控制工程基礎(chǔ)第二章控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型尹怡欣Tel：62332262，E-mail：yyx_ustb@

Blog：/YinYixinUSTB信息工程學(xué)院自動化系A(chǔ)(s)G(s)

=

B(s)

y(t)

=

Cx(t)

+

Du(t)x(t)

=

Ax(t)

+

Bu(t)2、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1控制系統(tǒng)的運動方程2.2線性系統(tǒng)的頻域模型2.3方框圖與信號流圖2.4狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式2.5控制系統(tǒng)不同模型間的關(guān)系本章學(xué)習(xí)要點數(shù)學(xué)模型的概念；簡單物理系統(tǒng)的微分方程的列寫；非線性模型的線性化方法；傳遞函數(shù)和傳遞函數(shù)矩陣的概念；結(jié)構(gòu)圖和信號流圖的變換與化簡；狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式；控制系統(tǒng)不同模型形式及其之間的轉(zhuǎn)換。數(shù)學(xué)模型的概念數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實世界、為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結(jié)構(gòu)。具體來說,數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的,用字母、數(shù)學(xué)及其它數(shù)學(xué)符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、...不過我們應(yīng)當(dāng)牢記,建立數(shù)學(xué)模型是為了讓更多的人明了并能加以應(yīng)用,因此工具愈簡單愈有價值。實際系統(tǒng)模型

數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)分析系統(tǒng)仿真系統(tǒng)預(yù)測系統(tǒng)設(shè)計一次模型化二次模型化2.1

控制系統(tǒng)的運動方程設(shè)計控制系統(tǒng)應(yīng)完成哪些工作？控制對象運動規(guī)律的描述控制對象運動規(guī)律定量分析控制對象運動規(guī)律定性分析控制系統(tǒng)的設(shè)計與綜合（本章任務(wù)）控制對象和控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)分析2.1

控制系統(tǒng)的運動方程例2.1.1研究RLC電路，試找出輸出電壓uc(t)隨輸入電壓ur(t)變化的規(guī)律。解R、C、L以及初始uc(0)確定時,已知ur(t)就可以確定uc(t)例2.1.22.1

控制系統(tǒng)的運動方程由質(zhì)量為m的木塊、彈性系數(shù)為K的彈簧和阻尼系數(shù)為B的系統(tǒng)，試找出木塊的位移x(t)與外力f(t)之間的關(guān)系。d2x(t)dx(t)mdt2+B

+Kx(t)

=

f

(t)dtddtf

(t)

=

B

dx(t)d2

x(t)dt2f

(t)

-

fs

(t)

-

fd

(t)

=

mfs

(t)

=

Kx(t)解m、K、B以及初始x(0)確定時,已知f(t)就可以確定

x(t)例2.1.32.1

控制系統(tǒng)的運動方程如圖，直流他勵電動機；ua是外加的輸入變量電樞電壓（伏），ωm表示電動機的角轉(zhuǎn)速（弧度/秒），為輸出量。討論他們之間的關(guān)系。例2.1.32.1

控制系統(tǒng)的運動方程直流他勵電動機；ua是外加的輸入變量電樞電壓（伏），ωm表示電動機的角轉(zhuǎn)速（弧度/秒），為輸出量。討論他們之間的關(guān)系。2.1

控制系統(tǒng)的運動方程電動機軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程：mmm

mcJdtdw(t)+

f

w

(t)=

Mm

(t)

-

Mc

(t)M

(t)—折合到電動機軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩消去中間變量：dtdM

(t

)dtdt

2cam

a-

Ra

M

c

(t

)=

C

u

(t

)

-

LLaJ

m

m

+

(

La

fm

+

RaJ

m

)

m

+

(

Ra

fm

+

Cm

Ce

)w

m

(t

)dw

(t

)d

2w

(t

)

a

a

a a

aadtu

(t)

=

L

di

(t)

+

R

i

(t)

+

EEa

=Cewm

(t),電樞反電勢電磁轉(zhuǎn)矩方程：M

m

=

Cm

ia

(t

)式中，Cm

—電動機轉(zhuǎn)矩系數(shù)

M

m

—電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩

解

電樞回路電壓平衡方程：2.1

控制系統(tǒng)的運動方程注意觀察三個示例的微分方程dtdM

(t)dtdt

2dx(t)+

Bdt

2

dtmdt+Kx(t)=f

(t)------------例2.1.2dt

2d

2

x(t)d

2u

(t)

du

(t)-Ra

Mc

(t)------------例2.1.3c=

Cmua

(t)

-

LaLC

c

+RC

c

+uc(t)=ur

(t)---------例2.1.1LaJm

m

+(La

fm

+

RaJm

)

m

+(Ra

fm

+

CmCe

)w

m

(t)dw

(t)d

2w

(t)T1d

2y(t)

dy(t)dt

2

dt+T2+

y(t)

=

u(t)2.1

控制系統(tǒng)的運動方程注意觀察三個示例的微分方程可以通過求解得到ur(t)~uc(t)、f(t)~x(t)、ua(t)

~ωm(t)之間內(nèi)在運動的關(guān)聯(lián)關(guān)系、分析系統(tǒng)的運動特性。進(jìn)而改造系統(tǒng)-選擇適當(dāng)?shù)腞、L、C和m、B、K得到希望的運動規(guī)律。許多表面上看來似乎毫無共同之處的控制系統(tǒng)，其物理背景不同，但其狀態(tài)運動可能完全一樣，可以用一個運動方程來表示，我們可以不單獨地去研究具體系統(tǒng)而只分析其數(shù)學(xué)表達(dá)式，即它們具有相同的數(shù)學(xué)模型。這類系統(tǒng)被稱為相似系統(tǒng)。2.1

