第九章-微積分在經(jīng)濟中的應(yīng)用課件

第九章微積分在經(jīng)濟中的應(yīng)用一、復利公式(1)復利(逐年)年利率，初始資金n年后的資金若將來值為C，則本金為若現(xiàn)在投資A，每年獲得I，N年后資金用盡，則1反過來，(2)連續(xù)復利年利率r，本金A，一年分m期計息，則每期的利率為按復利計算，一年末的本利和t年末的本利和為若計息期則第t年末的本利和為2(3)資金的貼現(xiàn)值與投資問題資金A的終值：按年利率r作連續(xù)復利計算，第t年末的本利和為稱之為資金A的終值（或?qū)碇担┵Y金A的貼現(xiàn)值：第t年末要得到資金A，需要的資金投入，稱之為第t年末資金A的貼現(xiàn)值.注：在經(jīng)濟管理中，我們常把不同時期的資金轉(zhuǎn)化為收入(支出率)t時刻的收入(支出)，記為均勻收入(支出)流同一時期的資金來進行比較.3問題：設(shè)在時間段上，收入(支出)率為年利率r，按連續(xù)復利計算，求該時間段上的總收入的貼現(xiàn)值M與終值N.解決方法：微元分析法第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部量的近似值第二步利用“積零為整,無限累加”求出整體量的精確值4(a)求帖現(xiàn)值(b)求終值微元表達式積分表達式在時間段上，總收入貼現(xiàn)值為微元表達式在時間段上的總收入在其積分表達式后的時間段收入的終值為5例1若在未來7年內(nèi)每年年末支取資金10000元，在固定利率為5%的情況下，現(xiàn)在需要投資多少？解例2若投資2000元，固定利率為5%，按連續(xù)復利計息，則8年后產(chǎn)資本是多少？解6例3某公司為了發(fā)展新業(yè)務(wù)，需要增加5臺電腦，如果購進一臺電腦需要一次性支付5000元現(xiàn)金，電腦的使用壽命為15年；如果租用一臺電腦，每年需要支付600元租金，租金均勻支付，按連續(xù)年利計息：若銀行的年利率為12%，兩種方式哪種合算？利率為6%呢？解方法一將比較的時期定在現(xiàn)值上租用租用故租比買合算.7例3某公司為了發(fā)展新業(yè)務(wù)，需要增加5臺電腦，如果購進一臺電腦需要一次性支付5000元現(xiàn)金，電腦的使用壽命為15年；如果租用一臺電腦，每年需要支付600元租金，租金均勻支付，按連續(xù)年利計息：若銀行的年利率為12%，兩種方式哪種合算？利率為6%呢？解方法一將比較的時期定在現(xiàn)值上若租用：故買比租合算8方法二將比較期定在將來值上若故租比買合算若故買比租合算9例4某人決定按照抵押貸款的方式購買一套住房，若房款10萬美元，現(xiàn)有4萬美元，申請貸款6萬美元，期限25年，月利率1%，復利計息，問他每月應(yīng)還款多少？解美元.個月10二、用需求彈性分析收益的變化Elasticity價格的變動會引起需求量的變動，但需求量對價格變動的反應(yīng)程度是不同的。PQDPDQ問題：兩條需求曲線為什么不同？反應(yīng)程度小反應(yīng)程度大OO11彈性（elasticity）的概念彈性指的是因變量對自變量變化的反應(yīng)程度，公式為：12二、用需求彈性分析收益的變化Elasticity問題一價格的增加如何影響需求量的下降問題二降低價格會不會影響收益求做令需求彈性設(shè)價格p，收益R，需求量q13價格p，收益R，需求量q分析(1)低彈性收益最大即低彈性時價格少許上漲帶來收益增加。(2)高彈性即高彈性時價格少許上漲會使收益減少。(3)單位彈性14

五種分類價格無論如何變動，需求量都不會變動。（如：急救藥）PQD1O(1)完全無彈性（perfectinelastic）15價格為既定時，需求量是無限的。銀行以某一固定的價格收購黃金實行保護價的農(nóng)產(chǎn)品PQD2O(2)無限彈性（perfectelastic）16價格變動的比率=需求量變動的比率。這時的需求曲線是一條正雙曲線。如運輸、住房服務(wù)D3OPQ(3)單位彈性（unitaryelastic）17需求量變動的比率小于價格變動的比率。主要是生活必需品病人對藥品（不包括滋補品）的需求的價格彈性<1若某商品價格上升20％，其需求量下降10％，則該商品的需求價格彈性為:

