2022年高考數(shù)學(xué)回歸課本三角函數(shù)教案舊人教版

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若α+β<，則x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0,所以>1。又0<sinα<sin(-β)=cosβ，所以>1，所以，得證。注：以上兩例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。3．最小正周期的確定。例4求函數(shù)y=sin(2cos|x|)的最小正周期?！窘狻渴紫龋琓=2π是函數(shù)的周期（事實(shí)上，因?yàn)閏os(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，當(dāng)且僅當(dāng)x=kπ+時，y=0（因?yàn)閨2cosx|≤2<π）,所以若最小正周期為T0，則T0=mπ,m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。4．三角最值問題。例5已知函數(shù)y=sinx+，求函數(shù)的最大值與最小值?！窘夥ㄒ弧苛顂inx=,則有y=因?yàn)?，所以，所以?，所以當(dāng)，即x=2kπ-(k∈Z)時，ymin=0，當(dāng)，即x=2kπ+(k∈Z)時，ymax=2.【解法二】因?yàn)閥=sinx+,=2（因?yàn)?a+b)2≤2(a2+b2)），且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2，所以當(dāng)=sinx，即x=2kπ+(k∈Z)時,ymax=2，當(dāng)=-sinx，即x=2kπ-(k∈Z)時,ymin=0。例6設(shè)0<<π，求sin的最大值。【解】因?yàn)?<<π，所以，所以sin>0,cos>0.所以sin（1+cos）=2sin·cos2=≤=當(dāng)且僅當(dāng)2sin2=cos2,即tan=,=2arctan時，sin(1+cos)取得最大值。例7若A，B，C為△ABC三個內(nèi)角，試求sinA+sinB+sinC的最大值?！窘狻恳?yàn)閟inA+sinB=2sincos,①sinC+sin,②又因?yàn)椋塾散?，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,當(dāng)A=B=C=時，（sinA+sinB+sinC）max=.注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。5．換元法的使用。例8求的值域?！窘狻吭O(shè)t=sinx+cosx=因?yàn)樗杂忠驗(yàn)閠2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以，所以因?yàn)閠-1，所以，所以y-1.所以函數(shù)值域?yàn)槔?已知a0=1,an=(n∈N+)，求證：an>.【證明】由題設(shè)an>0，令an=tanan,an∈，則an=因?yàn)?，an∈，所以an=，所以an=又因?yàn)閍0=tana1=1，所以a0=，所以·。又因?yàn)楫?dāng)0<x<時，tanx>x，所以注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。另外當(dāng)x∈時，有tanx>x>sinx，這是個熟知的結(jié)論，暫時不證明，學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，證明是很容易的。6．圖象變換：y=sinx(x∈R)與y=Asin(x+)(A,,>0).由y=sinx的圖象向左平移個單位，然后保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，然后再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象；也可以由y=sinx的圖象先保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模詈笙蜃笃揭苽€單位，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象。例10例10已知f(x)=sin(x+)(>0,0≤≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值?！窘狻坑蒮(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，對任意x∈R成立。又0≤≤π，解得=，因?yàn)閒(x)圖象關(guān)于對稱，所以=0。取x=0，得=0，所以sin所以(k∈Z)，即=(2k+1)(k∈Z).又>0，取k=0時，此時f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函數(shù)；取k=1時，=2，此時f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函數(shù)；取k=2時，≥，此時f(x)=sin(x+)在[0，]上不是單調(diào)函數(shù)，綜上，=或2。7．三角公式的應(yīng)用。例11已知sin(α-β)=，sin(α+β)=-，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。【解】因?yàn)棣?β∈，所以cos(α-β)=-又因?yàn)棣?β∈，所以cos(α+β)=所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.例12已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且，試求的值。【解】因?yàn)锳=1200-C，所以cos=cos(600-C)，又由于=，所以=0。解得或。又>0，所以。例13求證：tan20+4cos70.【解】tan20+4cos70=+4sin20三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1．已知銳角x的終邊上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2sin3,-2cos3)，則x的弧度數(shù)為___________。2．適合-2cscx的角的集合為___________。3．給出下列命題：（1）若αβ，則sinαsinβ；（2）若sinαsinβ,則αβ；（3）若sinα>0，則α為第一或第二象限角；（4）若α為第一或第二象限角，則sinα>0.