2022年湖南省婁底市石牛中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

2022年湖南省婁底市石牛中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4x+c的值域?yàn)閇0，+∞），則的最大值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【分析】由于二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4x+c的值域?yàn)閇0，+∞），所以a＞0，且△=0，從而得到a，c的關(guān)系等式，再利用a，c的關(guān)系等式解出a，把轉(zhuǎn)化為只含一個變量的代數(shù)式利用均值不等式進(jìn)而求解．【解答】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)f（x）=ax2﹣4x+c的值域?yàn)閇0，+∞），所以?ac=4?c=，所以====

由于（當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號）所以．故答案為：C【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)的值域，變量的替換及利用均值不等式求最值．2.若函數(shù)f（x）=x+（x＞2），在x=a處取最小值，則a=(

)A．1+ B．1+ C．3 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】基本不等式．【專題】計(jì)算題．【分析】把函數(shù)解析式整理成基本不等式的形式，求得函數(shù)的最小值和此時x的取值．【解答】解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4當(dāng)x﹣2=1時，即x=3時等號成立．∵x=a處取最小值，∴a=3故選C【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用．考查了分析問題和解決問題的能力．3.（5分）（2015?南昌校級模擬）已知x1是方程10x=﹣x﹣2的解，x2是方程lgx=﹣x﹣2的解，函數(shù)f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2），則（）A．f（0）＜f（2）＜f（3）B．f（2）=f（0）＜f（3）C．f（3）＜f（0）=f（2）D．f（0）＜f（3）＜f（2）參考答案：A【考點(diǎn)】：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】：設(shè)l：y=﹣x﹣2，設(shè)l與y=10x，y=lgx分別相交于A，B兩點(diǎn)，利用y=10x與y=lgx互為反函數(shù)可得AB的中點(diǎn)在y=x上，從而可求得x1+x2的值，從而可知f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）的對稱軸，再利用其單調(diào)性即可得到答案．解：設(shè)直線l的方程為：y=﹣x﹣2，設(shè)l與y=10x，y=lgx分別相交于A，B兩點(diǎn)，∵y=10x與y=lgx互為反函數(shù)，∴它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱，由題意得：點(diǎn)A（x1，﹣x1﹣2）與點(diǎn)B（x2，﹣x2﹣2）關(guān)于直線y=x對稱，∴AB的中點(diǎn)在直線y=x上，∴=，即﹣x1﹣2﹣x2﹣2=x1+x2，∴x1+x2=﹣2，∴f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）=x2﹣（x1+x2）x+x1x2=x2+2x+x1x2，其對稱軸方程為：x=﹣1，∴f（x）在[﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（0）＜f（2）＜f（3），故選A．【點(diǎn)評】：本題考查對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查反函數(shù)的應(yīng)用，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題．4.已知是函數(shù)圖象的一個最高點(diǎn),是與相鄰的兩個最低點(diǎn)．若，則的圖象對稱中心可以是（A）（B）（C）（D）參考答案：C【命題意圖】本小題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解三角形、二倍角公式等基礎(chǔ)知識；考查學(xué)生的抽象概括能力、運(yùn)算求解能力以及數(shù)據(jù)處理能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想以及函數(shù)與方程思想；考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)分析等.【試題簡析】如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，設(shè)，則，由余弦定理可得，，解得，，的中點(diǎn)都是圖象的對稱中心.故選.【錯選原因】錯選A：平時缺乏訓(xùn)練，只記得正弦函數(shù)的對稱中心是

錯選B：誤把最高點(diǎn)的2當(dāng)成了周期；

錯選D：這類同學(xué)可以求出函數(shù)的周期是6，但沒注意到函數(shù)并未過原點(diǎn).5.設(shè)全集為實(shí)數(shù)集R，,則圖中陰影部分表示的集合是(

)A．

B．C．

D．參考答案：C6.設(shè)集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，則A∪B＝()A．(－1,1)

B．(0,1)

C．(－1，＋∞)

D．(0，＋∞)參考答案：C7.已知函數(shù)，若方程有四個不同的解，，，，且，則的取值范圍是（

）A.(6,9] B.(6,9) C. D.參考答案：A【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式，作出函數(shù)圖像，根據(jù)方程有四個不同的解，，，，且，求出與，化簡所求式子，構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)的范圍，用導(dǎo)數(shù)的方法研究新函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖像如下：

因?yàn)榉匠逃兴膫€不同的解，，，，且，所以有，，故，再由可得或，即，令，()，則，因?yàn)?，所以，即函?shù)上單調(diào)遞減，又，，所以.即的取值范圍是故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)方程的根求取值范圍的問題，通常需要結(jié)合函數(shù)圖像求解，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想即可，屬于?？碱}型.8.甲、乙、丙、丁四人參加奧運(yùn)會射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示：

甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)方差

從這四個人中選擇一人參加奧運(yùn)會射擊項(xiàng)目比賽，最佳人選是

A．甲

B．乙

C．丙

D．丁參考答案：B略9.函數(shù)的大致圖像是A BC D參考答案：C10.記,那么(

)A.

B.-

C.

