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文檔簡介
專題01集合【考點預測】1、元素與集合（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．（2）元素與集合的關系：屬于或不屬于，數(shù)學符號分別記為：和．（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）．（4）常見數(shù)集和數(shù)學符號數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號或說明：①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．給定集合，可知，在該集合中，，不在該集合中；②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復出現(xiàn)的．集合應滿足．③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分．集合和是同一個集合．④列舉法把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法．具體方法是：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．2、集合間的基本關系（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）．（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）．讀作“真包含于”或“真包含”．（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作．（4）空集的性質：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3、集合的基本運算（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．（2）并集：一般地，由所有屬于集合或屬于集合的元素組成的集合，稱為與的并集，記作，即．（3）補集：對于一個集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集，簡稱為集合的補集，記作，即．4、集合的運算性質（1），，．（2），，．（3），，．【方法技巧與總結】（1）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4），．【題型歸納目錄】題型一：集合的表示：列舉法、描述法題型二：集合元素的三大特征題型三：集合與集合之間的關系題型四：集合的交、并、補運算題型五：集合的創(chuàng)新定義【典例例題】題型一：集合的表示：列舉法、描述法例1．（2023春·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習）設集合，，集合，則中所有元素之和為（
）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【解析】當，時，；當，時，；當，時，；當，時，；所以，中所有元素之和為7．故選：C．例2．（2023·全國·高三專題練習）已知集合中所含元素的個數(shù)為（
）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】因為，所以中含6個元素．故選：C．例3．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，，，則C中元素的個數(shù)為（
）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由題意，當時，，當，時，，當，時，，即C中有三個元素，故選：C變式1．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，，則集合中元素個數(shù)為（
）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】因為，，所以或或或，故，即集合中含有個元素；故選：C【方法技巧與總結】1、列舉法，注意元素互異性和無序性，列舉法的特點是直觀、一目了然．2、描述法，注意代表元素．題型二：集合元素的三大特征例4．（2023·全國·高三專題練習）若，則的值為（
）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】若，則，不符合集合元素的互異性；若，則或（舍），此時，符合題意；綜上所述：．故選：A．例5．（2023·全國·高三專題練習）若集合中的元素是△ABC的三邊長，則△ABC一定不是（
）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】D【解析】由題可知，集合中的元素是的三邊長，則，所以一定不是等腰三角形．故選：D．例6．（2023·全國·高三專題練習）已知，，若集合，則的值為（
）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，解得或，當時，不滿足集合元素的互異性，故，，即．故選：B．變式2．（2023·全國·高三專題練習）由實數(shù)所組成的集合，最多可含有（
）個元素A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由題意，當時所含元素最多，此時分別可化為，，，所以由實數(shù)所組成的集合，最多可含有3個元素．故選：B【方法技巧與總結】1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性．2、研究兩個或者多個集合的關系時，最重要的技巧是將兩集合的關系轉化為元素間的關系．題型三：集合與集合之間的關系例7．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，若，則實數(shù)的值為__________．【答案】0【解析】因為，所以（舍去）或，所以．故答案為：0例8．（2023·全國·高三專題練習）設集合，則集合的子集個數(shù)為________【答案】16【解析】，故A的子集個數(shù)為，故答案為：16例9．（2023·全國·高三專題練習）設集合，若，則的值為__________．【答案】【解析】由集合M知，，則且，因，，于是得，解得，所以的值為．故答案為：變式3．（2023·全國·高三專題練習）滿足條件：的集合M的個數(shù)為______．【答案】7【解析】由可知，M中的元素個數(shù)多于中的元素個數(shù)，不多于中的元素個數(shù)因此M中的元素來自于b，c，d中，即在b，c，d中取1元素時，M有3個；取2個元素時，有3個；取3個元素時，有1個，故足條件：的集合M的個數(shù)有7個，故答案為：7．變式4．（2023·全國·高三專題練習）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為__________．【答案】（－∞，4]【解析】①當時，滿足，此時，解得．②當時，由可得，解得．綜上可得，所以實數(shù)m的取值范圍為．答案：【方法技巧與總結】1、注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別．2、判斷集合之間關系的兩大技巧：（1）定義法進行判斷（2）數(shù)形結合法進行判斷題型四：集合的交、并、補運算例10．（2023春·云南·高三云南師大附中校考階段練習）已知集合，，則（
）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以．故選：B例11．（2023春·廣西·高三統(tǒng)考期末）已知集合，則（
）A． B．C． D．【答案】C【解析】，解得，故．故選：C．例12．（2023·河南鄭州·高三校聯(lián)考階段練習）已知，則（
）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意解，可得，所以，則，故選：B．變式5．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習）已知全集，集合，，則如圖中陰影部分表示的集合為（