上述四個命題中，正確的命題有__________個。4．已知sinx+cosx=(x∈(0,π))，則cotx=___________。5．簡諧振動x1=Asin和x2=Bsin疊加后得到的合振動是x=___________。6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，則1，2，3，4分別是第________象限角。7．滿足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的銳角x共有________個。8．已知，則=___________。9．=___________。10．cot15cos25cot35cot85=___________。11．已知α,β∈(0,π),tan,sin(α+β)=，求cosβ的值。12．已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間上單調(diào)遞減，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍。四、高考水平訓(xùn)練題1．已知一扇形中心角是a,所在圓半徑為R，若其周長為定值c(c>0)，當(dāng)扇形面積最大時，a=__________.2.函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+cosx)的單調(diào)遞減區(qū)間是__________.3.函數(shù)的值域?yàn)開_________.4.方程=0的實(shí)根個數(shù)為__________.5.若sina+cosa=tana,a，則__________a（填大小關(guān)系）.6.(1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________.7.若0<y≤x<且tanx=3tany，則x-y的最大值為__________.8.=__________.9.·cos·cos·cos·cos=__________.10.cos271+cos71cos49+cos249=__________.11.解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x.12.求滿足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有銳角x.13.已知f(x)=(kA0,k∈Z,且A∈R)，（1）試求f(x)的最大值和最小值；（2）若A>0,k=-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（3）試求最小正整數(shù)k，使得當(dāng)x在任意兩個整數(shù)（包括整數(shù)本身）間變化時，函數(shù)f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題（一）1．若x,y∈R，則z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范圍是____________.2．已知圓x2+y2=k2至少蓋住函數(shù)f(x)=的一個最大值點(diǎn)與一個最小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________.3．f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值為____________.4．方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）內(nèi)有相異兩實(shí)根α，β，則α+β=____________.5．函數(shù)f(x)=|tanx|+|cotx|的單調(diào)遞增區(qū)間是____________.6．設(shè)sina>0>cosa,且sin>cos，則的取值范圍是____________.7．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________個解.8．若x,y∈R,則M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值為____________.9．若0<<,m∈N+,比較大小：(2m+1)sinm(1-sin)__________1-sin2m10．cot70+4cos70=____________.11.在方程組中消去x,y，求出關(guān)于a,b,c的關(guān)系式。12．已知α，β，γ，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。13．關(guān)于x,y的方程組有唯一一組解，且sinα,sinβ,sinγ互不相等，求sinα+sinβ+sinγ的值。14．求滿足等式sinxy=sinx+siny的所有實(shí)數(shù)對（x,y）,x,y.聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題（二）1．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)=asinax+cosax(a>0)在一個最小正周期長的區(qū)間上的圖象與函數(shù)g(x)=的圖象所圍成的封閉圖形的面積是__________.2．若，則y=tan-tan+cos的最大值是__________.3．在△ABC中，記BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2-19c2=0，4．設(shè)f(x)=x2-πx,α=arcsin,β=arctan,γ=arccos,δ=arccot,將f(α),f(β),f(γ),f(δ)從小到大排列為__________.5．logsin1cos1=a,logsin1tan1=b,logcos1sin1=c,logcos1tan1=d。將a,b,c,d從小到大排列為__________.6．在銳角△ABC中，cosA=cosαsinβ,cosB=cosβsinγ,cosC=cosγsinα，則tanα·tanβ·tanγ=__________.7．已知矩形的兩邊長分別為tan和1+cos(0<<π)，且對任何x∈R,f(x)=sin·x2+·x+cos≥0，則此矩形面積的取值范圍是__________.8．在銳角△ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范圍是__________.9．已