控制系統(tǒng)的運動方程控制系統(tǒng)的運動—對系統(tǒng)施加控制（即輸入控制信號），從而得到系統(tǒng)輸出量（即受控量）隨時間的變化規(guī)律（即輸出響應(yīng)信號）?？刂葡到y(tǒng)的運動方程—根據(jù)描述系統(tǒng)特性的物理學(xué)定律，如機械，電氣，熱力，液壓等方面的基本定律寫出。展示系統(tǒng)在運動過程中各變量之間的相互關(guān)系，既定性又定量地描述整個系統(tǒng)的運動過程。數(shù)學(xué)模型—描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，是分析和設(shè)計自動控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。靜態(tài)模型：在靜態(tài)條件下（即變量不隨時間變化），描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程(組)。動態(tài)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程(組)。2.1

控制系統(tǒng)的運動方程建立數(shù)學(xué)模型的方法解析法—依據(jù)描述系統(tǒng)運動規(guī)律的運動定律來得到微分方程的方法。實驗法—基于系統(tǒng)輸入輸出的實驗數(shù)據(jù)來建立數(shù)學(xué)模型的方法。數(shù)學(xué)模型的形式時域模型

—微分方程、差分方程和狀態(tài)方程；復(fù)頻域模型—傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖、頻率特性。2.1

控制系統(tǒng)的運動方程問題：從嚴(yán)格意義上講，絕大多數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都不是線性模型（即系統(tǒng)并非是線性系統(tǒng)）。事實上，任何一個元件總是存在一定程度的非線性。即使假設(shè)具有線性的特性，也是局限在一定的范圍內(nèi)。幾種常見的非線性2.1

控制系統(tǒng)的運動方程兩類非線性系統(tǒng)非本質(zhì)非線性系統(tǒng)——在一定條件下，能夠用數(shù)學(xué)變換的方法，使非線性系統(tǒng)近似線性化。本質(zhì)非線性系統(tǒng)——不能用數(shù)學(xué)變換的方法使非線性系統(tǒng)近似線性化。（不能通過變量代換的方式，從非線性方程轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性方程的，稱為本質(zhì)非線性方程，與之對應(yīng)的系統(tǒng)，稱為本質(zhì)非線性系統(tǒng)。）2.1

控制系統(tǒng)的運動方程非本質(zhì)非線性系統(tǒng)例：y(t)

=

a x1(t)

+b

x2

(t)如果令：

u1(t)

=

x1(t),

u2

=

x2(t)則有：

y(t)

=

au1

(t)

+

bu2

(t)非線性線性通過變量代換，從非線性方程變成了線性方程2.1

控制系統(tǒng)的運動方程非線性微分方程的求解很困難。在一定條件下，可以近似地轉(zhuǎn)化為線性微分方程，可以使系統(tǒng)的動態(tài)特性的分析大為簡化。實踐證明，這樣做能夠圓滿地解決許多工程問題，有很大的實際意義。線性化的方法

忽略弱非線性環(huán)節(jié)：如果元件的非線性因素較弱或者不在系統(tǒng)線性工作范圍以內(nèi)，則它們對系統(tǒng)的影響很小，就可以忽略。

臺勞（Taylor，泰勒）級數(shù)展開法(小偏差法，切線法，增量線性化法)：適用前提—假設(shè)在控制系統(tǒng)的整個調(diào)節(jié)過程中，各個元件的輸入和輸出量只是在平衡點附近作微小變化。2.1

控制系統(tǒng)的運動方程2(

x

-

x0

)

+

x

00Dy

=

y

-

y0Dx

=

x-xx

0dxk

=

dydy

1

d

2

yy

=

f

(

x

)

=

y

0

+

dx

(

x

-

x0

)

+

2!

dx

2x忽略二次以上的各項，0

上式可以寫成：臺勞級數(shù)展開法A(x0,y0)平衡點，函數(shù)在平衡點處連續(xù)可微，則可將函數(shù)在平衡點附近展開成臺勞級數(shù)：Dy

=

kDx其中：—非線性元件的線性化數(shù)學(xué)模型2.1

控制系統(tǒng)的運動方程平均斜率法：如果一非線性元件輸入輸出關(guān)系如下圖所示，此時不能臺勞級數(shù)展開法，可用平均斜率法得線性化方x

1y

1k

=0xyx1y1-x1-y1程為：y

=

kx其中：2.1

控制系統(tǒng)的運動方程注意：這幾種方法只適用于一些非線性程度較低的系統(tǒng)，對于某些嚴(yán)重的非線性（本質(zhì)非線性)不能作線性化處理，一般用相平面法及描述函數(shù)法進(jìn)行分析。(此部分超出本課程的內(nèi)容，可參考非線性控制的章節(jié)或教材。)2.1

控制系統(tǒng)的運動方程例2.1.4水位自動控制系統(tǒng)：Q1

—輸入量,Q2

—輸出量,H

—水位為，求水箱的微分方程，水箱的橫截面積為C，R表示流阻。Q10

=

Q20

=

02.1

控制系統(tǒng)的運動方程解在dt時間中，水箱內(nèi)流體變化量

CdH

.則：

CdH

=

(Q2

-

Q1

)dtHR￠Q

2

=根據(jù)托里拆利定理，出水量與水位高度平方根成正比，則有：

1

其中R

為比例系數(shù)。水箱的線性化微分方程:1dt-RC

d

DH

+

DH

=

RQ整理得水箱的標(biāo)準(zhǔn)線性化微分方程為:201RQ

=DH

=

DH

,2

H

R￠0其中：

R

=

2

H

R￠附顯然這個式子為非線性關(guān)系,

在工作點

近進(jìn)行臺勞級數(shù)展開。取一次項得：1RC

d

D

H

=

(

D

H

-

Q )

d

tHR￠Q

2

=在dt

時間中，水箱內(nèi)流體變化量CdH.則：根據(jù)托里拆利定理，出水量與水位高度平方根成正比，則有：

1

其中R

為比例系數(shù)。水箱的線性化微分方程:整理得水箱的標(biāo)準(zhǔn)線性化微分方程為:0020R(H

+

H

)

