2022年高考全國1卷理科數(shù)學(xué)試題

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第2頁/共2頁精品文檔推薦2022年高考全國1卷理科數(shù)學(xué)試題6,2022年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科)（新課標(biāo)Ⅰ)

第I卷（挑選題)

一、單選題

1．已知集合{}

}2

42{60MxxNxxx=->的左、右焦點(diǎn)分離為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的

兩條漸近線分離交于A，B兩點(diǎn)．若1FAAB=uuuruuur，

120FBFB?=uuu

ruuur，則C的離心率為____________．

17．VABC的內(nèi)角A，

B，

C的對邊分離為a，b，c，設(shè)2

2

(sinsin)sinsinsinBCABC-=-．（1）求A；

（22bc+=，求sinC．

18．如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分

別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．

（1）證實(shí)：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

19．已知拋物線C：y2

=3x的焦點(diǎn)為F，斜率為3

2

的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若3APPB=uuuruuur

，求|AB|．

20．已知函數(shù)()sinln(1)fxxx=-+，()fx'為()fx的導(dǎo)數(shù)．證實(shí)：

（1）()fx'在區(qū)間(1,

)2

π

-存在唯一極大值點(diǎn)；

（2）()fx有且僅有2個零點(diǎn)．

21．為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希翼知道哪種新藥更有效，為此舉行動物實(shí)驗(yàn)．實(shí)驗(yàn)計劃如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效舉行對照實(shí)驗(yàn)．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再支配下一輪實(shí)驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止實(shí)驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了便利描述問題，商定：對于每輪實(shí)驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得1-分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得1-分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分離記為α和β，一輪實(shí)驗(yàn)中甲藥的得分記為X．（1）求X的分布列；

（2）若甲藥、乙藥在實(shí)驗(yàn)開頭時都給予4分，(0,1,,8)ipi=L表示“甲藥的累計得分為i時，終于認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則00p=，81p=，

11iiiipapbpcp-+=++(1,2,,7)i=L，其中(1)aPX==-，(0)bPX==，

(1)cPX==．假設(shè)0.5α=，0.8β=．

(i)證實(shí)：1{}iipp+-(0,1,2,,7)i=L為等比數(shù)列；(ii)求4p，并按照4p的值解釋這種實(shí)驗(yàn)計劃的合理性．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為22

21141txttyt?-=??+??=?+?

，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為

極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l

的極坐標(biāo)方程為

2cossin110ρθθ++=．

（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2）求C上的點(diǎn)到l距離的最小值．23．[選修4-5：不等式選講]

已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證實(shí)：（1）

222111

abcabc

++≤++；（2）

333

()()()24abbcca+++≥++參考答案

1．C【解析】【分析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素質(zhì)．實(shí)行數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】

由題意得，{}{}

42,23MxxNxx=-=0.3000.20.21,2()01fπππ=>-+．故選D．【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了規(guī)律推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素質(zhì)．實(shí)行性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．6．A【解析】【分析】

本題主要考查利用兩個計數(shù)原理與羅列組合計算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)素質(zhì)，“重卦”中每一爻有兩種狀況，基本領(lǐng)件計算是住店問題，該重卦恰有3個陽爻是相同元素的羅列問題，利用直接法即可計算．【詳解】

由題知，每一爻有2中狀況，一重卦的6爻有62狀況，其中6爻中恰有3個陽爻狀況有36C，

所以該重卦恰有3個陽爻的概率為3

6

62C=516

，故選A．

【點(diǎn)睛】

對利用羅列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復(fù)，第二要分析是羅列問題還是組合問題．本題是重復(fù)元素的羅列問題，所以基本領(lǐng)件的計算是“住店”問題，滿足條件

大事的計算是相同元素的羅列問題即為組合問題．7．B【解析】【分析】

本題主要考查利用平面對量數(shù)量積計算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)素質(zhì)．先由()abb-⊥得出向量,ab的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計算出向量夾角．【詳解】

由于()abb-⊥，所以2

()abbabb-?=?-=0，所以2abb?=，所以

cosθ=22||12||2

abbabb?==?，所以a與b

的夾角為3π

，故選B．【點(diǎn)睛】

對向量夾角的計算，先計算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注重向量夾角范圍為[0,]π．8．A【解析】【分析】