D.-參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知的外接圓圓心為，半徑為1，（），且，則的面積的最大值為

參考答案：12.函數(shù)的最大值為

。

參考答案：本題考查三角函數(shù)最大值的求解，難度中等.因?yàn)椋ㄆ渲校云渥畲笾凳?13.已知數(shù)列{an}滿足a1=2，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=

；若從數(shù)列{an}的前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取一項(xiàng)，則該項(xiàng)不小于8的概率是

．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】推導(dǎo)出數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=2，公比為﹣2的等比數(shù)列，由此能求出an，列舉出數(shù)列{an}的前10項(xiàng)，其中不小于8的有4項(xiàng)，由此能求出從數(shù)列{an}的前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取一項(xiàng)，則該項(xiàng)不小于8的概率．【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足a1=2，，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=2，公比為﹣2的等比數(shù)列，∴an=2?（﹣2）n﹣1．?dāng)?shù)列{an}的前10項(xiàng)為2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，128，﹣256，512，﹣1024，其中不小于8的有4項(xiàng)，∴從數(shù)列{an}的前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取一項(xiàng)，則該項(xiàng)不小于8的概率p==．故答案為：．14.已知，若平面內(nèi)三點(diǎn)共線，則

．參考答案：解析：本小題主要考查三點(diǎn)共線問題。

（且橫坐標(biāo)為1）（舍負(fù)）。15.函數(shù)y=ax2﹣2x的圖象上有且僅有兩個點(diǎn)到直線y=x的距離等于，則實(shí)數(shù)a的取值集合是．參考答案：{a|a＜﹣或a=0或a}【考點(diǎn)】3W：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】對a進(jìn)行分類討論，得出y=ax2﹣2x與y=x±2的位置關(guān)系，根據(jù)交點(diǎn)個數(shù)判斷a的范圍．【解答】解：（1）若a=0，則y=2x與y=x為相交直線，顯然y=2x上存在兩點(diǎn)到y(tǒng)=x的距離等于，符合題意；（2）若a＞0，則y=ax2﹣2x與直線y=x相交，∴y=ax2﹣2x在直線y=x上方的圖象必有2點(diǎn)到直線y=x的距離等于，又直線y=x與y=x﹣2的距離為，∴拋物線y=ax2﹣2x與直線y=x﹣2不相交，聯(lián)立方程組，消元得ax2﹣3x+2=0，∴△=9﹣8a＜0，解得a．（3）若a＜0，同理可得a＜﹣．故答案為：{a|a＜﹣或a=0或a}．16.已知正實(shí)數(shù)滿足，若對任意滿足條件的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

．參考答案：要使恒成立，則有，即恒成立。由得，即解得或（舍去）設(shè)，則，函數(shù)，在時，單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是。17.命題“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知等差數(shù)列{an}滿足：an+1＞an（n∈N*），a1=1，該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1，1，3后順次成為等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)．（Ⅰ）分別求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式an，bn；（Ⅱ）設(shè)，若恒成立，求c的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和．【專題】綜合題．【分析】（Ⅰ）設(shè)d、q分別為數(shù)列{an}、數(shù)列{bn}的公差與公比，a1=1．由題可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分別加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)，從而可得（2+d）2=2（4+2d），根據(jù)an+1＞an，可確定公差的值，從而可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)，進(jìn)而可得公比q，故可求{bn}的通項(xiàng)公式（Ⅱ）表示出，利用錯位相減法求和，即可求得c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)d、q分別為數(shù)列{an}、數(shù)列{bn}的公差與公比，a1=1．由題可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分別加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)，∴（2+d）2=2（4+2d）?d=±2．∵an+1＞an，∴d＞0．∴d=2，∴an=2n﹣1（n∈N*）．由此可得b1=2，b2=4，q=2，∴bn=2n（n∈N*）．（Ⅱ），①∴．②①﹣②，得=+2（++…+）﹣，∴Tn=3﹣．∴Tn+﹣=3﹣≤2，∴滿足條件恒成立的最小整數(shù)值為c=2．【點(diǎn)評】本題以等差數(shù)列與等比數(shù)列為載體，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查錯位相減法求數(shù)列的和，綜合性強(qiáng)19.如圖，直線經(jīng)過⊙上的點(diǎn)，并且⊙交直線于，，連接．（I）求證：直線是⊙的切線；（II）若⊙的半徑為，求的長．參考答案：略20.如圖，已知正四棱錐P﹣ABCD中，PA=AB=2，點(diǎn)M，N分別在PA，BD上，且==．（1）求異面直線MN與PC所成角的大??；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；異面直線及其所成的角．【分析】（1）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，AB=PA=2．以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，方向分別是x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．利用向量法能求出異面直線MN與PC所成角．（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值．【解答】解：（1）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，AB=PA=2．以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，方向分別是x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．則A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），…設(shè)P（0，0，p），則=（﹣1，1，p），又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p=，∵===（），=（），∴=（﹣1，1，﹣），=（0，，﹣），設(shè)異面直線MN與PC所成角為θ，則cosθ===．θ=30°，∴異面直線MN與PC所成角為30°．（2）=（﹣1，1，﹣），=（1，1，﹣），=（，﹣），設(shè)平面PBC的法向量=（x，y，z），則，取z=1，得=（0，，1），設(shè)平面PNC的法向量=（a，b，c），則，取c=1，得=（，2，1），設(shè)二面角N﹣PC﹣B的平面角為θ，則cosθ===．∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值為．21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值和最小正周期；ks5u（2）設(shè)△的內(nèi)角的對邊分別為且，，若，求的值。參考答案：（1），…………3分 則的最小值是， 最小正周期是；…………6分（2），則，…………7分,,所以，所以，，…………9分因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，……①………?0分由余弦定理得，即……②…………11分由①②解得：，．…………12分略22.已知函數(shù)f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式，最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量=（1，sinA）與=（2，sinB）共線，求a、b的值．參考答案：考點(diǎn)：正弦定理；三角函數(shù)的化簡求值；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的定義域和值域．專題：計(jì)算題．分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為sin（2x﹣）﹣1，由此求出最小值和周期．（Ⅱ）由f（C）=0可得sin（2C﹣）=1，再根據(jù)C的范圍求出角C的值，根據(jù)兩個向量共線的性質(zhì)可得sinB﹣2sinA=0，再由正弦定理可得b=2a．再