(H

+

H

)Q

==

,2

H

R￠0R

=

2

H

R￠其中：附顯然這個式子為非線性關(guān)系,

在工作點

近進(jìn)行臺勞級數(shù)展開。取一次項得：2.1

控制系統(tǒng)的運動方程解0'01

12HRQ

=Q

-其中：H'=H-H2.1

控制系統(tǒng)的運動方程說明本質(zhì)非線性系統(tǒng)一般不可線性化。多變量情況處理類似。工作點不同，所得線性化方程的線性化系數(shù)不同，即線性化方程不同。非線性系統(tǒng)的線性化方程只在工作點附近才成立。2.1

控制系統(tǒng)的運動方程作業(yè)：p14，1-1，1-5補充習(xí)題1：試求圖中以電樞電壓ua為輸入量，以電動機轉(zhuǎn)角θ為輸出量的微分方程形式和傳遞函數(shù)。2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型問題：①微分方程求解比較困難，不利于工程實現(xiàn)；②有時分析控制系統(tǒng)的性質(zhì)時不必求解方程；是否有更方便的形式描述系統(tǒng)？2.2.1

拉普拉斯變換（Laplace

transformation

）2.2.2

傳遞函數(shù)（transfer

function

）2.2.3

傳遞函數(shù)矩陣2.2.4

典型元部件的傳遞函數(shù)2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2.2.1

拉普拉斯變換（Laplace

transformation

）拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時間函數(shù)f(t)與復(fù)變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來，把時域問題通過數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問題，把時間域的高階微分方程變換為復(fù)頻域的代數(shù)方程以便求解。對應(yīng)時域函數(shù)f(t)(原函數(shù))

復(fù)頻域函數(shù)F(s)(象函數(shù))簡寫為

F(s)

=L

[f(t)]s為復(fù)頻率

s

=

s

+

jwf(t)F(s)便于求解線性微分方程揭示時域系統(tǒng)的頻域特性形成便于計算的控制系統(tǒng)設(shè)計方法便于了解系統(tǒng)的時域響應(yīng)可進(jìn)行數(shù)字仿真2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型0stF

(s)e

ds

1

2p

j+￥f

(t)e-st

dts

+

j￥s

-

j￥F

(s)

=f

(t)

=正變換反變換[

]f

(t)F

(s)-1簡寫F

(s)

=Lf

(t)

=L正變換反變換象函數(shù)F(s)用大寫字母表示,如I(s)，U(s)。原函數(shù)f(t)

用小寫字母表示，如

i(t),

u(t)。12象函數(shù)F(s)

存在的條件：￥0f

(t

)e-st

dt

<

￥e

-st為收斂因子拉氏變換的定義t

<

0

,

f(t)=02.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型如果存在有限常數(shù)M和c使函數(shù)f(t)滿足：f

(t

)

￡

Mect

t

?

[0,

￥

)Me

dt￥

￥--00-(s-c

)tf

(t)e-st

dt

￡M=s

-

C則總可以找到一個合適的s值使上式積分為有限值，即f(t)的拉氏變換式F(s)總存在。2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型典型函數(shù)的拉氏變換(1)單位階躍函數(shù)的象函數(shù)0f

(t)

=1(t)1s-￥-st1(t)e dt

=F

(s)

=

L

[1(t)]

=(2)單位脈沖函數(shù)的象函數(shù)￥-￥f

(t)

=

d(t)

=

0,￥

,

t

=

0t

?

0d(t)dt

=10d(t)e-￥-stdt

=1F

(s)

=L

[d(t)]

=(3)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)f

(

t

)

=

eat01-￥at

-ste

e dt

=s

-

aF

(s)

=

L

eat

=2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型(4)正弦函數(shù)的像函數(shù)f

(t)

=

sin

wt01sin

wte

dtw-￥-st=

1

1-=2

j

s

-

jws

+

jw

s2

+w

2(5)余弦函數(shù)的象函數(shù)f

(t)

=

cos

w

t0s-￥-stcoswte dt

=s2

+w

2F

(s)

=

L

[cosw

t

]=2

jF

(s)

=

L

[sin

wt]

=sin

wt

=

1

(e

jwt

-

e-

jwt

)2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型拉普拉斯變換的基本性質(zhì)線性性質(zhì)若

L

[f1

(t)]

=

F1

(s)

,

L

[f2

(t)]

=

F2

(s)則

L

A1

f1

(t)

+

A2

f2

(t)

=

A1F1(s)

+

A2

F2

(s)時間比例性質(zhì)（相似定理）t

L

f

(s

)

=s

F(s

s)若

L

[f

(t)]

=

F

(s)

,

則2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型積分性質(zhì)s[0tf

(t)dt]

=

1

F

(s)-延遲性質(zhì)-t

s[

f

(t

-

t0

)]

=

e

0

F

(s)設(shè)：

[

f

(t)]

=

F

(s)

則：設(shè)：

[

f

(t)]

=

F

(s)

則：F

(s

+a

)

=

L[e-a

t

f

(t)]頻域延遲在時間域的平移變換在復(fù)數(shù)域有對應(yīng)的衰減變換。時間信號f(t)在時間域的指數(shù)衰減，其拉氏變換在復(fù)數(shù)域有對應(yīng)的坐標(biāo)平移。卷積定理1