缺乏彈性D4PQO(4)低彈性(缺乏彈性)（inelastic）18需求量變動的比率大于價格變動的比率。主要是奢侈品。商品價格上升6%，而需求量減少9%時，該商品屬于？富有需求彈性。D5POQ(5)高彈性(富于彈性)（elastic）19例如“谷賤傷農(nóng)”：需求缺乏彈性的商品，E<1需求量變動的比率小于價格變動的比率。價格上調(diào),總收益增加,對生產(chǎn)者有利;價格下調(diào),總收益減少,對生產(chǎn)者不利。征收消費稅，會提高商品價格需求越缺乏彈性，消費者負擔的比重就越大，而對生產(chǎn)者有利；需求越富有彈性，消費者負擔的比重就越小，而生產(chǎn)者負擔的比重就越大。價格變動的百分比大于需求量變動的百分比時，提高價格會增加總收益。QPO20例如：為什么化妝品可以薄利多銷而藥品卻不行？是不是所有的藥品都不能薄利多銷？為什么？答：（1）化妝品之所以能薄利多銷，是因為它是需求富有彈性的商品，小幅度的降價可使需求量有較大幅度的增加，從而使總收益增加，而藥品是需求缺乏彈性的商品，降價只能使總收益減少.（2）并不是所有的藥品都不能薄利多銷.例如一些滋補藥品，其需求是富有彈性的，可以薄利多銷.21設(shè)某商品的需求函數(shù)(線性)

試討論解令(1)低彈性收益最大.即價格少許上漲將帶來收益增加.(2)高彈性需求下降的百分比大于價格增加的百分比,則收益減少.(3)單位彈性例5彈性的變化.最高價如果漲價，22定義9.1供給彈性設(shè)價格p，供給量q，供給函數(shù)在處可導稱為該商品在與兩點間的供給彈性.稱為該商品在處的供給彈性.注23過原點Es=1與Q平行ES=∞與P軸平行ES=0OO定義9.2供給彈性的分類24缺乏彈性與Q軸相交ES＜1富有彈性與P軸相交Es＞1PQSA同時與P、Q相交：價格下跌，反而要增加生產(chǎn)，才可以維持盈利.ES＜0如糧食、銅的供給電腦制品.OOO25設(shè)商品的供給函數(shù)求供給彈性數(shù)及p=1時的供給彈性.解例626定義9.3局部彈性(1)需求自身價格彈性設(shè)商品A的多元需求函數(shù)為即當和y保持不變,發(fā)生變化時，需求量的相對改變量與自變量的相對改變量之比的極限稱為需需求自身價格彈性，記作注：27(2)需求的交叉價格彈性即當和y保持不變,發(fā)生變化時，需求量的相對改變量與自變量的相對改變量之比的極限稱為需需求的交叉價格彈性，記作28注：需求的交叉價格彈性表示一種商品價格的相對變動所引起的相關(guān)商品需求量的相對變動.(1)A、B是相互競爭的商品，即(2)A、B是相互補充的商品，即29即y發(fā)生變化時，需求量的相對改變量與自變量y的相對改變量之比的極限稱為需求的收入彈性，記作(3)需求的收入彈性當和

保持不變,注30例7設(shè)需求函數(shù)求當時的解故A、B是相互競爭的商品.31三、最大值與最小值的應(yīng)用1、利潤最大化“利潤最大化”原則：最大利潤時的產(chǎn)量水平在邊際收益與邊際成本相等時達到.32例8設(shè)廠商總成本函數(shù)C=C(q)(q為產(chǎn)量=銷售量=需求量)

，需求函數(shù)為P=P(q),其中C(q)、P(q)均是q的二階可導函數(shù)，且廠商的利潤函數(shù)L=L(q)滿足試確定廠商獲得最大利潤的必要條件。解收益函數(shù)利潤函數(shù)圖形凸，故只存在唯一的駐點，即最值點.33例8設(shè)廠商總成本函數(shù)C=C(q)(q為產(chǎn)量=銷售量=需求量)

，需求函數(shù)為P=P(q),其中C(q)、P(q)均是q的二階可導函數(shù)，且廠商的利潤函數(shù)L=L(q)滿足試確定廠商獲得最大利潤的必要條件.解設(shè)最值點為則即稱為廠商的均衡產(chǎn)量，為均衡價格廠商獲得最大利潤的必要條件是：邊際收益=邊際成本即34例9設(shè)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q

