（+12，解得：x=12，∴旗桿的高度為12m．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．8.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)、矩形的判定畫(huà)出相應(yīng)的圖形即可得．【詳解】解：共可以畫(huà)出以下4個(gè)格點(diǎn)矩形：故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與網(wǎng)格問(wèn)題，熟練掌握矩形的判定是解題關(guān)鍵．二、填空題（本題共分，每小題3分）9.【答案】x1【解析】【分析】根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得．【詳解】解：由題意得：x10，?解得x1，故答案為：x1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．10.【答案】50°．第9頁(yè)/共24頁(yè)【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，∵∠A+∠C100°，∴∠A＝50°，故答案為：50°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行四邊形的性質(zhì).【答案】AD∥（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定即可得．【詳解】解：根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可知，這個(gè)條件可以是AD∥，故答案為：AD∥【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題關(guān)鍵．12.【答案】如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等【解析】【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題．【詳解】解：命題“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等”的題設(shè)是“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等”，結(jié)論是“那么它們的絕對(duì)值相等”，故其逆命題是“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等”．故答案為：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等.13.【答案】6【解析】【分析】直接根據(jù)三角形中位線定理即可得．【詳解】解：在BC=2DE=6故答案為：．中，D，E分別為AB，邊的中點(diǎn)，且=3，【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．14.【答案】45【解析】【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵CM=3CN=6，∠MCN=90°，第10頁(yè)/24頁(yè)∴MN2=CM2+CN2=32+62=45，∴正方形的面積=MN2=45，故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．15.【答案】42【解析】【分析】連接CE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AO=CO，CD=AB=25，然后判斷出OE垂直平分AC根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得CE=AE=4，利用勾股定理的逆定理得到∠CED=90°，得到△AEC是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)論．【詳解】解：連接EC，如圖四邊形ABCD是平行四邊形，=，，是線段的垂直平分線，==4，在中，ED2=4=20=DC2+22=20，2=(25)2EC2+ED22，DEC=90，AEC=90AC2=AE2+EC2=42+4=32，2=42【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理及逆定理，正確作出輔助線證得∠CED=90°是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．16.【答案】3+1或3?1【解析】【分析】分當(dāng)Q在射線CB上和當(dāng)Q在射線BC上兩種情況利用勾股定理求解即可.【詳解】解：如圖所示，當(dāng)Q在射線CB上時(shí)，第頁(yè)/共頁(yè)∵AC=BC，AQ=2ACB=90°，∴=AQ2?AC=3，2∴BQ=?=3?1；如圖所示，當(dāng)Q在射線BC上時(shí)，∵AC=BC，AQ=2ACB=90°，∴∠ACQ=90°，∴=AQ2?AC=3，2∴BQ=+=3+1，故答案為：31或+3?1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠理解Q的位置有兩個(gè).三、解答題（本題共分，第題6分，第18—21題每小題4分，第22—24題每小題5分，第25題7分，第26題8分）17.1）26+3+32（2）6【解析】）先化簡(jiǎn)各式，再合并同類(lèi)二次根式；（2）先化簡(jiǎn)各式，再進(jìn)行加減運(yùn)算．【小問(wèn)1解：原式26+=3+32；【小問(wèn)2原式=5?2+3=6．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，二次根式的運(yùn)算．熟練掌握二次根式的性質(zhì)，正確的計(jì)算，是解題的第12頁(yè)/24頁(yè)關(guān)鍵．18.