2023學(xué)年完整公開(kāi)課版《冪函數(shù)》

2.3冪函數(shù)(1)如果張紅購(gòu)買(mǎi)了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P=______w元(2)如果正方形的邊長(zhǎng)為a,那么正方形的面積S=____(3)如果立方體的邊長(zhǎng)為a,那么立方體的體積V=

____(5)如果某人ts內(nèi)騎車(chē)行進(jìn)1km,那么他騎車(chē)的平均速度v=______________是____的函數(shù)a2a3V是a的函數(shù)t?1km/sv是t的函數(shù)我們先來(lái)看幾個(gè)具體的問(wèn)題:(4)如果一個(gè)正方形場(chǎng)地的面積為S,那么正方形的邊長(zhǎng)_________a是S的函數(shù)以上問(wèn)題中的函數(shù)具有什么共同特征?思考:Pwy=xy=x2y=x3y=xy=x-1____是____的函數(shù)Sa他們有以下共同特點(diǎn)：(1)都是函數(shù)；(3)均是以自變量為底的冪；(2)指數(shù)為常數(shù).一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)(powerfunction)

，其中x為自變量，為常數(shù)。[定義:]問(wèn)題:你能說(shuō)出冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別嗎?注意:冪函數(shù)的解析式必須是y=ｘＫ的形式，其特征可歸納為“兩個(gè)系數(shù)為１，只有１項(xiàng)”．指數(shù)函數(shù)：解析式，底數(shù)為常數(shù)a，a>0，a≠1，指數(shù)為自變量x；冪函數(shù)：解析式，底數(shù)為自變量x，指數(shù)為常數(shù)α，α∈R；判斷下列函數(shù)是否為冪函數(shù).(1)y=x4(3)y=-x2(5)y=2x2(6)y=x3+2

判一判下面研究?jī)绾瘮?shù)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出這六個(gè)冪函數(shù)的圖象.結(jié)合圖象，研究性質(zhì)：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、過(guò)定點(diǎn)的情況等。研究

y=x

x…-3-2-10123……-3-2-10123……9410149……-27-8-101827……\\\01……-1/3-1/2-1\11/21/3…y=xx-3-2-10123y=x29410149x-3-2-10123y=x3-27-8-101827

x0124012x-3-2-1123-1/3-1/2-111/21/3在第一象限內(nèi),函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)與指數(shù)有什么關(guān)系?在第一象限內(nèi)，當(dāng)k>0時(shí)，圖象隨x增大而上升。當(dāng)k<0時(shí)，圖象隨x增大而下降不管指數(shù)是多少,圖象都經(jīng)過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)?在第一象限內(nèi)，當(dāng)k>0時(shí)，圖象隨x增大而上升。當(dāng)k<0時(shí)，圖象隨x增大而下降。圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）K>0時(shí),圖象還都過(guò)點(diǎn)(0,0)點(diǎn)

y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定義域值域奇偶性單調(diào)性

公共點(diǎn)奇偶奇非奇非偶奇(1,1)RRR{x|x≠0}［0,+∞）RR{y|y≠0}［0,+∞）［0,+∞）在R上增在（-∞，0)上減，觀(guān)察冪函數(shù)圖象，將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論寫(xiě)在下表:在R上增在［0，+∞）上增，在（-∞，0]上減,在［0，+∞）上增，在(0，+∞)上減

(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1);

(2)如果α＞０，則冪函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù)；

(3)如果α＜０，則冪函數(shù)圖象在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸，當(dāng)x趨向于+∞時(shí)，圖象在y軸上方無(wú)限地逼近x軸；(4)當(dāng)α為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)α為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．冪函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)一說(shuō)判斷正誤1.函數(shù)f(x)=x+為奇函數(shù).2.函數(shù)f(x)=x2,x[-1,1)為偶函數(shù).3.函數(shù)y=f(x)在定義域R上是奇函數(shù),且在(-,0]上是遞增的,則f(x)在[0,+)上也是遞增的.4.函數(shù)y=f(x)在定義域R上是偶函數(shù),且在(-,0]上是遞減的,則f(x)在[0,+)上也是遞減的.思考

