思維及其數(shù)學(xué)思維

思維及其數(shù)學(xué)思維第一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三普通心理學(xué):意識是心理學(xué)理論中的根本問題,思維是人的意識活動的產(chǎn)物,它是人腦對客觀物質(zhì)世界的能動反映,它和語言一起成為意識的核心.第二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三思維發(fā)展心理學(xué):

思維是人腦對客觀事物的本質(zhì)和事物內(nèi)在規(guī)律性關(guān)系的概括和間接的反映.第三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三現(xiàn)代神經(jīng)生理學(xué):大腦二個半球基本上是以不同的方式進(jìn)行思維,左腦負(fù)責(zé)語言和邏輯思維,右腦形象思維.第四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué):思維是一個通過感知記憶的信息進(jìn)行提取、整合、分解、比較、選擇等一系列的加工改造而得出新信息的過程.第五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三思維的分類1.按思維抽象性分類:直觀行動思維、具體形象思維、抽象邏輯思維.第六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三直觀行動思維(感知運(yùn)動思維或動作思維):具體形象思維:以具體表象為材料的思維.抽象邏輯思維:

以概念為材料的思維,主要以概念、判斷和推理的形式表現(xiàn)出來.又分為形式邏輯思維和辯證邏輯思維.第七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三2.按思維結(jié)果劃分:再現(xiàn)性思維----運(yùn)用原有的知識經(jīng)驗(yàn),按現(xiàn)成的方法去解決類似的問題的思維.

創(chuàng)造性思維----進(jìn)行創(chuàng)造性活動時的思維,如科學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明、技術(shù)革新、藝術(shù)創(chuàng)造等.第八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三按思維的結(jié)果分類:

聚合思維----從已知信息中產(chǎn)生邏輯結(jié)論,從現(xiàn)成資料中尋求正確答案的一種有方向、有范圍、有條理的思維方式.又稱為收斂思維、集中思維、求同思維、輻合思維.

發(fā)散思維----從已知信息中產(chǎn)生大量的、獨(dú)特的新信息的一種沿不同方向、在不同范圍、不因循傳統(tǒng)的思維方式.又稱為求異思維、輻射思維.第九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三按主體意識分類直覺思維----是指人腦基于有限的數(shù)據(jù)和事實(shí),調(diào)動一切已有的知識經(jīng)驗(yàn)，對客觀事物的本質(zhì)及其規(guī)律性聯(lián)系進(jìn)行迅速的識別、敏銳的觀察、直接的理解和整體的判斷的思維過程.分析思維----是指遵循嚴(yán)密的邏輯規(guī)則,通過逐步推理得到符合邏輯的正確答案或結(jié)論的思維方法.又稱為邏輯思維.第十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)思維及其思維方法數(shù)學(xué)物象----現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系以及反映出來的結(jié)構(gòu)和模型.數(shù)學(xué)思維----以數(shù)學(xué)物象為思維對象,以數(shù)學(xué)語言符號為思維載體,并以認(rèn)識和揭示數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維.第十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)思維過程中,受到的刺激有二類:一類是數(shù)學(xué)概念的刺激另一類是圖形或圖式的刺激當(dāng)處于概念時的思維稱為數(shù)學(xué)邏輯思維;當(dāng)處于圖形(式)時的思維稱為數(shù)學(xué)形象思維。第十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)思維的品質(zhì):思維的廣闊性思維的深刻性思維的靈活性思維的獨(dú)創(chuàng)性思維的批判性第十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)思維的品質(zhì):1.思維的廣闊性

表現(xiàn)為思路開闊,善于從不同角度、不同層次對問題進(jìn)行全面的觀察和思考.例1求證:

Cn1+2Cn2+……+nCnn=n·2n－1第十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三證法一:設(shè)

Sn=Cn1+2Cn2+……+nCnn

則Sn=nCnn+……+2Cn2+

Cn1,于是Sn=n(Cn1+Cn2+……+Cnn)=n·2n故結(jié)論成立.第十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三證法二:注意到KCnK=nCn-1K-1,所以有

Cn1+2Cn2+……+nCnn=nCn-10+nCn-11+……+n

Cn-1n-1,=n(Cn-10+Cn-11+……+Cn-1n-1)=n·2n-1證法三:用數(shù)學(xué)歸納法證明.第十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三證法四:因?yàn)?1+x)n=Cn1+Cn2x

