熱學第二章氣體動理論

熱學第二章氣體動理論第一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三分子集體運動狀態(tài)描述。氣體分子按速率的分布氣體分子按能量的分布氣體壓強氣體溫度用統(tǒng)計方法本

章

要

求

掌握理想氣體壓強的微觀公式。

掌握理想氣體溫度的微觀統(tǒng)計意義。

掌握能量均分定理。掌握麥克斯韋速率分布率。第二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三§2.1理想氣體壓強思路:壓強由大量氣體分子不斷碰撞容器壁而產(chǎn)生。壓強為大量氣體分子在單位時間內(nèi)作用在器壁單位面積上的平均沖量。建立理想氣體微觀模型單個粒子的運動遵從經(jīng)典力學規(guī)律大量粒子無規(guī)則運動遵從統(tǒng)計規(guī)律得出結(jié)論一.理想氣體模型a.單個分子的經(jīng)典力學假設(shè)——對理想氣體的微觀假設(shè)(1)氣體分子可視為質(zhì)點(2)除碰撞瞬間外，分子之間以及分子與器壁之間無相互作用力(3)碰撞為完全彈性碰撞，即碰撞前后動能守恒第三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三b.統(tǒng)計概念和統(tǒng)計假設(shè):2.分子以各種方向入射角去碰ds面的概率相同，或說：分子按位置的分布是均勻的。3.平衡狀態(tài)下分子沿任何方向的運動都不占優(yōu)勢，或說：分子速度按方向的分布是均勻的，因而有：1.分子的運動速度各不相同，而且通過碰撞不斷發(fā)生變化。二.理想氣體壓強公式的推導(dǎo):把所有分子按速度分為若干組，在每一組內(nèi)的分子速度大小，方向都差不多。以ni表示第i組分子的分子數(shù)密度，總的分子數(shù)密度為:設(shè)第i組分子的速度在區(qū)間內(nèi)。第四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三vdsxvixdt速度在的分子一次碰撞ds后的施與器壁沖量為dt時間內(nèi),凡是在底面積為ds,高為vixdt的斜柱體內(nèi),且速度在的分子都能與ds相碰。這些分子作用于ds沖量為推導(dǎo)理想氣體壓強公式用圖dt內(nèi)各種速度分子對ds的總沖量為:X第五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三因而壓強由于這些分子作用于ds沖量為dt內(nèi)各種速度分子對ds的總沖量為:平衡狀態(tài)下分子沿任何方向的運動都不占優(yōu)勢由于所以其中為分子的平均平動動能第六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三§2.2溫度微觀意義溫度是氣體分子平均平動動能的量度，具有統(tǒng)計意義。2）溫度反映了統(tǒng)計的概念。組成系統(tǒng)的大量微觀粒子的無規(guī)則運動的劇烈程度。單個分子的溫度是無意義的。3）溫度所反映的運動是質(zhì)心系中表現(xiàn)的分子的無規(guī)則運動。

對溫度概念的理解：1）描述熱力學系統(tǒng)平衡態(tài)的一個物理量。溫度的微觀意義，從統(tǒng)計物理角度看，熱力學系統(tǒng)的溫度是分子平均平動動能的量度。分子熱運動的平均轉(zhuǎn)動動能和振動動能也都和溫度有直接的關(guān)系。第七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三

方均根速率是分子速率的一種統(tǒng)計平均值。方均根速率（A）溫度相同、壓強相同。（B）溫度、壓強都不同。（C）溫度相同，但氦氣的壓強大于氮氣的壓強.（D）溫度相同，但氦氣的壓強小于氮氣的壓強.解

一瓶氦氣和一瓶氮氣密度相同，分子平均平動動能相同，而且它們都處于平衡狀態(tài)，則它們討論第八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三（2）氧氣分子的質(zhì)量（3）分子平均平動動能（1）單位體積內(nèi)的分子數(shù)例:一容器內(nèi)貯有氧氣，其壓強，溫度t=27℃，求：（1）單位體積內(nèi)的分子數(shù)；（2）氧分子的質(zhì)量；（3）分子的平均平動動能。壓強不太高，溫度不太低，可視為理想氣體。解：由第九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三§2.3能量均分定理

