正方形的性質(zhì)與判定

正方形的性質(zhì)與判定第一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三2002年世界數(shù)學(xué)大會會標(biāo)圖片欣賞第二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三第三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三情景一新知探究第四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三情景一新知探究第五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三情景一新知探究第六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三情景一新知探究第七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三情景一新知探究第八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三情景一新知探究第九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三情景一新知探究第十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三

創(chuàng)設(shè)情景?情景一問題:

從這個圖形中你想到了什么？第十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三ABCD情景二新知探究第十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三ABCD情景二新知探究第十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三ABCD情景二新知探究第十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三ABCD情景二新知探究第十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三ABCD情景二新知探究第十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三ABCD情景二新知探究第十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三ABCD情景二新知探究第十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三ABCD情景二新知探究第十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三ABCDAB情景二當(dāng)CD移動到位置，且時，此時的圖形還是矩形嗎？2圖中CD在移動時，這個圖形始終是怎樣的圖形？（CD在移動的過程中始終保持與AB平行）1問題第二十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三鄰邊相等的矩形想一想：正方形是怎樣的矩形？矩形正方形新知探究第二十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三菱形正方形一個角是直角的菱形想一想：正方形是怎樣的菱形？新知探究第二十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三兩組對邊分別平行有一個角是直角有一組鄰邊相等四邊形平行四邊形矩形菱形回憶如何在平行四邊形的基礎(chǔ)上來定義正方形第二十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三平行四邊形正方形矩形菱形一組鄰邊相等一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角一內(nèi)角是直角平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角給正方形下個定義定義：一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形第二十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三菱形矩形平行四邊形正形方平行四邊形，矩形，菱形，正方形的關(guān)系正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。第二十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三菱形性質(zhì)矩形性質(zhì)第二十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三回顧平行四邊形，矩形，菱形的性質(zhì)，完成表格前三列平行四邊形矩形(所特有)菱形(所特有)邊角對角線圖形的對稱性對邊平行且相等四條邊相等對邊平行且四條邊相等對角相等四個角都是直角四個角都是直角對角線互相平分對角線相等對角線互相垂直，每條對角線平分一組對角對角線相等且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角中心對稱圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形圖形性質(zhì)分類正方形類比歸納第二十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三對角線：相等互相垂直平分每條對角線平分一組對角。邊:對邊平行四邊相等角：四個角都是直角圖形的對稱性：既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.=菱形性質(zhì)矩形性質(zhì)正方形的性質(zhì)第二十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三

你覺得什么樣的四邊形是正方形呢?(判斷一個四邊形是正方形有哪些方法？）第二十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角1、正方形菱形2、一內(nèi)角是直角矩形3、一組鄰邊相等正方形正方形的判定方法：(可從平行四邊形、矩形、菱形為基礎(chǔ)）定義法菱形法矩形法第三十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三①四條邊相等，四個角都是直角②對角線互相垂直、平分且相等四邊形正方形以四邊形為基礎(chǔ)：既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。第三十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三請發(fā)表你的見解，談?wù)勀愕氖斋@！第三十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三對邊平行且相等每條對角線平分一組對角對角線相等對角線互相垂直對角線互相平分四個角都是直角對角相等四條邊都相等性質(zhì)正方形菱形矩形平行四邊形圖形小結(jié)√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√第三十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三5種識別方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角或?qū)蔷€相等一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一個角是直角或?qū)蔷€相等一個角是直角且一組鄰邊相等平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié)第三十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三挑戰(zhàn)自我第三十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三√√√×(1)正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形（）(2)對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形（）(3)如果一個菱形的對角線相等，那么它一定是正方形（）(4)如果一個矩形的對角線互相垂直，那么它一定是正方形（）(5)四條邊相等，且有一個角是直角的四邊形是正方形（）√快速反應(yīng)判斷題:第三十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三（6）正方形一定是矩形．（）（7）正方形一定是菱形．（）（8）菱形一定是正方形．（）（9）矩形一定是正方形．（）