知識(shí)點(diǎn)三一般冪函數(shù)的圖象特征類(lèi)比y＝x3的圖象和性質(zhì)，研究y＝x5的圖象與性質(zhì).答案答案y＝x3與y＝x5的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性完全相同.只不過(guò)當(dāng)0<x<1時(shí)，x5＝x3·x2<x3，當(dāng)x>1時(shí)，x5＝x3·x2>x3，結(jié)合兩函數(shù)性質(zhì)，可得圖象如下：一般冪函數(shù)特征：(1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)

；(2)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)

，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是

函數(shù).特別地，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖象

；當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)的圖象

；(3)

時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)；(4)冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)；(5)在第一象限，作直線(xiàn)x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從

到

的順序排列.梳理(1,1)原點(diǎn)增下凸上凸α<0小大當(dāng)堂訓(xùn)練√答案23451解析答案√234513.設(shè)α∈{－1,1，，3}，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽的所有α的值為A.1,3 B.－1,1C.－1,3 D.－1,1,3答案√234514.下列是y＝x的圖象的是答案√234515.以下結(jié)論正確的是A.當(dāng)α＝0時(shí)，函數(shù)y＝xα的圖象是一條直線(xiàn)B.冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)(0,0)，(1,1)兩點(diǎn)C.若冪函數(shù)y＝xα的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則y＝xα在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大D.冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限，但可能在第二象限√答案23451題型探究例1

已知y＝(m2＋2m－2)

＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n的值.解答類(lèi)型一冪函數(shù)的概念冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義類(lèi)似，只有滿(mǎn)足函數(shù)解析式右邊的系數(shù)為1，底數(shù)為自變量x，指數(shù)為常數(shù)這三個(gè)條件，才是冪函數(shù).如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝

都不是冪函數(shù).反思與感悟類(lèi)型二冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用解答在同一坐標(biāo)系里作出函數(shù)f(x)＝x2和g(x)＝x－2的圖象(如圖所示)，觀(guān)察圖象可得：(1)當(dāng)x>1或x<－1時(shí)，f(x)>g(x)；(2)當(dāng)x＝1或x＝－1時(shí)，f(x)＝g(x)；(3)當(dāng)－1<x<1且x≠0時(shí)，f(x)<g(x).解h(x)的圖象如圖所示：解答注意本題中對(duì)f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)的幾何解釋.這種幾何解釋幫助我們從圖形角度解讀不等式方程，是以后常用的方法.反思與感悟

跟蹤訓(xùn)練2

冪函數(shù)y＝xα(α≠0)，當(dāng)α取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間[0,1]上它們的圖象是一簇美麗的曲線(xiàn)(如圖).設(shè)點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線(xiàn)段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)y＝xα，y＝xβ的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于A.1 B.2C.3 D.無(wú)法確定答案解析∴αβ＝1.故選A.

命題角度1比較大小例3

設(shè)

則a，b，c的大小關(guān)系是A.a>b>c B.b>a>cC.b>c>a D.c>b>a類(lèi)型三冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用答案解析此類(lèi)題在構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)要注意冪函數(shù)的特點(diǎn)：指數(shù)不變.比較大小的問(wèn)題主要是利用函數(shù)的單調(diào)性，特別是要善于應(yīng)用“搭橋”法進(jìn)行分組，常數(shù)0和1是常用的中間量.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練3

比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大?。航獯鸾狻?<0.3<1，∴y＝x0.3在(0，＋∞)上為增函數(shù).解答解∵y＝x－1在(－∞，0)上是減函數(shù)，解答解∵y＝x0.3在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又

y＝0.3x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，命題角度2冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4

已知冪函數(shù)y＝x3m－9(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求滿(mǎn)足<的a的取值范圍.解答解因?yàn)楹瘮?shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以3m－9<0，解得m<3.又因?yàn)閙∈N*，所以m＝1,2.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以3m－9為偶數(shù)，故m＝1.所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a.冪函數(shù)y＝xα中只有一個(gè)參數(shù)α，冪函數(shù)的所有性質(zhì)都與α的取值有關(guān)，故可由α確定冪函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，也可由這些性質(zhì)去限制α的取值.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練4

已知冪函數(shù)f(x)＝

(m∈N*).(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；解答解∵m∈N*，∴m2＋m＝m×(m＋1)為偶數(shù).令m2＋m＝2k，k∈N*，則f(x)＝∴定義域?yàn)閇0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)為增函數(shù)