20若

L

[f1

(t)]

=

F1

(s)

,

L[f2

(t)]

=

F2

(s)tf1

(t

-t)

f2

(t)dt]F

(s)F

(s)

=

L

[2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型sfi

￥t

fi

0+初值定理終值定理若f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，則f(t)的初值為f

(0+

)

=

lim

f

(t)

=

lim

sF

(s)若f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，則f(t)的終值為f

(￥

)

=

lim

f

(t)

=

lim

sF

(s)t

fi

￥

sfi

0當(dāng)f(t)是周期函數(shù)，如正弦函數(shù)sinωt時，由于它沒有終值，故終值定理不適用。2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型微分性質(zhì)時域?qū)?shù)性質(zhì)-

dt則

df

(t)

=

sF

(s)

-

f

(0

)若：

f

(t)]=

F(s)頻域?qū)?shù)性質(zhì)設(shè)：[f

(t)]=F

(s)ds則：

[-tf

(t)]

=

dF

(s)

(n-1)n-2

(1)n

1n

=

s

F

(s)

-

sdt

n

d

n

f

(t)

-

f

(0)

-

s

f

(0)

--

f

(0)dtnn

=

s

F

(s)

d

n

f

(t)

如果：f

(0)

=f

(1)(0)

=

=f

(n-1)(0)

=0則：dt此時，s

可以和微分算子p=

d

對應(yīng)2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例2.2.1y(n)

(t)

+

an-1y(n-1)

(t)

++

a

y(t)

=

b

u(m)

(t)

++

b

u(t)0

m

0已知微分方程如下，試求初值皆為零時輸出量的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。解(1) (m-1)

y(0)

=

y(1)

(0)

=

=

y(n-1)

(0)=

0u(0)

=

u

(0)

=

=

u

(0)

=

0初值皆為零:由微分性質(zhì)對上式做拉氏變換:snY

(s)

+

a sn-1Y

(s)

++

a

Y

(s)

=

b smU

(s)

++

b

U

(s)n-i

0

m

00D(s)n-1n-1Y

(s)

b

sm

+

b=

m

m-1 0

==

G(s)U

(s)

sn

+

a

ssm-1

++

b

N

(s)++

a（

）2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型拉普拉斯反變換的求法(1)按定義

1

stF

(s)e

ds2p

js

+

j￥s

-

j￥f

(t)

=(2)對簡單形式的F(s)可以查拉氏變換表得原函數(shù)f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)1sinωtws

2

+

w

21(t)1/scosωtss

2

+

w

2t1

s2e-at

sinwt

w

(

s

+

a

)

2

+

w

2e-at1/(s+a)e-at

coswts

+

a(

s

+

a

)

2

+

w

22.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型F

(s)

=

F1

(s)

+

F2

(s)

+f

(t

)

=

f1

(t

)

+

f2

(t

)

+(4)把F(s)分解為簡單項的組合部分分式展開法+

Fn

(s)+

fn

(t

)已知：F

(s)

=

w

,

其原函數(shù)為

f

(t

)

=

sin

wt解s2

+

w

2求F

(s

+a)的原函數(shù)。由延遲性質(zhì)知：-1(F(s

+a))

=

e-at

f

(t)

=

e-at

sinwt思考(s

+

a)2

+

w

2的原函數(shù)F

(s)

=

s

+

a

例2.2.2(3)利用拉氏變換的性質(zhì)2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型設(shè)象函數(shù)的一般形式：n-1

0Y

(s)

b

sm

+

bsm-1

++

b

N

(s)F

(s)

==

m

m-1 0

=(n

?

m)U

(s) sn

+

asn-1

++

a

D(s)nkks

-

ps

-

p s

-

p1

21

+

2

+ +

n

p1t

p2t

pntf

(t

)

=

k1e

+

k2e

+

kne待定常數(shù)（留數(shù)）1(s

-

p

)

F

(s)

=1

1(s

-

p

)

k

(s

-

p

)(s

-

p1)設(shè)n

>m，F(xiàn)

(s)為真分式若D(s)=0有n個單根，分別為p1,p2,…,pn利用部分分式可將F(s)分解為：2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型i

=1、2、3、ns=

pi待定常數(shù)的確定：方法1方法2iiD(s)N

(s)(s

-

p

)k

=

limsfi

piD'

(s)sfi

piN

'

(s)(s

-

p

)

+

N

(s)=

lim

i

iN

(

p

)D'

(

p

)=

i

ki

=

F

(s)(s

-

pi

)求極限的方法關(guān)于s求導(dǎo)數(shù)2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型s

2

+

5s

+

6F

(s)=

4s

+

5

例2.2.2求如下像函數(shù)的原函數(shù)。解k1

k2+s

+

2

s

+

31s=-2k

=

4s

+

5s

+

32ks=-3=

4s

+

5=

7s

+

2解法1F

(s)=

4s

+

5

=s2

+

5s

+

6111=

-3N

(

p

)

4s

+

5k

=D'

(

p

)

2s

+

5s=-2

2=

=

-3

ks=-3=

N

(

p2

)

=

4s

+

5=

7D'

(

p

)

2s

+

52解法2f

(t)

=

-3e-2t

1(t)

+

7e-3t

1(t)原函數(shù)的一般形式：p

tnnp

tp

tneN

(

p

)N

(

p

)

N

(

p

)D'(

p

)2D'

(

p

)21D'

(

p

)121e

+

+e

+f

(t

)

=2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型一對共軛復(fù)根為一分解單元，設(shè)：

p1

=

a

+

jw

p

=

a

-

jw

211N

(s)D(s)D

(s)A

+

BsF

(s)