件的成本函數(shù)為

C(q)=20+4q(萬元)

，產(chǎn)品的需求函數(shù)為p為產(chǎn)品的價格，若需求量等于產(chǎn)量，那么(1)求p=6時，需求對價格的彈性，并解釋經(jīng)濟意義.其中(2)求p=6時，收益對價格的彈性，并解釋經(jīng)濟意義.(3)問產(chǎn)量q

分別為多大時，收益最大，求最大收益；利潤最大，并求最大利潤.解(1)說明價格上漲1%，需求量減少1/3%35(2)說明價格上漲1%，需求量增加2/3%.36(3)由實際問題可知由實際問題當q=5時，由實際問題可知37例10設(shè)分別為商品Ⅰ,Ⅱ的需求量，它們的需求函數(shù)為數(shù)為成本函問價格取何值時，可使得利潤最大(單價為萬元).收益函數(shù)：利潤函數(shù)：解其中為兩種商品的價格，38利潤函數(shù)：即駐點駐點唯一，由實際問題，即為最大值.39例11某牛奶公司生產(chǎn)鮮奶及酸奶，鮮奶每斤純利0.8元，酸奶每斤純利1.2元，制造x斤鮮奶及y

斤酸奶的成本函數(shù)為產(chǎn)的費用是31000元，問如何分配生產(chǎn)使利潤最大？利潤函數(shù)：約束條件：解而該公司每日的生構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：40得方程組構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：唯一駐點由實際問題，每日生產(chǎn)鮮奶3000斤，酸奶5500斤，利潤最大.412、成本最小化(1)經(jīng)濟批量存貯過多存貯過少庫存需求均勻，不缺貨占資金，費用高訂貨費用高，缺貨經(jīng)濟批量基本假設(shè)：目標：訂貨費與貯存費之和最小準備工作：T訂貨周期、Q每批訂貨量、每次訂貨費用每天每噸貨物的貯存費用、q

每天對貨物的需求量C一個周期內(nèi)的總費用模型一（不允許缺貨的貯存模型）42在一個訂貨期內(nèi)，需求量從Q降為0時立刻補貨總貯存費為貨物的平均貯存費用為Q/2，或或解得唯一駐點經(jīng)濟批量43公式表明貯存費越高，則每次訂貨批量應(yīng)越小.訂貨費越高，需求量越大，則訂貨批量應(yīng)越大總費用44例12某廠生產(chǎn)某商品，年銷售量為100萬件，每批生產(chǎn)需要增加準備費1000元,而每件商品的年庫存費為0.05元如果銷售是均勻的,且上一批售完,立即生產(chǎn)下一批,每批數(shù)量相同,則全年應(yīng)組織幾批生產(chǎn)，使得生產(chǎn)費與庫存費最小？解設(shè)批量為Q、總費用為C，則成本函數(shù)為又故應(yīng)分五批生產(chǎn)，可使費用最小.45模型二（允許缺貨的貯存模型）由于缺貨而失去銷售機會會使利潤減少，缺貨費：減少的利潤視為因缺貨而付出的費用.準備工作貨物售完時間每天每噸貨物的貯存費用、q

每天對貨物的需求量C一個周期內(nèi)的總費用、T訂貨周期、Q每批訂貨量、每次訂貨費用、貨物在時售完，有段時間缺貨(需求量仍為q),在T時下一批訂貨量為Q的貨物到達46訂貨費：在一個訂貨周期T內(nèi)的總費用：貯存費：缺貨費：故總費用為47令則記則與不允許缺貨的模型相比較，有48(2)生產(chǎn)函數(shù)目標：達到最佳的經(jīng)濟效益在產(chǎn)量不變的情況下，成本最小.成本不變的情況下，產(chǎn)量達到最大.兩種選擇(Q產(chǎn)量,x