+……+Cnnxn,所以對兩邊取導(dǎo)數(shù),得n(1+x)n-1=Cn1+2Cn2x

+……+nCnnxn-1,取x=1即可.第十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三2.思維的深刻性思維的深刻性即思維的深度,它反映著分辨事物本質(zhì)的能力.表現(xiàn)為:善于洞察數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性及其相互關(guān)系;善于從所研究的材料中揭示隱藏的特殊情況，發(fā)現(xiàn)有價值的東西;能辯證地思考.第十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三例求函數(shù)y=1－6sinx－2cos2x的最大(小)值.誤解:因?yàn)椋?≤sinx≤1,且0≤cos2x≤1,所以－6≤－6sinx≤6且－2≤－2cos2x≤0,所以－7≤1－6sinx－2cos2x≤7,所以最大值為7,最小值為－7.第十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三3.思維的靈活性思維的靈活性是指思維的靈活程度,主要表現(xiàn)為善于擺脫已有模式的束縛,及時由一條思路轉(zhuǎn)向另一條思路。思維靈活的人善于從錯誤思路中退出來并及時轉(zhuǎn)向,關(guān)于聯(lián)想,關(guān)于類比,關(guān)于逆向思考,如逆用定義、公式，善于將問題簡約化歸等.第二十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三例已知x,y,z為三個互不相等的實(shí)數(shù)，并且x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x，求證:x2y2z2=1思路1:解方程組求出x，y，z，但注意到，三個未知數(shù)，只有兩個獨(dú)立方程,方程的解不唯一,此路不通.第二十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三例已知x,y,z為三個互不相等的實(shí)數(shù)，并且x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x，求證:x2y2z2=1思路2:由x＋1/y=y＋1/z得xyz=y2z＋y－z,由y＋1/z=z＋1/x得xyz=z2x＋z－x，于是x2y2z2=(y2z＋y－z)(z2x＋z－x)，但化簡不出1.放棄.第二十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三例已知x,y,z為三個互不相等的實(shí)數(shù)，并且x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x，求證:x2y2z2=1思路3:據(jù)處理比例的經(jīng)驗(yàn)，設(shè)x＋1/y=

y＋1/z=z＋1/x=k，則xy=ky－1，yz=kz－1，zx=kx－1，于是x2y2z2=(ky－1)(kz－1)(kx－1)，但右邊化簡不出1.此路不通.第二十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三例已知x,y,z為三個互不相等的實(shí)數(shù)，并且x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x，求證:x2y2z2=1思路4:注意到x，y，z間的輪換，進(jìn)行減元類比:設(shè)x,y為二個互不相等的實(shí)數(shù)，并且x＋1/y=y＋1/x，求證:x2y2=1。由x＋1/y=

y＋1/x得xy(x－y)=(y－x)，∵x≠y，∴xy=－1，∴x2y2=1。第二十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三例已知x,y,z為三個互不相等的實(shí)數(shù)，并且x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x，求證:x2y2z2=1思路4:類似地，x＋1/y=y＋1/zyz(x－y)=y－zy＋1/z=z＋1/xzx(y－z)=z－xx＋1/y=z＋1/xxy(z－x)=x－y三式相乘，得x2y2z2(x－y)(y－z)(z－x)=(y－z)(z－x)(x－y)，易知結(jié)論成立.第二十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三4.思維的獨(dú)創(chuàng)性思維的獨(dú)創(chuàng)性是指思維的創(chuàng)新程度,表現(xiàn)為思維的方式、方法或結(jié)果具有新穎、獨(dú)特的特點(diǎn).如高斯的1＋2＋3＋＋100=50(100＋1)=5050這種算法具有獨(dú)創(chuàng)性.第二十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三例全集I={(x,y)|x,y∈R},M={(x,y)|(y－3)/(x－2)=1}，N={(x,y)|y≠x+1},那么M∪N=()A.ΦB.{（2，3）}C.（2，3）D.{(x,y)|y=x＋1}第二十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三例全集I={(x,y)|x,y∈R},M={(x,y)|(y－3)/(x－2)=1}，N={(x,y)|y≠x+1},那么M∪N=()A.ΦB.{（2，3）}C.（2，3）D.{(x,y)|y=x＋1}常規(guī)思路:M∪NM∩Nx－2=0或y≠x+1y=x－1x=2y=3第二十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三例全集I={(x,y)|x,y∈R},M={(x,y)|(y－3)/(x－2)=1}，N={(x,y)|y≠x+1},那么M∪N=()A.ΦB.{（2，3）}C.（2，3）D.{(x,y)|y=x＋1}創(chuàng)新性思路:I是整個平面,M是平面內(nèi)一直線y=x+1去掉一點(diǎn)(2,3),N是整個平面內(nèi)去掉一直線y=x+1,則M∪N是整個平面去掉一個“孔”,而M∪N就是這個“孔”的集合,即{(2,3)}第二十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三5.思維的批判性思維的批判性是指主體對思維內(nèi)容和思維過程進(jìn)行反思和評價的程度,它是思維過程中主體自我意識作用的結(jié)果.主要表現(xiàn)在:評價所選擇的思路;預(yù)測可能出現(xiàn)的結(jié)果并進(jìn)行檢驗(yàn);喜歡獨(dú)立思考;凡是要經(jīng)過自己思考再作結(jié)論;善于提出各種疑問,及時發(fā)現(xiàn)錯誤等.第三十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三思維是一個通過對感知記憶的信息進(jìn)行加工改造而得出新信息的過程.要