=

N

(s)

==+

N1

(s)(s

-a

-

jw

)(s

-a

+

jw

)D

(s)s2

-

2a

s

+a

2

+w

21D

(s)k1w=+k2

(s

-a

)

+

N1

(s)(s

-a

)2

+w

2

(s

-a

)2

+w

2若D(s)=0有共軛復(fù)根212wA

+

k

ak

=,

k

=

Bk1f

(t)

=

k

eat

sin

wt

+

k

eat

coswt

+

f

(t)

=1

2

1k

2

+

k

2

eat

sin(wt

+q)

+

f

(t)1

2

1k

2

+

k

21

2其中q

=

-arccos

a

=

arccosa

2

+w

22.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例2.2.3解s的原函數(shù)f

(t

)s2

+

2s

+

5求F

(s)=s2

+2s

+5=0的根：p1,2

=-1–j21f

(t

)

=

e-t

cos

2t

-

1

e-t

sin

2t

=

1.118e-t

cos(2t

+

26.6

)(s

+1)2

+

22

(s

+1)2

+

22

(s

+1)2

+

22s2

+

2s

+

5s

s

+1-1

s

+1F

(s)

=

=

=

-2=1.118e-t

sin(2t

-

63.4

)2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型11

111k1nk11

k12k1n-1sm-1

+b

sm

+

b

+

bF

(s)

=

m

m-1

0(s

-

p

)n=+

+

++s

-

p(s

-

p

)2(s

-

p

)n-1(s

-

p

)n11ns=

p1=

lim[(s

-

p )n

F

(s)]ndF

(s)]ds1n-1s=

p1sfi

p1k

=

lim[sfi

p1(s

-

p

)11nn-1(s

-

p

) F

(s)k11

=

lim

s=

p1sfi

p1

(n

-1)!

ds1d

n-1其中：

k若D(s)=0有重根2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例2.2.4解s(s

+1)2求：F

(s)

=

s

+

4

的原函數(shù)f

(t

)k21

k22=

k1

++s

(s

+1)

(s

+1)21s=0k

=

s

+

4

=

4(s

+1)222sks=-1=

s

+

4=

-321dss=-1k

=

d

[(s

+1)2

F

(s)]=

-4s=-1=

d

[

s

+

4]ds

sf

(t

)

=

4

-

4e-t

-

3te-ts(s

+1)2F

(s)

=

s

+

42.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型1.

n

=m

時將F(s)化成真分式和多項式之和knk1

k2F

(s)

=

A

++

+

+s

-

p1

s

-

p2

s

-

pn小結(jié):由F(s)求f(t)的步驟將真分式展開成部分分式，求各部分分式的系數(shù)對每個部分分式和多項式逐項求拉氏反變換。D(s)2.求真分式分母的根，確定分解單元F

(s)

=

A

+

N0

(s)2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例2.2.5解的原函數(shù)s2

+

5s

+

6s2

+

9s

+

11求：F

(s)==

1+s2

+

5s

+

64s

+

5s2

+

5s

+

6s2

+

9s

+

11F

(s)

==

1+

-

3

+

7s

+

2

s

+

3f

(t

)

=

δ(t

)

+

(7e-3t

-

3e-2t

)作業(yè)：p81，2-5，2-72.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型線性定常微分方程求解方法之一（拉氏變換/反變換法）考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進(jìn)行拉氏變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為變量s

的代數(shù)方程；由代數(shù)方程求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式；對輸出量拉氏變換函數(shù)求拉氏反變換，得到輸出量的時域表達(dá)式，即為所求微分方程的解。例：RLC電路的階躍響應(yīng)時域解。,crrdu

c

dt

L

di

+

Ri

+

u=

u

,

L

=

1H

,

C

=

1F

,

R

=

1Wdti

=

Cu

(0)

=

0.1V

,

i(0)

=

0.1A2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型c

rd

2u

(t)LC

c

+

RC

c

+

u

(t)

=

u

(t)c

rdu

(t)

d

2u

(t)du

(t)dt

2

dt dt

2

dt

c

+

c

+

u

(t)

=

u

(t)s2U

(s)

-

su

(0)

-

u

(0)

+

sU

(s)

-

u

(0)

=

U

(s)c

c

c

c

c

rcCu

(0)

=

1

i(0)

=

0.1cUr

(s)U

(s)

=+

0.1s

+

0.2s2

+

s

+1s2

+

s

+1c=

L[uc

(t)],Ur

(s)

=

L[ur

(t)]2

1u

(t)

=

L-1[U

(s)]

=

L-1c

cs(s

+

s

+1)u

(t)

=1(t),U

(s)

=

1r

r

s0.1s

+

0.2

+

s2

+

s

+1

=1+1.15e-0.5t

sin(0.866t

-120 )

+

0.2e-0.5t

sin(0.866t

+

30

)U

(外s)來輸入初始狀態(tài)1G(s)

=s2

+s

+12.2.2系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（1）定義：單輸入單輸出線性定常動態(tài)對象的傳遞函數(shù)G(s)是零初值下該對象的輸出量的拉普拉斯變換C(s)與輸入量的拉普拉斯變換R(s)之比。2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型回答本節(jié)開始的問題——是否有更方便的形式描述系統(tǒng)？G(s)

=

C(s)