確定一個物體的空間位置所需要的獨立坐標數(shù)目。用i表示1.自由度:例如:一個質(zhì)點的自由度自由運動的質(zhì)點:t=3(x,y,z)被限制在平面內(nèi)：t=2被限制在直線上：t=1剛體：平動+轉(zhuǎn)動單原子分子:i=3，如He、Ne等。a.單原子分子可視為質(zhì)點，確定其空間位置需三個獨立坐標第十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三b.剛性雙原子分子oxyzC(x,y,z)1號原子定位:t=32號原子定位:需確定它們連線的方位,由決定,不獨立這兩個自由度為轉(zhuǎn)動自由度,表示為r=2。剛性雙原子分子:C.剛性多原子分子3個平動自由度,3個轉(zhuǎn)動自由度第十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三例：求溫度在30℃時氧氣分子的平均平動動能，平均動能，平均能量以及4×10-3kg的氧氣的內(nèi)能？在常溫下，分子的振動可以忽略，在溫度為T的平衡態(tài)下，對雙原子的氧氣分子，由能量均分定理1、平均平動動能2、平均動能為解：第十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三3、氧分子的平均能量等于分子平均動能4、由理想氣體內(nèi)能公式得也可由氧分子的平均能量來求第十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三由理想氣體溫度公式，分子平均平動動能與溫度關(guān)系為2能量均分定理

在溫度為T的平衡態(tài)下,氣體分子每個自由度的平均動能都相等，而且等于剛性雙原子分子除平動動能外，還有轉(zhuǎn)動動能上述結(jié)論可推廣到振動和轉(zhuǎn)動。第十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三在平衡態(tài)時，沒有哪一個自由度或哪一種運動形式占優(yōu)勢，分子平均動能只能按自由度均勻分配。能量均分定律是一個統(tǒng)計規(guī)律，是分子在熱運動過程中頻繁碰撞的結(jié)果。它只適用于大量分子的集體。分子在熱運動過程中，能量可以從一個分子轉(zhuǎn)移到另一個分子，從一種運動形式轉(zhuǎn)移到另一種運動形式，或從一個自由度轉(zhuǎn)移到另一個自由度。分子的平均總動能為:理想氣體分子平均總動能單原子分子雙原子分子多原子分子第十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三重要結(jié)論：理想氣體內(nèi)能僅是溫度的單值函數(shù)，與氣體的壓強、體積無關(guān)。單原子分子雙原子分子多原子分子一般只考慮前兩種。對于理想氣體，不計分子間勢能，內(nèi)能僅包括所有分子的平均動能之和。3.理想氣體的內(nèi)能是熱力學系統(tǒng)的全部微觀粒子具有能量總和。包括大量分子熱運動的動能、分子間的勢能、分子內(nèi)原子內(nèi)及核內(nèi)的能量。第十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三§

2.4麥克斯韋速率分布律單個分子速率不可預(yù)知，大量分子的速率分布是遵循統(tǒng)計規(guī)律，是確定的。1859年麥克斯韋用概率論證明確有一種規(guī)律。我們稱它為麥克斯韋速率分布律。

按統(tǒng)計假設(shè)分子速率通過碰撞不斷改變，不好說正處于哪個速率的分子數(shù)多少，但用某一速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比例為多少的概念比較合適，這就是分子按速率的分布。一、問題的提出二、速率分布函數(shù)第十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學上,給出Y(x)函數(shù),可得Y與x的對應(yīng)關(guān)系，繪出Y(x)~x曲線,該曲線可謂Y隨x變化的規(guī)律。物理上,給出f(v)函數(shù),可得f與v的對應(yīng)關(guān)系,繪出f(v)~v曲線,該曲線可謂f隨v變化的規(guī)律。f(v)voY(x)xo類

比第十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三把氣體分子按速率區(qū)間分組。例如以10m/s的間隔,可分為0~10，10~20，20~30m/s，…。每個小陰影面積為相應(yīng)速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)的百分數(shù)相當數(shù)學上:f(v)v10

o12345678910S

第十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三氧氣分子速率在273K分布情況f(v)v100

o12345678910(m/s)速率區(qū)間(m/s)百分數(shù)100以下100~200200~300300~400400~500500~600600~700700~800800~900900以上1.408.1016.521.420.615.19.204.802.000.90第二十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三對應(yīng)關(guān)系取v0,則of(v)v第二十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三三、麥克斯韋分子速率分布函數(shù)在溫度為T的平衡態(tài)下，理想氣體分子速率在v—v+dv范圍內(nèi)的概率速率分布函數(shù)----概率密度麥克斯韋速率分布函數(shù)滿足歸-化條件:麥克斯韋給出：在平衡態(tài)下,氣體分子速率在v~v+dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比為第二十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三vv2vp

v~v+dvf(vp)of(v)v1四、討論:（1）f(v)曲線下面積的物理意義寛度為dv的窄條面積:曲線下總面積:v1—v2區(qū)間的面積:第二十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三（3）最概然速率（最可幾速率）曲線f(v)中極大值所對應(yīng)的速率vpvp的物理意義：vp附近概率密度最大（同樣速率間隔dv,速率在vp

vp+dv

的分子數(shù)最多)由及f(vp)vp

vv2v~v+dvof(v)v1（2）由同理可得速率vp第二十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三f(v)為速率分布函數(shù)，n為分子數(shù)密度注意區(qū)分以下幾種表達式的含義！

