【高中數(shù)學(xué)】全稱量詞與存在量詞（第二課時(shí)） 2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步備課（人教A版2019必修第一冊(cè)）

第一章

集合與常用邏輯用語1.5.2全稱量詞與存在量詞的否定

高中數(shù)學(xué)/人教A版/必修一知識(shí)篇素養(yǎng)篇思維篇1.5.2全稱量詞與存在量詞的否定

一般地，對(duì)一個(gè)命題進(jìn)行否定，就可以得到一個(gè)新的命題，這一新命題稱為原命題的否定．例如，

“56是7的倍數(shù)”的否定為“56不是7的倍數(shù)”，

“空集是集合A＝{1,2,3}的真子集”的否定為“空集不是集合A＝{1,2,3}的真子集”．

下面，我們學(xué)習(xí)利用存在量詞對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定，以及利用全稱量詞對(duì)存在量詞命題進(jìn)行否定.比較與感悟分析

原命題均為全稱量詞命題，否定后全為存在量詞命題.全稱量詞的否定1

全稱量詞命題：

?x∈M,p(x)

它的否定：

?x∈M,?p(x)

全稱量詞命題存在量詞命題否

定(1)所有能被３整除的整數(shù)都是奇數(shù)；(2)每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上；(3)對(duì)任意x∈Z，x2的個(gè)位數(shù)字不等于3.

寫出下列全稱量詞命題的否定：練一練(1)否定：存在一個(gè)能被３整除的整數(shù)不是奇數(shù);

(2)否定：存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上;(3)否定：存在x∈Z，x２的個(gè)位數(shù)字等于3.比較與感悟分析寫出下列命題的否定：

(1)存在一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；(2)有些平行四邊形是菱形；(3)?x∈R，x2-2x+3=０．它們與原命題在形式上有什么變化？(1)的否定:“不存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)”，

即

“所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)”；

(2)的否定：“沒有一個(gè)平行四邊形是菱形”，

即“

每一個(gè)平行四邊形都不是菱形”；

(3)的否定：“不存在x∈R，x2-2x+3=０”，

即“?x∈R,x2-2x+3≠０”原命題均為存在量詞命題，否定后全為全稱量詞命題.存在量詞的否定1

存在量詞命題：

?x∈M,p(x)

它的否定：

?x∈M,?p(x)

存在量詞命題全稱量詞命題否

定(1)?x∈R，x+2≤０；(2)有的三角形是等邊三角形；(3)有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)．

寫出下列存在量詞命題的否定：練一練(1)否定：?x∈R，x+2>０;

(2)否定：所有的三角形都不是等邊三角形;(3)否定：任意一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù).(原)?x∈R,x2-2x+3≠０；(否)?x∈R，x2-2x+3=０.(原)每一個(gè)平行四邊形都不是菱形；

(否)有些平行四邊形是菱形.比較與感悟結(jié)論(原)存在一個(gè)實(shí)數(shù)它的絕對(duì)值是正數(shù)；(否)所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù).真假真真假假對(duì)照以下各組命題及其否定的真假：

一個(gè)命題和它的否定不能同時(shí)為真命題，也不能同時(shí)為假命題，只能一真一假.關(guān)鍵詞大于小于是都是至少有三個(gè)至多有一個(gè)存在等于有否定不大于(小于等于)不小于(大于等于)不是不都是至多有兩個(gè)至少有兩個(gè)不存在不等于無自然語言中常見的否定詞思維易堵點(diǎn)A思維易堵點(diǎn)B疏通易堵點(diǎn)A舉例：①a是

，b是②a是，b不是③a不是，b是④a不是，b不是

都是

不都是

都不是集合A集合CUA否

定

A的否定：

.

命

題

A：自然數(shù)都是正整數(shù)；練一練疏通易堵點(diǎn)B舉例：歸納：命題A：至多有n個(gè)；A否定：

.(n∈N)061743258061743258

至少有三個(gè)

至多有兩個(gè)

至多有一個(gè)

至少有兩個(gè)

M

的否定：

.

命

題

M：集合B中至少有5個(gè)元素；練一練

N

的否定：

.

命

題

N：集合B中至多有5個(gè)元素；知識(shí)篇素養(yǎng)篇思維篇1.5.2全稱量詞與存在量詞的否定

提煉方法核心素養(yǎng)之

邏輯推理+數(shù)據(jù)分析正誤辨析

指出以下否定錯(cuò)在何處：

方法：

①?、?互換

②

否定結(jié)論

錯(cuò)解1：

存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x≥2；

錯(cuò)解2：

對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，都有x<2.

2.設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集.

若命題p:?x∈A，2x∈B，則p的否定為()

問題方法核心素養(yǎng)之

數(shù)據(jù)分析

+邏輯推理分

析

選（D）

原命題是全稱量詞命題，否定時(shí)量詞變?yōu)椤按嬖凇?，結(jié)論由“屬于”變?yōu)椤安粚儆凇?