(10)正方形、矩形、菱形都是平行四邊形．（）√√√××（12）正方形是軸對稱圖形,一共有2條對稱軸()(13)四個角都相等的四邊形是正方形()(14)四條邊都相等的四邊形是正方形()×××第三十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）A、四個角相等.B、對角線互相垂直平分.C、對角互補(bǔ).D、對角線相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（）A、四條邊相等.B、對角線互相垂直平分.C、對角線平分一組對角.D、對角線相等. BD選擇題:第三十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三3、下列命題正確的是（）A、四個角都相等的四邊形是正方形B、四條邊都相等的四邊形是正方形C、對角線相等的平行四邊形是正方形D、對角線互相垂直的矩形是正方形D第三十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三

4．四個內(nèi)角都相等的四邊形一定是（）A、正方形B、菱形C、矩形D平行四邊形

5．在四邊形ABCD中，O是對角線的交點(diǎn)，能判定這個四邊形是正方形的是：（）

A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDB．AD∥BC∠A＝∠CC．AO＝COBO＝DOAB＝BCD．AC＝BD

CA第四十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三6．四個內(nèi)角都相等，四條邊也都相等的四邊形一定是：（）A．正方形B．菱形C．矩形D．平行四邊形

A第四十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三1、如圖：正方形ABCD的周長為15cm，則矩形EFCG的周長為

cm。

ABCDEGF7.5試一試第四十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三

4.已知：正方形ABCD對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AB＝2cm，則AC=

,正方形的面積S=______.

練一練2246365.已知：在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC＝6cm，面積S=________.則邊長AB＝______,

第四十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三5、已知四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O。⑴若AB=BC，則四邊形ABCD是（）⑵若AC=BD，則四邊形ABCD是（）⑶若∠BCD=900，則四邊形ABCD是（）⑷若OA=OB，則四邊形ABCD是（）⑸若AB=BC，且AC=BD，則四邊形ABCD是（）菱形矩形矩形矩形正方形第四十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對角線AC上，那么，BE和DE相等嗎？為什么？ABCDE解：BE=DE.因為對角線AC所在的直線是正方形ABCD的對稱軸，而點(diǎn)E在對稱軸上，點(diǎn)B為點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，所以BE=DE第四十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三已知：如圖正方形ABCD對角線AC、BD相交于點(diǎn)O。求證：△ABO≌△BCO≌△CDO≌△ADO例1、求證：正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形。第四十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三

3．如圖(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，

分析：要證明BM＝CN，大家觀察圖形可以考慮證哪兩個三角形全等?

MN∥AB且MN分別交OA、OB于M、N，求證：BM＝CN。你能完成證明嗎???

AB＝BC，∠1＝∠2＝45°條件夠嗎？

還需要的條件是AM＝BN△ABM≌△BCN你所要證明的兩個三角形已經(jīng)滿足了哪些條件?由正方形可以得到的條件有：第四十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三例2、如圖，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分別交OA、OB于M、N，求證：BM＝CN。證明：∴OA－OM＝OB－ON∴OM＝ON∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°又∵M(jìn)N∥AB∠1＝∠2＝∠3＝45°∴OA＝OBAB=BC∵四邊形ABCD是正方形即：AM=BN∴△ABM≌△BCN∴BM=CN第四十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三例3、直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥AB。求證：四邊形CEDF是正方形。ABCDEF∴四邊形ABCD是正方形（)∴DE=DF()DE⊥AC，DF⊥BC∵CD平分∠ACB∴四邊形ABCD為矩形()而∠ACB=90°∴∠DEC=90°，∠DFC=90°證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB有三個角是直角的四邊形是矩形角平分線的定理有一組鄰邊相等的矩形是正方形第四十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三4．已知：如圖(4)在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD延長線上一點(diǎn)，CE⊥AF于E，交AD于M，求證：∠MFD＝45°

分析：欲證∠MFD＝45°，由于△MDF是直角三角形,只須證△MDF是等腰三角形,即只要證_____=_____要證MD＝FD，大家只須證得哪兩個三角形全等?