,R(s)C(s)~c(t)——輸出信號R(s)~r(t)——輸入信號思考：為何要規(guī)定零初始條件？Y

(s)

y(t)——輸出信號U

(s)

u(t)——輸入信號線性時不變Linear

Time-Invariant(LTI)2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型這里，“初始條件為零”有兩方面含義：一指輸入作用是t＝0后才加于系統(tǒng)的，因此輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)，在t=0-時的值為零。二指輸入信號作用于系統(tǒng)之前系統(tǒng)是靜止的，即t=0-時，系統(tǒng)的輸出量及各階導(dǎo)數(shù)為零。許多情況下傳遞函數(shù)是能完全反映系統(tǒng)的動態(tài)性能的。2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型RLC電路dtL

di

+

iR

+

u

=

uc

rdti

=

C

duc取ur為輸入，uc為輸出，得:crd

2ududt

2

dtLC c

+

RC c

+

u=

u拉氏變換得：(LCs2

+

RCs

+1

U

(s

=U

(sc

r則傳遞函數(shù)為：1rU

(s)G(s)

=

Uc

(s)

=LCs2

+

RCs

+1例2.2.6解令初值為零例2.2.7解根據(jù)牛頓第二定律，得d

2

x

(tdt

2f

(t

)-

fs

(t

)-

fd

(t

)=

mfs

(t

=

Kx

(tddtf

(t

)=

B

dx

(t

2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型取外力f(t)為輸入；位移x(t)為輸出(ms2

+

Bs

+

K X

(s

=

F

(sG

(s

)=

X

(s

=

1

F

(s

)

ms2

+

Bs

+

Kmdt2d

2

x

(t

dx

(t

dt+

B+

Kx

(t

)=

f

(t

)拉氏變換后得：傳遞函數(shù)為：令初值為零得微分方程：10nmn-1m-1N(s)

b

sm

+bsm-1

+...

+b

s

+bG(s)

==

m

m-1

1

0D(s)

a

sn

+

asn-1

+...

+

a

s

+

asn-1

+...

+

a

s

+

a1

0sm-1

+...

+b

s

+b1

0n

?

m其中，分母多項式：D(s)=a

sn

+an

n-1分子多項式：N(s)

=

b

sm

+b2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型（2）傳遞函數(shù)的常用表示形式2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型零極點形式mnjN

(s)D(s)j

=1(s

-

zi

)G(s)

==

K

*

i=1

(s

-

p

)2

2m1

m2i

j

jn2lN

(s)D(s)n1sgi=1

j

=1l

=1h=1(t

s

+1)

(t2

s2

+

2zt

s

+1)G(s)

==

K(T

s

+1)(Th

s

+

2zTh

s

+1)g

+

n1

+

2n2

=

n時間常數(shù)形式0

0m1+

2m2

=

mm1n1i=1(-zi

)(-pi

)K

=b

a

=K*

i=1

—G(s)的傳遞系數(shù)或增益m

nK

*

=

ba

—G(s)的根軌跡增益2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型（3）傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)表示系統(tǒng)傳遞輸入信號的能力，反映系統(tǒng)本身的動、靜態(tài)性能。它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與外部作用等條件無關(guān)，也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息。一般有n≥m

，所有系數(shù)均為實數(shù)。同一個系統(tǒng)，當(dāng)輸入量和輸出量的選擇點不相同時，可能會有不同的傳遞函數(shù)。不同的物理系統(tǒng)可以有相同（或相似）的傳遞函數(shù)。G(s)與系統(tǒng)的微分方程有直接聯(lián)系（相通性）。G(s)

=L

[y(t)]2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型G(s)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換u(t)=δ(t)G(s)

的零點、極點可以表示在s平面上kg

(s

+

2)G(s)

=(s

+

3)(s2

+

2s

+

2)G(s)零極點分布圖系統(tǒng)的本質(zhì)性能G(s)G(s)為什么？2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型（4）傳遞函數(shù)局限①G(s)原則上不反映y(0)≠0時的系統(tǒng)的全部運動規(guī)律.②G(s)只適用于單輸入，單輸出系統(tǒng)。③

G(s)只適用于線性定常系統(tǒng)——由于拉氏變換是一種線性變換.2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型特征方程：極點/特征根：D(s)=0的根零點：

N(s)=0的根零極點對消系統(tǒng)的階數(shù)：max(n,m)，（一般n≥m）系統(tǒng)的類型放大系數(shù)(增益Gain)（5）傳遞函數(shù)有關(guān)的幾個重要概念：特征多項式：G(s)的分母多項式D(s)D(s)

=

a

sn

+

a sn-1

+...

+

a

s

+

a

=

0n

n-1

1

0—系統(tǒng)的放大系數(shù)K—根軌跡放大系數(shù)Kg2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2.2.3

傳遞函數(shù)矩陣將傳遞函數(shù)的概念推廣到多輸入多輸出系統(tǒng)，傳遞函數(shù)G（s）推廣為傳遞函數(shù)矩陣G（s）。設(shè)系統(tǒng)有p個輸入量、q個輸出量如下圖。G(s)u1u2up。。。y1y2。。。Y

(s)

=

G(s)U

(s)21

gg

(s)yq

g11

(s)qpq

2q1g1

p

(s)

(s)

g

(s)

g

(s)

g12

(s)

g22

(s)

g2

p

(s)

G(s)

=2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例2.2.8如圖，直流他勵電動機；ua是外加的輸入變量電樞電壓（伏），ωm表示電動機的角轉(zhuǎn)速（弧度/秒），為輸出量。討論他們之間的關(guān)系。2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型由例2.1.3系統(tǒng)運動方程為：dtdM

(t

)dtdt

2cmm

ea

m

a

ma

ma

m-

Ra

Mc

(t

)=

Cmua

(t

)

-

La+

R

J

)

m

+

(

R fL

J

m

+

(

L f+

C

C

)w

(t

)d

2w

(t

)

dw

(t

)解mm

ea

ma

m

m

a

m

a

m

m=

CmUa

(s)

-

La

sMc

(s)

-

Ra

Mc

(s)(s)

+

(

R

f(s)