是生產(chǎn)要素ⅠⅡ的投入量,P

為價格)其中：生產(chǎn)函數(shù)為49①在條件的最小值.下求成本函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)50解得即結(jié)論：成本最小的必要條件是關(guān)于各種生產(chǎn)要素的邊際產(chǎn)量之比等于它們對應(yīng)的價格之比.邊際產(chǎn)量：稱為關(guān)于生產(chǎn)要素的邊際產(chǎn)量.51②在條件的最小值.下求生產(chǎn)函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)52解得即結(jié)論：雖然追求成本最小化與追求產(chǎn)量最大化的著眼點不同，但是所要滿足的條件是相同的.53例13設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品必須投入兩種要素，投入量，Q為產(chǎn)出量；生產(chǎn)函數(shù)為設(shè)兩要素的價格分別為產(chǎn)量為多少時可以使投入總費用最小？其中解為兩要素的試求當在條件的最小值.下求總費用構(gòu)造拉格朗日函數(shù)54構(gòu)造拉格朗日函數(shù)解得則駐點唯一，由實際問題即為最值點當時，投入總費用最小.55四、積分在經(jīng)濟中的應(yīng)用1、由邊際成本求總函數(shù)設(shè)固定成本邊際收益其中q為產(chǎn)量=需求量=銷售量.邊際成本總成本函數(shù)總收益函數(shù)總利潤函數(shù)56例14設(shè)某廠每天生產(chǎn)某產(chǎn)品q

件，邊際成本函數(shù)為元/件，固定成本為20元,且該商品的銷售價格為18元/件，設(shè)生產(chǎn)出的商品都能售出，求(1)成本函數(shù)C(q)；(2)產(chǎn)量從2件增加到4件時的成本變化量；(3)每天產(chǎn)量為多少時，利潤最大？并求最大利潤。解(1)成本函數(shù)57(2)或(3)故當時，58例15設(shè)某廠產(chǎn)品的邊際收益為(1)求收益函數(shù)R(q)；(2)求當產(chǎn)品的銷售量從10個單位減少到5個單位時，收益的變化量？解(1)成本函數(shù)(2)或592、消費者剩余和生產(chǎn)者剩余消費者剩余記作由于實際購買價小于預(yù)計購買價，省下的錢的總和稱為消費者剩余生產(chǎn)者剩余記作由于生產(chǎn)者實際成交價大于預(yù)計成交價，則此額外收入的總和稱為消費者剩余需求曲線供給曲線60例16設(shè)某商品的需求函數(shù)為供給函數(shù)為解先求市場的均衡價格和均衡產(chǎn)量求消費者剩余和生產(chǎn)者剩余消費者剩余生產(chǎn)者剩余61五、微分方程在經(jīng)濟中的應(yīng)用(1)新產(chǎn)品推廣模型設(shè)t時刻的銷售量為飽和水平Logistic模型：Logistic曲線：利用微元分析法，建立有關(guān)經(jīng)濟量變化形式的微分方程，通過求解方程，得出經(jīng)濟量的變化規(guī)律.應(yīng)用：可以描述人口的增長、謠言傳播、流傳病傳播市場占有率、生物種群數(shù)量等現(xiàn)象.62分析：Logistic曲線：拐點銷售速度較快銷售速度漸緩63(2)市場價格調(diào)整模型設(shè)商品的需求函數(shù)與供給函數(shù)分別為其中當時，得均衡價格均為常數(shù)，且供大于求：供不應(yīng)求：降價漲價64(2)市場價格調(diào)整模型供大于求：供不應(yīng)求：降價漲價故t時刻的價格的變化率與超額需求成正比.即65(3)人才分配模型設(shè)t年教師人數(shù)為個畢業(yè)生，每年退休死亡或每年的畢業(yè)生中從事教師職業(yè)的比率為調(diào)出人員的比率為科技管理人員數(shù)目為一個教師每年平均培養(yǎng)則(1)(2)66解(1)式通解為故特解為設(shè)則通解為代入(2)式，得則代入可得特解67特解分析：若取即畢業(yè)生全部留在教育界，則說明教師隊伍迅速增加，科技管理隊伍不斷萎縮，勢必影響經(jīng)濟發(fā)展.取則說明不保證適當比例的畢業(yè)生充實教師隊伍，將影響人才培養(yǎng)，最終導致兩支隊伍全面的萎縮.68六、差分方程在經(jīng)濟中的應(yīng)用(1)價格與庫存模型通常情況下，庫存量超過合理庫存量，產(chǎn)品價格下跌設(shè)為第t個時段某產(chǎn)品價格,為合理庫存量.則如果庫存量低于合理庫存量，產(chǎn)品價格上漲.為第t個時段的庫存量,其中c為比例系數(shù)，常數(shù)變形為69其中設(shè)供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為則設(shè)特解為代入方程得(*)對應(yīng)