八年級數學競賽講座-第二十七講-圖形的折疊、剪拼與分割-人教新課標版

PAGEPAGE4用心愛心專心第二十七講圖形的折疊、剪拼與分割一頁普通的紙，童年時我們用稚氣的雙手把它折成有趣的動物，民間藝人可以把它剪成美麗的圖案．折紙與剪紙是最富于自然情趣而又形象生動的實驗，是豐富想象力與心靈手巧的結合．對圖形進行折疊與剪拼，是學習幾何不可或缺的重要一環(huán)，通過折疊與剪拼圖形，我們可以發(fā)現一些幾何結論并知曉這些結論是怎樣被證明的．把圖形或部分沿某直線翻折叫圖形的折疊，對圖形通過有限次的剪裁再重新拼接成新的圖形叫圖形的剪拼．解與圖形折疊或剪拼相關的問題，利用不變量解題是關鍵，在折疊過程中，線段的長度、角的度數保持不變；在剪拼過程中，新圖形與原圖形的面積一般保持不變．例題求解【例1】如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6㎝，BC=8㎝，現將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于．(南通市中考題)思路點撥設CD=x，由折疊的性質實現等量轉換，將條件集中到Rt△BDE中，建立x的方程．注圖形折疊與剪拼問題可考壹我們的動手操作能力和分析推理能力，解題時需要把計算、推理與合情想象結合起來．折疊問題可以對稱觀點認識：(1)折痕兩邊是全等的；(2)對應點連線被折痕垂直平分．解折疊問題常用到勾股定理、相似形、方程思想等知識與方法．【例2】如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，則重疊部分△AFC的面積為()A．12D10C．8D．6(2004年武漢市選拔賽試題)思路點撥只需求出AF長即可．取一張矩形的紙進行折疊，具體操作過程如下：A．矩形B．三角形C．梯形D．菱形(陜西省中考題)8．如圖1，小強拿一張正方形的紙，沿虛線對折一次得圖2，再對折一次得圖3，然后用剪刀沿圖3中的虛線剪去一個角，再打開后的形狀是()(濟南市中考題)9．如圖，東風汽車公司沖壓廠沖壓汽車零件的廢料都是等腰三角形的小鋼板，其中AB=AC，該沖壓廠為了降低汽車零件成本，變廢為寶，把這些廢料再加工成紅星農業(yè)機械廠粉碎機上的零件，銷售給紅星農業(yè)機械廠，這些零件的形狀都是矩形．現在要把如圖所示的等腰三角形鋼板切割后再焊接成兩種不同規(guī)格的矩形，每種矩形的面積正好等于該三角形的面積，每次切割的次數最多兩次(切割的損失可忽略不計)．(1)請你設計兩種不同的切割焊接方案，并用簡要的文字加以說明；(2)若要把該三角形廢料切割后焊接成正方形零件(只切割一次)，則該三角形需滿足什么條件?(十堰市中考題)10．如圖，ABCD是矩形紙片，E是AB上一點，且BE：EA＝5：3，EC=15SKIPIF1<0，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若點B恰好落在AD邊上，設這個點為F，求AB、BC的長．11．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC=5，現將它折疊，使點B與點C重合，則折痕的長是．(四川省競賽題)12．如圖，一張矩形紙片沿BC折疊，頂點A落在點A，處，第二次過A，再折疊，使折痕DE∥BC，若AB=2，AC=3，則梯形BDEC的面積為．(“宇振杯”上海市競賽題)13．如圖，將矩形ABCD的四個角向內折起，恰好拼成既無縫隙又無重疊的四邊形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么線段AD與AB的比等于．(“希望杯”邀請賽試題)14．要剪切如圖l(尺寸單位mm)所示的兩種直角梯形零件，且使兩種零件的數量相等．有兩種面積相等的矩形鋁板，第一種長500mm，寬300mm(如圖2)；第二種長600mm，寬250mm(如圖3)；可供選用．(1)填空：為了充分利用材料，應選用第種鋁板，這時一塊鋁板最多能剪甲、乙兩種零件共個，剪出這些零件后，剩余的邊角料的面積是mm2．(2)畫圖，從圖2或圖3中選出你要用的鋁板示意圖，在上面畫出剪切線，并把邊角余料用陰影表示出來．15．如圖，EF為正方形ABCD的對折線，將∠A沿DK折疊使它的頂點A落在EF上的G點，則∠DKG為()A．15°B．30°C．55°D．75°16．某班在布置新年聯歡會會場時，需要將直角三角形彩紙裁成長度不等的矩形彩條，如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=30㎝，AB=50cm，依次裁下寬為1㎝的矩形紙條a1，a2，a3，…，若使裁得的矩形紙條的長都不小于5cm，則每張直角三角形彩紙能裁成的矩形紙條的總數是()A．24B．25C．26D．27(山東省濟南市中考題)17．如圖，若將左邊正方形剪成四塊，恰能拼成右邊的矩形，設a＝1，則這個正方形的面積為()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0(2003年山東省競賽題)18．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，沿過點月的一條直線BE折疊這個三角形，使點C落在AB邊上的點為D，要使點D恰為AB的中點，問在圖中還需添加什么條件?(1)寫出兩個滿足邊的條件；(2)寫出兩個滿足角的條件；(3)寫出一個滿足除邊角以外的其他條件．(黃岡市競賽題)19．如圖，正方形紙片ABCD中，E為BC的中點，折疊正方形，使點A與點E重合，壓平后，得折痕MN，設梯形ADMN的面積為S1，梯形BCMN的面積為S2，求SKIPIF1<0的值20．已知一個三角形紙片ABC，面積為25，BC的長為l0，∠B、∠C都為銳角，M為AB邊上的一動點(M與A、B不重合)，過點M作MN∥BC交AC于點N，設MN=x．(1)用x表示△AMN的面積；(2)△AMN沿M