）A． B． C． D．【答案】B【解析】由韋恩圖知，圖中陰影部分的集合表示為，因集合，，則，又全集，所以．故選：B變式6．（2023·江蘇·高三專題練習）設全集，則（
）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，因為，所以故選：B變式7．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知全集，集合，則（）A．或 B．C．或 D．【答案】C【解析】∵，集合，∴或．故選：C．變式8．（多選題）（2023·全國·高三專題練習）圖中陰影部分用集合符號可以表示為（
）A． B．C． D．【答案】AD【解析】在陰影部分區(qū)域內任取一個元素，則或，故陰影部分所表示的集合為或．故選：AD．變式9．（2023·全國·高三專題練習）建黨百年之際，影片《》《長津湖》《革命者》都已陸續(xù)上映，截止年月底，《長津湖》票房收入已超億元，某市文化調查機構，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機抽取了人進行調查，得知其中觀看了《》的有人，觀看了《長津湖》的有人，觀看了《革命者》的有人，數(shù)據(jù)如圖，則圖中___________；___________；___________．【答案】
【解析】由題意得：，解得：．故答案為：；；．【方法技巧與總結】1、注意交集與并集之間的關系2、全集和補集是不可分離的兩個概念題型五：集合的創(chuàng)新定義例13．（2023·全國·高三專題練習）設P和Q是兩個集合，定義集合且，如果，，那么（
）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，，∴．故選：B．例14．（2023·全國·高三專題練習）定義集合的一種運算：，若，，則中的元素個數(shù)為（
）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，，所以，故集合中的元素個數(shù)為3，故選：C．例15．（2023·全國·高三專題練習）定義集合且．已知集合，，，則中元素的個數(shù)為（
）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】因為，，所以，又因為，所以．故選：B．變式10．（2023·全國·高三專題練習）若x∈A，則，就稱A是伙伴關系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴關系的集合的個數(shù)是（
）A．1 B．3C．7 D．31【答案】B【解析】根據(jù)題意可知：當，要想具有伙伴關系，則必滿足，所以集合符合題意；當，要想具有伙伴關系，則必滿足，即，所以集合符合題意；顯然集合也符合題意，故一共三個集合具有伙伴關系．故選：B【方法技巧與總結】1、集合的創(chuàng)新定義題核心在于讀懂題意．讀懂里邊的數(shù)學知識，一般情況下，它所涉及到的知識和方法并不難，難在轉化．2、集合的創(chuàng)新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計算公式，新的運算法則，新的定理”，要根據(jù)這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法進行理解．【過關測試】一、單選題1．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考一模）設集合，集合，則A∩B=（
）A．∪[2，+∞） B． C． D．【答案】C【解析】由已知，∴．故選：C．2．（2023·四川廣安·統(tǒng)考一模）已知集合，，則（
）A． B． C． D．【答案】A【解析】解可得，，所以，所以.故選：A.3．（2023春·福建泉州·高三?？茧A段練習）已知全集，集合和集合都是的非空子集，且滿足，則下列集合中表示空集的是（
）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圖表示集合如下：，由圖可得，，，，故選：D4．（2023·河南鄭州·高三校聯(lián)考階段練習）已知集合，，則（
）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得：，即，又，.故選：C.5．（2023·廣西南寧·南寧二中?？家荒＃┰O集合，，則（
）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得，則.又∵，∴.故選：C.6．（2023春·甘肅蘭州·高三蘭化一中校考階段練習）已知集合A={x|}，B={x|x2-5x<0}，則A∩B=（
）A．（1,0） B．（0,5） C．（0,1） D．（1,5）【答案】D【解析】又.故選：D7．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知，，則（
）A． B．C． D．【答案】B【解析】易知，，所以．故選：B8．（2023·北京·高三專題練習）已知集合,則(
)A． B． C． D．【答案】C【解析】,解得,,解得,,.故選:C.9．（2023·青海海東·統(tǒng)考一模）已知集合，，則（
）A． B． C． D．【答案】D【解析】解可得，所以.所以.故選：D.10．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習）設集合或，，則（
）A． B． C． D．【答案】C【解析】或，，．故選：C二、多選題11．（2023·全國·高三專題練習）已知全集，集合滿足，則下列選項中正確的有（
）A． B．C． D．【答案】BD【解析】因為全集，集合滿足，所以，，，.故選：BD12．（2023·全國·高三專題練習）下面說法中，正確的為（
）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】方程中x的取值范圍為R，所以，同理，所以A正確；表示直線上點的集合，而，所以，所以B錯誤；集合，都表示大于2的實數(shù)構成的集合，所以C正確；由于集合的元素具有無序性，所以，所以D正確．故選：ACD．13．（2023·全國·高三專題練習）已知集合A，B均為R的子集，若，則（
）A． B．C． D．【答案】AD【解析】如圖所示根據(jù)圖像可得,故A正確；由于，故B錯誤；,故C錯誤故選：AD14．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，若，則的取值可以是（
）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【解析】因為，所以，所以或；故選：AB15．（2023·全國·高三專題練習）下列關系式錯誤的是（
）A． B． C． D．【答案】AC【解析】A選項由于符號用于元素與集合間，是任何集合的子集，所以應為，A錯誤；B選項根據(jù)子集的定義可知正確；C選項由于符號用于集合與集合間，C錯誤；D選項是整數(shù)集，所以正確.故選：AC.16．（2023·全國·高三專題練習）下列與集合表示同一個集合的有（
）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由解得,所以，所以根據(jù)集合的表示方法知A，C與集合M表示的是同一個集合，集合的元素是和兩個數(shù)，的元素是和這兩個等式，與集合M的元素是有序數(shù)對(可以看做點的坐標或者對應坐標平面內的點)不同,故BD錯誤.故選：．17．（2023·全國·高三專題練習）已知?均為實數(shù)集的子集，且，則下列結論中正確的是（
）A． B．C． D．【答案】BD【解析】∵∴，若是的真子集，則，故A錯誤；由可得，故B正確；由可得，故C錯誤，D正確.故選：BD.三、填空題18．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）用列舉法表示______．【答案】【解析】因為且，所以或或或，解得或或或，所以對應的分別為、、、，即；故答案為：19．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知集合，，，{3，，5}，則________.【答案】【解析】因集合，所以.故答案為：20．（2023·上海·高三專題練習）已知集合，，則______．【答案】【解析】集合，，．故答案為：．21．（2023·
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