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山東省濟(jì)寧市高新區(qū)高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù),且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則
(
)A.的最小正周期為,且在上為增函數(shù)B.的最小正周期為,且在上為減函數(shù)C.的最小正周期為,且在上為增函數(shù)D.的最小正周期為,且在上為減函數(shù)參考答案:B略2.向量,若,則實(shí)數(shù)的值為A.
B.
C.
D.參考答案:A由得即,解得,選A.3.如圖所示,一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是底為1,高為2的矩形,俯視圖是一個(gè)圓,那么這個(gè)幾何體的表面積為(
).A. B. C. D.參考答案:B【分析】由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)圓柱,其高為,半徑為,由公式易求得它的表面積,得到結(jié)果【詳解】由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)圓柱,其高為,半徑為,則它的表面積為:故選【點(diǎn)睛】本題主要考查的是根據(jù)三視圖求表面積,體積,解答本題的關(guān)鍵是判斷幾何體的形狀,屬于基礎(chǔ)題.4.關(guān)于的不等式的解為或,則點(diǎn)位于
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限參考答案:A由不等式的解集可知,是方程的兩個(gè)根,且,不妨設(shè),,所以,即點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第一象限,選A.5.定義:如果函數(shù)f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)滿足f′(x1)=,f′(x2),則稱函數(shù)f(x)是[a,b]上的“雙中值函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x3﹣x2+a是[0,a]上“雙中值函數(shù)”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(,)B.(0,1)C.(,1)D.(,1)參考答案:D考點(diǎn):函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;變化的快慢與變化率.
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.分析:由新定義可知f′(x1)=f′(x2)=a2﹣a,即方程3x2﹣2x=a2﹣a在區(qū)間(0,a)有兩個(gè)解,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知實(shí)數(shù)a的取值范圍解答:解:由題意可知,在區(qū)間[0,a]存在x1,x2(0<x1<x2<a),滿足f′(x1)===a2﹣a,∵f(x)=x3﹣x2+a,∴f′(x)=3x2﹣2x,∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在區(qū)間(0,a)有兩個(gè)解.令g(x)=3x2﹣2x﹣a2+a,(0<x<a),∴解得<a<1,故選:D.點(diǎn)評(píng):本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,二次函數(shù)的性質(zhì)與方程根的關(guān)系,屬于中檔題6.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則不等式的解集是A.
B.
C.
D.參考答案:A7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的S為4,則輸入的x應(yīng)為()A.﹣2 B.16 C.﹣2或8 D.﹣2或16參考答案:D【考點(diǎn)】程序框圖.【專題】算法和程序框圖.【分析】算法的功能是求S=的值,分當(dāng)x≤1時(shí)和當(dāng)x>1時(shí)兩種情況,求輸出S=4時(shí)的x值.【解答】解;由程序框圖知:算法的功能是求S=的值,當(dāng)x≤1時(shí),輸出的S=4?2﹣x=4?x=﹣2;當(dāng)x>1時(shí),輸出的S=4?log2x=4?x=16.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了選擇結(jié)構(gòu)的程序框圖,根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是關(guān)鍵.8.已知平面向量,夾角為,且,,則與的夾角是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A9.函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式可以是(
) A.f(x)=x+sinx B. C.f(x)=xcosx D.參考答案:C考點(diǎn):由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式.專題:計(jì)算題.分析:通過(guò)函數(shù)的圖象的奇偶性、定義域、驗(yàn)證函數(shù)的表達(dá)式,排除部分選項(xiàng),利用圖象過(guò)(,0),排除選項(xiàng),得到結(jié)果.解答: 解:依題意函數(shù)是奇函數(shù),排除D,函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn),排除B,圖象過(guò)(,0)顯然A不正確,C正確;故選C點(diǎn)評(píng):本題是基礎(chǔ)題,考查函數(shù)的圖象特征,函數(shù)的性質(zhì),考查學(xué)生的視圖能力,常考題型.10.若x≥0,y≥0且,那么2x+3y2的最小值為
A、2
B、
C、
D、0參考答案:B由得得,,所以,因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),有最小值,選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.三棱錐S-ABC中,SA,SB,SC兩兩垂直,且SA=3,SB=4,SC=5,其頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為______.參考答案:50π【分析】利用三線垂直聯(lián)想長(zhǎng)方體,結(jié)合長(zhǎng)方體外接球直徑為其體對(duì)角線長(zhǎng),容易求解.【詳解】由SA,SB,SC兩兩垂直,以SA,SB,SC為長(zhǎng)方體同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱構(gòu)造長(zhǎng)方體,則長(zhǎng)方體外接球直徑2R為長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)可得球直徑為,,故答案為:50π.【點(diǎn)睛】此題考查了三棱錐外接球問(wèn)題,考查了構(gòu)造長(zhǎng)方體解決問(wèn)題的方法,屬于中檔題.12.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(3﹣x),當(dāng)x∈(0,2]時(shí),f(x)=﹣x2+4,則函數(shù)y=f(x)﹣a(a∈R)在區(qū)間[﹣4,8]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多時(shí),所有零點(diǎn)之和為.參考答案:14【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.