試一試看能不能完成證明???△CMD≌△ADF第五十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三例4、已知：如圖(4)在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD延長線上一點(diǎn)，CE⊥AF于E，交AD于M，

求證：∠MFD＝45°證明：∴DM=DF∴Rt△CDM≌Rt△ADF(AAS)又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC=Rt∠∴∠1＝∠2∵∠CMD＝∠AME∴∠ADC＝∠AEM＝90°∵CE⊥AF四邊形ABCD是正方形∴∠MFD＝45°第五十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三1、如圖，在AB上取一點(diǎn)C，以AC、BC為正方形的一邊在同一側(cè)作正方形AEDC和BCFG連結(jié)AF、BD延長BD交AF于H。

求證：(1)△ACF≌△DCB(2)BH⊥AF

練一練第五十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三2、如圖(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，連結(jié)BG、CE，交點(diǎn)為N。

求證：∠CEA＝∠ABG

證明：∵四邊形ABDE和四邊形ACFG是正方形。

∴AE＝ABAG＝AC∠1＝∠2＝90°

又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC

∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC

∴∠EAC＝∠BAG

∴△AEC≌△ABG(SAS)∴∠CEA＝∠ABG第五十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三3、在正方形ＡＢＣＤ中，點(diǎn)Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分別在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝ＤＤ`.四邊形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形嗎？為什么？D`C`B`A`DCBAABCDEFG4、如圖，點(diǎn)E、F在正方形ABCD的邊BC、CD上，BE=CF，探索圖中AE與BF的關(guān)系。第五十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三ABDCFE5、如圖，在正方形ABCD中，E在BC的延長線上，且CE=AC，AE交CD于F，則求∠AFC的度數(shù)。第五十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三6、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.1)試說明:DE=DF2)只添加一個條件,使四邊形EDFA是正方形.請你至少寫出兩種不同的添加方法.(不另外添加輔助線,無需證明)第五十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三1、在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相等的四部分（不考慮道路的寬度），你有幾種方法？（至少說出三種）課外拓展：第五十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三

如何設(shè)計花壇？在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相等的四部分（不考慮道路的寬度），你有幾種方法？（至少說出三種）

請你當(dāng)設(shè)計師第五十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三

1已知：正方形ABCD對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AB＝2cm，如圖(2)。

求：AC的長及正方形的面積S。

EFG矩形EFCG的周長。第五十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三第六十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三6、已知：如圖矩形ABCD,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，連接OE，若∠EAO=150，求∠BOE的度數(shù)。OABCDE第六十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三7、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，求PE+PF的值。ABCDEPF第六十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三8、如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一個動點(diǎn)，求DN+MN的最小值。ABCDMN第六十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三8、如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一個動點(diǎn)，求DN+MN的最小值。ABCDMN第六十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三9、已知，如圖在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN垂足為點(diǎn)E，①求證：四邊形ADCE是矩形。②當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是正方形，說明理由。ABCEMND第六十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三10、如圖B、C、E是同一直線上的三個點(diǎn)，四邊形ABCD與CEFG是正方形，連接BG、DE（1）觀察、猜想BG與DE之間的大小關(guān)系，并說明理由。（2）正方形CEFG在繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過程中，BG與DE之間的關(guān)系是否仍然成立。ABCEFDGADBGFEC第六十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三11、如圖，M為正方形ABCD邊AB的中點(diǎn)，E是AB延長線上一點(diǎn)，MN⊥DM，且交∠CBE的平分線于點(diǎn)N。（1）求證：MD=MN（2）若將上述條件中的“M是AB的中點(diǎn)”改為“M為AB上任意一點(diǎn)”，其它條件不變，問結(jié)論MD=MN是否仍然成立。ABCDMENFABCDENMP●●第六十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三思考題：如圖正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，O又是另一個正方形OEFG的一個頂點(diǎn)，若正方形OEFG繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中.探究二:若正方形OEFG與正方形ABCD兩邊分別相交于MN，試判斷線段AM于BN之間的關(guān)系.探究一:兩個正方形重疊部分的面積是否會發(fā)生變化？并說明理由。第六十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三探究四：

如圖，有兩個大小不等的兩個正方形，其中小正方形的面積是大正方形面積的一半，若陰影部分的面積為8，則小正方形的邊長為多少？探究三:若正方形OEFG繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時，AM與BN之間的關(guān)系是否還成立？第六十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三構(gòu)建與證明ODCBA如圖，分別延長等腰直角三角形OAB的兩條直角邊AO和BO，使AO=OC，BO=OD求證：四邊形ABCD是正方形。八年級數(shù)學(xué)第十九章四邊形第七十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三數(shù)一數(shù)圖中正方形的個數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？多多多（）個（）個（）個（）個第n個圖中正方形有

個3n-1長見識八年級數(shù)學(xué)第十九章四邊形第七十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期三