本題主要考查算法中的程序框圖，滲透閱讀、分析與解決問題等素質(zhì)，仔細(xì)分析式子結(jié)構(gòu)特征與程序框圖結(jié)構(gòu)，即可找出作出挑選．【詳解】

執(zhí)行第1次，1,122Ak==≤是，由于第一次應(yīng)當(dāng)計算1

122+=1

2A+，1kk=+=2，循環(huán)，執(zhí)行第2次，22k=≤，是，由于其次次應(yīng)當(dāng)計算1

1

2122++=12A+，1kk=+=3，循環(huán)，

執(zhí)行第3次，22k=≤，否，輸出，故循環(huán)體為1

2AA

=+，故選A．

【點(diǎn)睛】

秒殺速解仔細(xì)觀看計算式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可知循環(huán)體為1

2AA

=

+．

9．A【解析】【分析】

等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．本題還可用排解，對B，55a=，

44(72)1002

S-+=

=-≠，排解B，對C，2

45540,25850105SaSS==-=?-?-=≠，排解C．對D，2455415

0,5250522SaSS==-=?-?-=≠，排解D，故選A．

【詳解】

由題知，415

14430

2

45dSaaad?

=+??=???=+=?，解得132ad=-??=?，∴25nan=-，故選A．【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計算等素質(zhì)．利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，在適當(dāng)計算即可做了推斷．10．B【解析】【分析】

由已知可設(shè)2FBn=，則212,3AFnBFABn===，得12AFn=，在

1AFB△中求得11cos3FAB∠=，再在12AFF△

中，由余弦定理得n=.

【詳解】

法一：如圖，由已知可設(shè)2FBn=，則212,3AFnBFABn===，由橢圓的定義有

121224,22aBFBFnAFaAFn=+=∴=-=．在1AFB△中，由余弦定理推論得

22214991

cos2233nnnFABnn+-∠==??．在12AFF△中，由余弦定理得

2214422243nnnn+-???=

，解得n=

2

2

2

2423,3,312,anabac∴==∴=∴=-=

-=∴所求橢圓方程為22

132

xy+=，

故選B．

法二：由已知可設(shè)2FBn=，則212,3AFnBFABn===，由橢圓的定義有

121224,22aBFBFnAFaAFn=+=∴=-=．在12AFF△和12BFF△中，由余弦定理得222122

2144222cos4,

422cos9nnAFFnnnBFFn

?+-???∠=?+-???∠=?，又2121,AFFBFF∠∠互補(bǔ)，2121coscos0AFFBFF∴∠+∠=，兩式消去2121coscosAFFBFF∠∠,，得223611nn+=，

解得3

n=

．2222423,3,312,anabac∴==∴=∴=-=-=∴所求橢圓方程為22

132

xy+=，故選B．

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其容易性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、規(guī)律推理等數(shù)學(xué)素質(zhì)．11．C【解析】【分析】

化簡函數(shù)()sinsinfxxx=+，討論它的性質(zhì)從而得出正確答案．【詳解】

()()()()sinsinsinsin,fxxxxxfxfx-=-+-=+=∴Q為偶函數(shù)，故①正確．當(dāng)

2xπ

π所以sin4

C>

，故sinC=

（2）法二：2bc+=Qsin2sinABC+=又()sinsinsincoscossinBACACAC=+=+，3

Aπ

=

1

cossin2sin222

CCC++=收拾可得：3sinCC-=

，即3sin6CCCπ?

?

-=-

=??

?

sin62Cπ?

?∴-=

??

?由2(0,

),(,)3662CCππππ∈-∈-，所以,6446

CCππππ-==+

sinsin(

)4

6

Cπ

π

=+

=

.【點(diǎn)睛】

本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對邊角關(guān)系式舉行化簡，得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系.