+

(

L

f

+

R

J+

C

C

)w

(s)L

J

s2w

)sw[]amU

(s)M

(s)w

(s)

=1

-(L

s-R

)a

a

L

J

s2

+(L

f

+R

J

)s+(R

f

+C

C

)a

m

a

m

a

m

a

m

m

e

c

拉氏變換得：整理得：

1

2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型①比例環(huán)節(jié)21cRRx

=

-xr

=

KxrXr

(s)X

c

(s)

=

KX

r

(s)G(s)

=

Xc

(s)

=

K2.2.4典型元部件及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)（1）典型環(huán)節(jié)控制系統(tǒng)通常由若干個基本部件組合而成，這些基本部件稱為典型環(huán)節(jié)。包括：比例環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、比例微分環(huán)節(jié)、一階慣性環(huán)節(jié)、二階振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)。2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型②一階慣性環(huán)節(jié)1Ur

(s)

Ts

+1微分方程是一階的,且輸出響應(yīng)需一定的時間才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。其中T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。2du

(t)RCdt+

u2

(t)

=

u1

(t)cdu

(t)Tdt+

uc

(t)

=

ur

(t),

T

=

RC傳遞函數(shù)為：G(s)

=

Uc

(s)

=TsUc

(s)

+Uc

(s)

=

(Ts

+1)Uc

(s)

=

Ur

(s)2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型③積分環(huán)節(jié)Ur

(s)

RCs

s

TsG(s)

=

Uc

(s)

=1

=

K

=

1T為積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，表示積分的快慢程度。積分環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)1cru

(t)dtu

(t)

=RC

傳遞函數(shù)為：輸入與輸出之間是積分運算關(guān)系。2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型純微分環(huán)節(jié)階躍響應(yīng)rU

(s)G(s)

=

Uc

(s)

=

K

suc

(t)

=

CRur

(t)

=

Kur

(t)傳遞函數(shù)為：輸入與輸出之間是微分運算關(guān)系。④

純微分環(huán)節(jié)2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型⑤

一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)（又稱比例微分環(huán)節(jié)、實用微分環(huán)節(jié)）11rgccci

(t)dti

(t)dtCu

(t)

=

11ig

(t)

?

ic

(t)u

(t)

=

Ri

(t)

+C

傳遞函數(shù)為：11cU

(s)CUr

(s)C2G(s)

==

C

Rs

+消去中間變量得：121

rCCC

Ru

(t)

+ur

(t)

=

uc

(t)2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型⑤二階振蕩環(huán)節(jié)這種環(huán)節(jié)包括有兩個不同性質(zhì)的儲能元件，當(dāng)輸入量發(fā)生變化時，兩種儲能元件的能量相互交換。在階躍函數(shù)作用下，其暫態(tài)響應(yīng)可能作周期性的變化。nnw

2G(s)=

n

s2

+

2zw

s

+w

2式中：w

n

——自然振蕩角頻率z

——阻尼比由二階微分方程描述的系統(tǒng)。1rU

(s)G(s)

=

Uc

(s)

=LCs2

+

RCs

+11nC2

LLCw

=,

z

=

1

R2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型⑥延遲/時滯環(huán)節(jié)帶鋼厚度檢測環(huán)節(jié)Dhc

(t=

Dhd

(t

-t)lvt

=uc

(t=

ur

(t

-t)U

(s)G(s)=

c

=

e-tsUr(s)寫成一般形式:傳遞函數(shù)為例零初始條件下，拉氏變換為U

(s)

=

e-t

sU

(s)c

r2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型時滯環(huán)節(jié)的輸出量Dhc

(t

=

Dhd

(t

-t)1

12!

3!t2

t3G

(s)

=?1

+ts1

+ts

+

s

2

+

s3

+時滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)Ur

(s)G(s)

=

Uc

(s)

=

e-ts對于時滯時間很小的時滯環(huán)節(jié)，常把它展開成泰勒級數(shù)，并略去高次項，得：時滯環(huán)節(jié)在一定條件下可近似為慣性環(huán)節(jié)！2.2

線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2.2.4

典型元部件的傳遞函數(shù)元部件名稱傳遞函數(shù)電位器G(s)

=

K測速電機G(s)

=

Ks電加熱爐G(s)=

K

G(s)=

K

e-ts

(有純延遲)Ts

+1

Ts

+1單容水槽G(s)=

K

G(s)=

K

e-ts

(有純延遲)Ts

+1

Ts

+1雙容水槽G(s)=

K

(也可有延遲，略)TTs2

+(T

+T

)s

+11

2

1

2作業(yè)：p81，2-82.3

結(jié)構(gòu)圖（方框圖）與信號流圖2.3.1

系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是由許多對信號進(jìn)行單向運算的方框和一些信號流向線組成，它包含4種基本單元。4）方框（或環(huán)節(jié)）信號線引出點（或測量點）比較點（或綜合點）·2.3

結(jié)構(gòu)圖（方框圖）與信號流圖速度控制系統(tǒng)例2.3.12.3

結(jié)構(gòu)圖（方框圖）與信號流圖0rrU

(s

RI

(s)=1111111fUf

(s)C0sI

(s)

=·C

s

+

R0

2

0C0s·

2

R0R

+2

0C0s

+

2

R0Uf

(s)

R0

Uf

(s)