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，CD=，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得DCF=BAE，再根據(jù)三角形全等的判定可得△CDFABE，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，∥CD，CD=，DCF=，CD==，CF=中，在和)，=．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19.12），AD，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形【解析】）根據(jù)作法畫(huà)出圖形即可；（2）根據(jù)“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”進(jìn)行證明即可．）如圖所示，（2）證明：連接CD．∵ABCD，BC＝AD，∴四邊形ABCD∴AD//l．故答案為：，AD，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形的判定．20.1）5+322．【解析】第13頁(yè)/24頁(yè)【分析】（）根據(jù)分母有理化的方法可以解答本題；（2）根據(jù)題目中的例子可以靈活變形解答本題．2,1）5?32(5+3)5?35+3)=,(2(5+3)=,2=5+3.12+1（2）∵a===2+1.21?(?+)2121∴a?1=，∴a∴a2??2a+1=，22a=1∴a∴a2?6a=2?6a?1=．【點(diǎn)睛】二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分母有理化的方法是解題的關(guān)鍵.21.【答案】2【解析】【分析】先利用勾股定理可得AC=10，從而可得CD=4，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得點(diǎn)E是的中點(diǎn)，然后根據(jù)三角形中位線定理即可得．【詳解】解：在中，ABC=90，=6，BC=8，=ADAB，CD=?=?=4，2+2=10，ADAB，⊥，又點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，是邊BC的中點(diǎn)，1EF=CD=2．2【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等腰三角形的三線合一、三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．22.1）第14頁(yè)/24頁(yè)（2）4【解析】）過(guò)點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可求解；（2）首先利用勾股定理，即可求得的長(zhǎng)，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)，即可求解．【小問(wèn)1⊥E解：，BD=2.5，CD=BC?BD=4?2.5=1.5，過(guò)點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)，⊥E△C中，C=90，⊥平分BAC，==，D到直線AB的距離為，故答案為：；【小問(wèn)2解：在中，BE=BD2?2=2.52?1.5=2，2DEB=，=，BB，=，BC41.5AC===3．BE2【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．23.1）不是（2）（3）見(jiàn)解析（答案不唯一）【解析】）先利用勾股定理分別求出2,CD,BD2的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可得；2（2）利用分割法求解即可得；（3）先利用平行四邊形的性質(zhì)找到格點(diǎn)E，再利用等高模型畫(huà)出圖形即可．第15頁(yè)/24頁(yè)【小問(wèn)1+52=29，解：22CD2=1=4+CD2+22=5，=32，22+42222，BCD不是直角，故答案為：不是．【小問(wèn)2111155?25?21?11?13?15=14解：四邊形ABCD的面積為，2222故答案為：14．【小問(wèn)3解：如圖，點(diǎn)E和四邊形ABED即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題、勾股定理的逆定理、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于?？碱}型．24.1）45°（2）3+1【解析】）由AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝60°，可求得∠ABC與∠ADC的度數(shù)，然后在Rt△ABD中，利用直角三角形的性質(zhì)，求得∠ADB的度數(shù)，繼而求得∠BDC的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，在Rt△BCE中，由BC=2C=60o，得∠EBC=30o，1由此CE=BC=1，由勾股定理可求得BE=3，由等角對(duì)等邊得DE=BE=3，即可求得CD的值.2【小問(wèn)1解：∵AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝60°，∴∠ABC＝90°，∠ADC＝180°?∠＝120°．在Rt△ABD中，∵∠A＝90°，∠ABD＝15°，∴∠ADB＝75°，第16頁(yè)/24頁(yè)∴∠BDC＝∠ADC?∠ADB＝45°；【小問(wèn)2解：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，在Rt△BCE中，∵BC=2，∠C=60o，∴∠EBC=30o，1∴CE=BC=1，BE=BC2CE2=3，?2∵∠BDC=45o，∴DE=BE=3，∴CD=DE+CE=3+1.【點(diǎn)睛】此題考查了直角梯形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．