表示單位體積內(nèi)分布在速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。(1)表示分布在速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。(2)第二十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三

表示分布在單位體積內(nèi)，速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。表示分布在速率區(qū)間內(nèi)的平均分子數(shù)。(3)(4)第二十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三4.氣體的三種統(tǒng)計速率速率分布函數(shù)中的極大值對應(yīng)的分子速率。由極值條件：a.最概然速率大小:而：第二十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三氣體分子速率的算術(shù)平均值。b.平均速率:氣體分子速率平方的平均值的平方根。c.方均根速率：第二十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三同種理想氣體同一溫度下三種速率比較:●●●三種速率均與成正比，與成反比，但三者有一個確定的比例關(guān)系;三種速率使用于不同的場合。第二十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三1.對同一種氣體，三種速率均與溫度T開平方成正比；溫度越高，分子各種速率均增加，曲線右移。T1=73KO2vf(v)T2=273K2.同一溫度下，不同物質(zhì)三種速率均與質(zhì)量m開平方成反比。分子質(zhì)量越小，速率越大，分布曲線右移。vf(v)273KO2H2第三十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三說明:

1．三種統(tǒng)計速率都反映了大量分子作熱運動的統(tǒng)計規(guī)律，它們都與溫度

成正比，與分子質(zhì)量

(或

)成反比。在室溫下，對質(zhì)量的分子來說，三種速率數(shù)量級一般為每秒幾百米。最概然速率最小，方均根速率最大。

2．三種速率應(yīng)用于不同問題的研究中。例如：

──用來計算分子的平均平動動能，在討論氣體壓強和溫度的統(tǒng)計規(guī)律中使用。

──用來討論分子的碰撞，計算分子運動的平均距離，平均碰撞次數(shù)等。

──由于它是速率分布曲線中極大值所對應(yīng)的速率，所以在討論分子速率分布時常被使用。第三十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三例：在300K時空氣中速率在1、vp附近；2、10vp附近，單位速率區(qū)間（dv=1m/s)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比各是多少？平均來講，105mol的空氣中這區(qū)間的分子數(shù)又是多少？空氣的摩爾質(zhì)量按29g/mol計）麥克斯韋速率分布率為當T=300K時解：第三十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三1、落在v=vp,dv=1m/s區(qū)間分子數(shù)的概率為2、同理落在v=10vp,dv=1m/s區(qū)間分子數(shù)的概率為3、105mol空氣中，在v=vp附近,dv=1m/s區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為4、同理，在10vp附近，dv=1m/s區(qū)間的分子數(shù)為N2=0第三十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三例：有N個粒子，其速率分布函數(shù)為1、作速率分布曲線并求常數(shù)a；2、分別求速率大于v0和小于v0的粒子數(shù)；3、求粒子的平均速率。vof(v)v0a2v0解：1、由歸一化條件第三十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三2、3、第三十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三例：試計算氣體分子熱運動速率的大小介于vp-vp/100和vp+vp/100之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。麥克斯韋速率分布律可改寫成如下形式：按題意解:而：第三十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三§2.9氣體分子的平均自由程平衡態(tài)下，一個分子在單位時間內(nèi)受到的平均碰撞次數(shù)。若時間內(nèi)，分子運動平均速度為則分子運動平均自由程為一定宏觀條件下，氣體分子在連續(xù)兩次碰撞間所通過的自由路程的平均值。1.平均自由程2.平均碰撞頻率第三十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三在A運動方向上，以d為半徑的圓柱體內(nèi)的分子，其中心與A中心間距小于d的（即凡是中心在此圓柱體內(nèi)的分子），都將與分子A碰撞該圓柱體的面積稱為碰撞截面設(shè)分子A以相對平均速率運動，其它分子可設(shè)為靜止=d2Adddd第三十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三Adddd在時間內(nèi)，凡分子中心在以分子A運動軌跡為軸，半徑等于分子有效直徑d，長為的曲折圓柱體內(nèi)的分子均能與A相碰。平均碰撞頻率：設(shè)分子數(shù)密度為n，第三十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三

平均自由程與分子有效直徑的平方及單位體積內(nèi)的分子數(shù)成反比，與平均速率無關(guān)。一