18．（1）見解析；（2）5

.【解析】【分析】

（1）利用三角形中位線和11//ADBC可證得//MEND，證得四邊形MNDE為平行四邊形，進(jìn)而證得//MNDE，按照線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）以菱形ABCD對角線交點(diǎn)為原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，通過取AB中點(diǎn)F，可證得DF⊥平面1AMA，得到平面

1AMA的法向量DFuuur；再通過向量法求得平面1MAN的法向量nr

，利用向量夾角公式求得

兩個法向量夾角的余弦值，進(jìn)而可求得所求二面角的正弦值.【詳解】

（1）銜接ME，1BC

MQ，E分離為1BB，BC中點(diǎn)ME∴為1BBC?的中位線

1//MEBC∴且112

MEBC=

又N為1AD中點(diǎn)，且11//ADBC1//NDBC∴且11

2

NDBC=

//MEND∴∴四邊形MNDE為平行四邊形

//MNDE∴，又MN?平面1CDE，DEì平面1CDE//MN∴平面1CDE

（2）設(shè)ACBDO=I，11111ACBDO=I由直四棱柱性質(zhì)可知：1OO⊥平面ABCD

Q四邊形ABCD為菱形ACBD∴⊥

則以O(shè)為原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則：)

3,0,0A

，()0,1,2M，)1

3,0,4A，D（0，-1,0）31,222N??

-

????

取AB中點(diǎn)F，銜接DF，則031,2F?

????

Q四邊形ABCD為菱形且60BAD∠=oBAD∴?為等邊三角形DFAB∴⊥

又1AA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD1DF

AA∴⊥

DF⊥∴平面11ABBA，即DF⊥平面1AMA

DF∴uuur

為平面1AMA的一個法向量，且33,022DF

??=????

uuur設(shè)平面1MAN的法向量(),,nxyz=r

，又)13,1,2MA=-uuuur，33,02

2MN??=-

???

?

uuuur1320

33

02nMAxyznMNxy??=-+=?

∴??=-=??

uuuuvruuuuvr，令3x=1y=，1z=-)

3,1,1n∴=-r

15cos,515DFnDFnDFn?∴===?uuurr

uuurruuurr10sin,5

DFn∴=uuurr

∴二面角1AMAN--的正弦值為：105

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行關(guān)系的證實(shí)、空間向量法求解二面角的問題.求解二面角的關(guān)鍵是能夠利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，從而通過求解法向量夾角的余弦值來得到二面角的正弦值，屬于常規(guī)題型.

19．（1）12870xy--=；（2

【解析】【分析】（1）設(shè)直線l：3

y=

xm2

+，()11,Axy，()22,Bxy；按照拋物線焦半徑公式可得121xx=+；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理可構(gòu)造關(guān)于m的方程，解方程求得結(jié)果；（2）設(shè)直線l：2

3

xyt=

+；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得到韋達(dá)定理的形式；利用3APPB=uuuruuur可得123yy=-，結(jié)合韋達(dá)定理可求得12yy；按照弦長公式可求得結(jié)果.【詳解】

（1）設(shè)直線l方程為：3

y=

xm2

+，()11,Axy，()22,Bxy由拋物線焦半徑公式可知：12342AFBFxx+=++=125

2

xx∴+=

聯(lián)立232

3yxmyx?

=+???=?得：()229121240xmxm+-+=則()2

212121440mm?=-->1

2m∴1

3

t∴>-

122yy∴+=，123yyt=-

3APPB=uuuruuur

Q1

23yy∴=-21y∴=-，13y=123yy∴=-

則

AB==

=

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，涉及到平面對量、弦長公式的應(yīng)用.關(guān)鍵是能夠通過直線與拋物線方程的聯(lián)立，通過韋達(dá)定理構(gòu)造等量關(guān)系.20．（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】

（1）求得導(dǎo)函數(shù)后，可推斷出導(dǎo)函數(shù)在1,2π??

-???

上單調(diào)遞減，按照零點(diǎn)存在定理可推斷出

00,2xπ???∈???

，使得()00gx'=，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在1,2π??

-???上的單調(diào)性，從而可證得結(jié)論；

（2）由（1）的結(jié)論可知0x=為()fx在(]1,0-上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)0,2

xp驏÷

?西?÷?÷

桫時，首先可推斷出在()00,x上無零點(diǎn)，再利用零點(diǎn)存在定理得到()fx在0,

2xπ??

??

?

上的單調(diào)性，可知()0fx>，不存在零點(diǎn)；當(dāng),2xππ??

∈????

時，利用零點(diǎn)存在定理和()fx單調(diào)性可推斷出存

在唯一一個零點(diǎn)；當(dāng)(),xπ∈+∞，可證得()0fx，()

()

2

2

4

4

sin1022

22gππππ??'=-+

=

-；0,2xxπ??

∈??