25.1）1020?45（2）見(jiàn)解析（3）5【解析】）過(guò)點(diǎn)E作⊥于點(diǎn)H，先后求得42，CE，CH==3，=1，=在中，利用勾股定理即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)E作EM∥BF交AB于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作ND⊥交于點(diǎn)N△CDN是等腰直角三△NED()，得到NE=，3=4角形，得到點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，證明△△，再證明()，ME=BF，=NE，推出△AEM是等腰直角三角形，據(jù)此即可證明結(jié)論；（3）由于==，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以D為圓心，BC為直徑的圓，則當(dāng)A、Q、D三點(diǎn)共AQ25?25?51線時(shí)，AQ+的值最小，求得==，S=ABBD=4，利用等高的兩個(gè)△AD2552三角形的面積關(guān)系即可求解．【小問(wèn)1解：過(guò)點(diǎn)E作⊥于點(diǎn)H，則CHE=90，第17頁(yè)/24頁(yè)三角形中，AB⊥BC，AB=BC=4，∴AC=4+4=42，22∵D是BC的中點(diǎn)，1=BD=BC=2∴，2∵AE=2，∴CE=AC?AE=32，∵C=，∴是等腰直角三角形，2∴CH==CE=3，2∴=CH?CD=1，在中，由勾股定理得，ED=EH2+2=32+1=10；2故答案為：10；【小問(wèn)2證明：過(guò)點(diǎn)E作EM∥BF交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作ND⊥交于點(diǎn)，∴△CDN是等腰直角三角形，1CD=ND=BC=2∴，21∴CN=22+22=22=AC，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，N2∵=，第18頁(yè)/24頁(yè)∴BD=ND，∵5+BDE==6+BDE，∴5=6，BD=ND5=6=在△BFD和中，，△NED()，∴∴NE=，3=4，∵點(diǎn)G是線段EF的中點(diǎn)，∴GE=GF，∵EM∥BF，∴1=2，1=2=在△BFD和中，，=△()，∴∴MEBF，=∴=NE，∵2+3=，∴1+4=45，∴=1+4+FED=，∴AEM=90，即ME⊥AC，∴FB⊥AC；∵A=，∴△AEM是等腰直角三角形，11∴AE==BF=EN=AN=AC，2即=4且AC⊥BF；【小問(wèn)34解：由題意得==，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以D為圓心，BC為直徑的圓，∴當(dāng)A、Q、D三點(diǎn)共線時(shí)，AQ+的值最小，如圖，第19頁(yè)/24頁(yè)∵AB4，=2，∴AD=4+2=25，252，AQ25?2=12=?=?S△=ABBD=4，225?15?5===∴∴∴，AD2555△△AD?AQ55==，51220?45AB=的面積為．5【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．126.1）①畫(huà)圖見(jiàn)解析，8x2（2）502（3）①；②22【解析】mn）①先根據(jù)題意畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，然后利用網(wǎng)格求出面積即可；②先畫(huà)出線段關(guān)于線段的1巡邏區(qū)域，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥EF交EF延長(zhǎng)線于，由關(guān)于的巡邏面積為，求出mn=，由此即2可得到答案；（2）如解析圖，先畫(huà)出三角形區(qū)域T關(guān)于平行四邊形區(qū)域P的巡邏區(qū)域，然后利用網(wǎng)格求出面積即可；（3）①如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，則由平行四邊形CDHT和正方形ABCD組成的區(qū)域即為線段k關(guān)于正方形ABCD區(qū)域的巡邏區(qū)域，其中AF=BG=BK==DT=DE，過(guò)點(diǎn)A作⊥于N，過(guò)點(diǎn)K作KM⊥BC于M，證明ANFBMK，得到MK，設(shè)FNMKANb，由線段k關(guān)于正方形ABCD區(qū)域的====21212巡邏面積為，推出a+b=1，再由勾股定理得到AF2=2a?+，則，即可求出線段22第20頁(yè)/24頁(yè)2k長(zhǎng)度的最小值為；②如圖所示，線段AB=1，則由平行四邊形EFMN2和正方形，，AQPF組成的區(qū)域即為區(qū)域S關(guān)于線段AB的巡邏區(qū)域，過(guò)點(diǎn)C作CT于T，CW⊥BD于W，證明四邊形TCWD是矩形，則=DW，設(shè)=DW==n，正方形區(qū)域S的邊長(zhǎng)為x，由正方形區(qū)域S關(guān)于線段AB的巡邏面積為12，6?2x26?2x2推出m+n=，由勾股定理得m+=1，再證明m+n2，得到2進(jìn)而求出2n2xx3x?x2或S邊長(zhǎng)的最小值為2．2【小問(wèn)1解：①如圖所示，平行四邊形即為線段CD關(guān)于線段AB的巡邏區(qū)域，其面積為24=8；②如圖所示，設(shè)==x，則平行四邊形EFGH是線段AB關(guān)于線段CD的巡邏區(qū)域，即平行mn四邊形EFGH是線段關(guān)于線段的巡邏區(qū)域，∴EF2AB2，==過(guò)點(diǎn)G作GM⊥EF交EF延長(zhǎng)線于，mn∵關(guān)于的巡邏面積為1，∴EFGM=1，1∴=，212∴=GM=，1∴x；2【小問(wèn)2解：如圖所示，即為三角形區(qū)域T關(guān)于平行四邊形區(qū)域P的巡邏區(qū)域，∴三角形區(qū)域T關(guān)于平行四邊形區(qū)域P的巡邏面積為第21頁(yè)/24頁(yè)162+42+22+42+