1=

=

·1+T0s

R01+

R

C

s4

0

011111cUk

(sC

sI

(s

)=Uk

(s

t1

s=(1

+

t

s

)RR

+00

014R

C式中：T

=t1

=

RC11解

（1）比較環(huán)節(jié)和速度調(diào)節(jié)器環(huán)節(jié)2.3

結(jié)構(gòu)圖（方框圖）與信號流圖式中10cRRK

=(

)11kCfUt

s

1

+t

ss

=

K-U

(s)Ur1

+T

s

1

0

整理得2.3

結(jié)構(gòu)圖（方框圖）與信號流圖（2）速度反饋的傳遞函數(shù)U

f

(s

=

Ksf

n

(s式中：Ksf

為速度反饋系數(shù)（3）電動機及功率放大裝置Ud

(s

=

KsUk

(s2dddidt375

dtu-

Cen

=

Rd

id

+

Ldi

C

-

i

C=

GD

dn

d

m

z

m(

)(

(d

edd

dUIs

-

C

n

ss

=R

(1

+

T

s)dCeId

(s

)-

I

z

(s

)=

Tm

R

sn

(s

)2.3

結(jié)構(gòu)圖（方框圖）與信號流圖（4）系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.3

結(jié)構(gòu)圖（方框圖）與信號流圖例：串聯(lián)RC電路的結(jié)構(gòu)圖+_+_+_Ka1C1s1C2s1R21RR(s)C(s)U1(s)1U

(s)U1(s)I1(s)I1(s)I2

(s)I2

(s)2I

(s)C(s)(b)u1(t)c(t)r(t)i1(t)

R1

i2

(t)

R2C1

C2R111=

i

(t)r(t)

-

u

(t)C

u

(t)=

1

[i

(t)

-

i

(t)]dt1

211R221=

i

(t)u (t)

-

c(t)22

1

i

(t)dtCc(t)

=1

11RI

(s)=

1

[R(s)

-U

(s)][

]11211U

(s)=C

sI

(s)

-

I

(s)2

12RI

(s)=

1

[U

(s)

-C(s)]22C(s)=

1

I (s)C

s2.3

結(jié)構(gòu)圖（方框圖）與信號流圖例：串聯(lián)RC電路的結(jié)構(gòu)圖將上圖匯總得到：+__+-1C1s1R21C2s1R1R(s)

+C(s)2.3

結(jié)構(gòu)圖（方框圖）與信號流圖2.3.2

系統(tǒng)的等效變換（方框圖運算法則）（1）串聯(lián)因為所以結(jié)論：多個環(huán)節(jié)串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)等于每個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。R(s)U

(s)C(s)G1(s)

G2

(s)1G

(s)

=

U

(s)2R

(s)

U

(s)G

(s)

=

C(s)1

2R(s)

R(s)

U

(s)G(s)

=

C(s)

=

U

(s)

C(s)

=

G

(s)G

(s)R(s)C(s)G1(s)G2

(s)G(s)

=

G1

(s)G2

(s)Gn

(s)2.3

結(jié)構(gòu)圖（方框圖）與信號流圖2.3.2

系統(tǒng)的等效變換（方框圖運算法則）（2）并聯(lián)因為所以結(jié)論：多個環(huán)節(jié)并聯(lián)后總的傳遞函數(shù)等于每個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和。R(s)

C(s)G1(s)

+

G2

(s)G(s)

=

G1

(s)

+

G2

(s)

++

Gn

(s)1R(s)G

(s)

=

X1

(s)22R(s)G

(s)

=

X

(s)X1(s)

+

X2

(s)

=C(s)G(s)

=

C(s)

=

X1

(s)

+

X

2

(s)

=

X1

(s)

+

X

2

(s)R(s)

R(s)

R(s)

R(s)=

G1

(s)

+

G2

(s)1G

(s)G2

(s)R(s)C(s)X1

(s)++2X

(s)2.3

結(jié)構(gòu)圖（方框圖）與信號流圖2.3.2

系統(tǒng)的等效變換（方框圖運算法則）（3）反饋連接因為所以結(jié)論：具有負(fù)反饋結(jié)構(gòu)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)等于前向通的傳遞函數(shù)除以1加（若正反饋為減）前向通道與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積。R(s)C(s)G(s)1+G(s)H(s)_H

(s)B(s)R(s)

+

E(s)

C(s)G(s)C(s)

=

G(s)E(s)

=

G(s)[R(s)

-

B(s)]=

G(s)[R(s)

-

H

(s)C(s)]R(s)C(s)

=G(s)

=

F

(s)1+

G(s)H

(s)G(s)—前向通道傳函

H(s)—反饋通道傳函2.3

結(jié)構(gòu)圖（方框圖）與信號流圖2.3.2

系統(tǒng)的等效變換（方框圖運算法則）（4）相加點及分支點的換位運算原則:換位前后的輸入/輸出信號間關(guān)系不變。例ABAG-B+-A

+B-1GGGAG-BP62-表2.42.3

結(jié)構(gòu)圖（方框圖）與信號流圖2.3.2

系統(tǒng)的等效變換（方框圖運算法則）（4）相加點及分支點的換位運算原則:換位前后的輸入/輸出信號間關(guān)系不變。序號12345-++ABA

-

B

+

CC+-ABCA

-

B

+

C+++ABAG

-

B+-AB-AG

-

B1G+AB-AG

-

BGBA+-AG

-

BGGAGAGAGAGGGGGG+ABA

-

B

+

C-++C+CBA

+A

-

B

+

C+_原方塊圖等效方塊圖比較點交換比較點分解比較點前移比較點后移分支點前移變換方式AAGG2.3

結(jié)構(gòu)圖（方框圖）與信號流圖2.3.2

系統(tǒng)的等效變換（方框圖運算法則）（4）相加點及分支點的換位運算原則:換位前后的輸入/輸出信號間關(guān)系不變。678910AGAGAAAG1GAG+B-AA

-

BA

-

BBB-++-AA

-

BA

-

BAG1G2AG1

+

AG2++A1GG2

1

G2AG1

+

AG2+