?時，()0gx'

()fx∴在()00,x上單調(diào)遞增，此時()()00fxf>=，不存在零點(diǎn)

又22cos02222fππππ??'=-=-=，2sinln1lnln102222efππππ????

=-+=>=??

+????

()0fx∴>在0,2

xπ??

??

?

上恒成立，此時不存在零點(diǎn)

③當(dāng),2xππ??

∈?

???

時，sinx單調(diào)遞減，()ln1x-+單調(diào)遞減()fx∴在,2ππ??

????

上單調(diào)遞減

又02fπ??

>

???

，()()()sinln1ln10fππππ=-+=-++>=

()sinln10xx∴-+<

即()fx在

(),π+∞上不存在零點(diǎn)

綜上所述：()fx有且僅有2個零點(diǎn)【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的問題.解決零點(diǎn)問題的關(guān)鍵一方面是利用零點(diǎn)存在定理或最值點(diǎn)來說明存在零點(diǎn)，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說明在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性，二者缺一不行.21．（1）見解析；（2）（i）見解析；（ii）41

257

p=.【解析】【分析】

（1）首先確定X全部可能的取值，再來計算出每個取值對應(yīng)的概率，從而可得分布列；（2）（i）求解出,,abc的取值，可得

()110.40.50.11,2,,7iiiippppi-+=++=???，從而收拾出

符合等比數(shù)列定義的形式，問題得證；（ii）列出證得的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，采納累加的方式，結(jié)合

8p和0p的值可求得1p；再次利用累加法可求出4p.

【詳解】

（1）由題意可知X全部可能的取值為：1-，0，1

()()11PXαβ∴=-=-；()()()011PXαβαβ==+--；()()11PXαβ==-

則X的分布列如下：

（2）0.5α=Q，0.8β=

0.50.80.4a∴=?=，0.50.80.50.20.5b=?+?=，0.50.20.1c=?=

（i）()111,2,,7iiiipapbpcpi-+=++=???Q

即

()110.40.50.11,2,,7iiiippppi-+=++=???

收拾可得：()11541,2,,7i

iipppi-+=+=???()()1141,2,,7iiiippppi+-∴-=-=???

{}1iipp+∴-()0,1,2,,7i=???是以10pp-為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列

（ii）由（i）知：

()110144iiiippppp+-=-?=?

78714ppp∴-=?，67614ppp-=?，……，01014ppp-=?

作和可得：(

)

88017

801111441

4441143

ppppp=?++???+===-

183

41

p∴=

-(

)

440123

44011841441311

44441434141257

ppppp--∴=-=?+++==?==

--+4p表示終于認(rèn)為甲藥更有效的.由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為

0.8時，認(rèn)為甲藥更有效的概率為41

0.0039257

p=≈，此時得出錯誤結(jié)論的概率十分小，說明這種試驗(yàn)計劃合理.【點(diǎn)睛】

本題考查離散型隨機(jī)變量分布列的求解、利用遞推關(guān)系式證實(shí)等比數(shù)列、累加法求解數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列中的項(xiàng)的問題.本題綜合性較強(qiáng)，要求同學(xué)能夠嫻熟把握數(shù)列通項(xiàng)求解、概率求解的相關(guān)學(xué)問，對同學(xué)分析和解決問題能力要求較高.

22．（1）22

:1,(1,1]4

yCxx+=∈-

；:2110lx++=；

（2

【解析】【分析】

（1）利用代入消元法，可求得C的直角坐標(biāo)方程；按照極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化原則可得l的直角坐標(biāo)方程；（2）利用參數(shù)方程表示出C上點(diǎn)的坐標(biāo)，按照點(diǎn)到直線距離公式可將所求距離表示為三角函數(shù)的形式，從而按照三角函數(shù)的范圍可求得最值.【詳解】

（1）由2

2

11txt-=+得：2

10,(1,1]1xtxx-=≥∈-+，又()

2

222161tyt=+()()22

2116141144111x

xyxxxxx-?

+∴==+-=--??+?+??

收拾可得C的直角坐標(biāo)方程為：2

2

1,(1,1]4

yxx+=∈-

又cosxρθ=，sinyρθ=

l∴

的直角坐標(biāo)方程為：2110x++=

（2）設(shè)C上點(diǎn)的坐標(biāo)為：()cos,2sinθθ