【分析】利用函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的對(duì)稱性,畫出函數(shù)的圖象,判斷函數(shù)y=f(x)﹣a(a∈R)在區(qū)間[﹣4,8]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多時(shí)的位置,求解零點(diǎn)之和.【解答】解:定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(3﹣x),函數(shù)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱,當(dāng)x∈(0,2]時(shí),f(x)=﹣x2+4,在[﹣4,8]上y=f(x)的圖象如圖:函數(shù)y=f(x)﹣a(a∈R)在區(qū)間[﹣4,8]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多7個(gè),圖象中的紅色點(diǎn).零點(diǎn)之和為:﹣4﹣2+0+2+4+6+8=14.故答案為:14.13.已知x0是函數(shù)的極小值點(diǎn),則=
.參考答案:214.如圖,y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),直線l:y=kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線,令g(x)=xf(x),其中是g(x)的導(dǎo)函數(shù),則=
.參考答案:0試題分析:由題意直線:y=kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線,由圖像可知其切點(diǎn)為(3,1)代入直線方程得k=,,所以.考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.15.在正三棱錐內(nèi),有一半球,其底面與正三棱錐的底面重合,且與正正三棱錐的三個(gè)側(cè)面都相切,若半球的半徑為,則正三棱錐的體積最小時(shí),其高等于______.參考答案:【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求最值和極值柱,錐,臺(tái),球的結(jié)構(gòu)特征【試題解析】根據(jù)題意:設(shè)三棱錐的高PO=x,底面的AB邊上的高CD=3OD=3y,
設(shè)半球與平面PAB切于點(diǎn)E,所以
所以
三棱錐的體積為:
對(duì)體積函數(shù)求導(dǎo),得:令V’=0,得:唯一正解。
由該體積函數(shù)的幾何意義知:是體積函數(shù)的極小值點(diǎn),
故正三棱錐的體積最小時(shí),其高等于16.已知向量,且向量與垂直,則實(shí)數(shù)_____。參考答案:
17.函數(shù)的圖象上相鄰二條對(duì)稱軸之間的距離是
.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)m,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍。參考答案:19.(本小題滿分10分)已知函數(shù)(I)當(dāng)時(shí),解不等式.(II)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案:(Ⅰ);(Ⅱ)(Ⅰ)由得,,或,或…………2分解得:原不等式的解集為
…………4分(Ⅱ)由不等式的性質(zhì)得:,
…………6分要使不等式恒成立,則
……8分
解得:或
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
……10分20.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知,.設(shè).(Ⅰ)證明:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;(Ⅱ)設(shè),Tn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,求.參考答案:(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)1994【分析】(Ⅰ)根據(jù)與的關(guān)系,得,即可證明;(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,去絕對(duì)值號(hào)可化為分段函數(shù),根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】(Ⅰ)由得兩式相減得,∴,又由,∴,∴,∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了與的關(guān)系,等比數(shù)列的證明,等比數(shù)列求和公式、通項(xiàng)公式,屬于中檔題.21.(本小題滿分13分)設(shè)函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),若方程在上恰好有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)是否存在實(shí)數(shù),使函數(shù)和函數(shù)在公共定義域上具有相同的單調(diào)區(qū)間?若存在,求出的值,若不存在,說(shuō)明理由.參考答案:(1)解:令得:函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減;函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增。又因?yàn)楣剩?)在單調(diào)遞減;單調(diào)遞增也應(yīng)在單調(diào)遞減;單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,不滿足條件.所以當(dāng)且即.
略22.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*).(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足:an=,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;(Ⅲ)令cn=(n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.參考答案:【考點(diǎn)】數(shù)列的求和;數(shù)列的函數(shù)特性;等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.【分析】(Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1=n(n+1)﹣(n﹣1)n=2n,由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(Ⅱ)由(n≥1),知,所以,由此能求出bn.(Ⅲ)=n(3n+1)=n?3n+n,所以Tn=c1+c2+c3+…+cn=(1×3+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+…+n),令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,由錯(cuò)位相減法能求出,由此能求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.【解答】解:(Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1=n(n+1)﹣(n﹣1)n=2n,知a1=2滿足該式,∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2
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