全稱量詞命題否定的兩個(gè)方面：

①?、?互換②否定(原命題的)結(jié)論

(A)?a<0，關(guān)于x的方程x2+ax+1=0有實(shí)數(shù)解

(B)?a<0，關(guān)于x的方程x2+ax+1=0沒有實(shí)數(shù)解

(C)?a≥0，關(guān)于x的方程x2+ax+1=0沒有實(shí)數(shù)解

(D)?a≥0，關(guān)于x的方程x2+ax+1=0有實(shí)數(shù)解3.命題p:?a≥0，關(guān)于x的方程x2+ax+1=0有實(shí)數(shù)解，則p的否定為()問題方法核心素養(yǎng)之

數(shù)據(jù)分析

+邏輯推理分析

選C.

對(duì)全稱量詞命題加以否定時(shí)，只能否定原命題的結(jié)論，而不是否定原命題的條件.(A)、(B)兩選項(xiàng)將原命題的條件也加以否定了，故都不正確.

全稱量詞命題與存在量詞命題否定的兩個(gè)方面：

①?、?互換

②

否定(原命題的)結(jié)論

選C.練一練4.寫出下列命題的否定：?jiǎn)栴}方法核心素養(yǎng)之

數(shù)據(jù)分析

+邏輯推理分析(1)正數(shù)的立方根都是正數(shù)；(2)末位是0的整數(shù)可以被5整除.(1)這是一個(gè)省略了全稱量詞的命題；可以補(bǔ)充為：“所有正數(shù)的立方根都是正數(shù)”，故其否定為：存在正數(shù)x0,使得x03≤0.(2)這是一個(gè)省略了全稱量詞的命題；可以補(bǔ)充為：“所有末位是0的整數(shù)都可以被5整除”，故其否定為：存在末位是0的整數(shù)不可以被5整除.

有些全稱量詞命題，由于語言簡(jiǎn)省的原因，沒有出現(xiàn)量詞；在寫這樣命題的否定時(shí)，可以先將其補(bǔ)充完整，再寫否定.

(A)?x∈R，?n∈N*，使得n<2x+1(B)?x∈R，?n∈N*，使得n<2x+1

(C)?x∈R，?n∈N*，使得n<2x+1

(D)?x∈R，?n∈N*，使得n<2x+15.命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥2x+1”的否定為()

問題方法核心素養(yǎng)之

數(shù)據(jù)分析

+邏輯推理分析

選D.

對(duì)全稱量詞命題加以否定時(shí)，只能否定原命題的結(jié)論，而不是否定原命題的條件.(A)、(B)兩選項(xiàng)將原命題的條件也加以否定了，故都不正確.

全稱量詞命題與存在量詞命題否定的兩個(gè)方面：

①?、?互換

②

否定(原命題的)結(jié)論

(A)?x∈R,?n∈N*,使得n<x2(B)?x∈R,?n∈N*,使得n<x2(C)?x∈R,?n∈N*,使得n<x2(D)?x∈R,?n∈N*,使得n<x2

命題“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是()

選C.練一練知識(shí)篇素養(yǎng)篇思維篇1.5.2全稱量詞與存在量詞的否定

1.下列命題的否定為假命題的是()問題方法分析A．?x∈Z，1<4x<3B．?x∈Z，5x＋1＝0C．?x∈R，x2－1＝0D．?x∈R，x2＋3x＋2＝0

選D

已知命題的否定為假，則原命題為真；故只需從中選出真命題即可.選項(xiàng)A.B.C.均為假命題,D為真命題.

命題與命題的否定一真一假.知道其中一個(gè)的真假，也就知道了另一個(gè)的真假.數(shù)學(xué)思想之

轉(zhuǎn)化與化歸

2.寫出下列命題的否定：?jiǎn)栴}方法分析(1)a，b，c中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)；(2)?a，b∈R，方程ax2＋b＝0恰有一解.

(1)量詞“至少有一個(gè)”的否定是“至多有零個(gè)”，即“一個(gè)也沒

有”；故原命題的否定為：a，b，c全為非負(fù)數(shù)；

(2)量詞“恰有一解”的否定是“零個(gè)或至少兩個(gè)”；本題中方程

最高次也就二次，故原命題的否定為：

?a，b∈R，方程ax2＋b＝0無解或有兩解.

命題與命題的否定一真一假.知道其中一個(gè)的真假，也就知道了另一個(gè)的真假.

找命題所含內(nèi)容的反面，用到了補(bǔ)集思想.數(shù)學(xué)思想之

轉(zhuǎn)化與化歸+補(bǔ)集思想

問題方法

命題與命題的否定一真一假.根據(jù)其中之一的真假可知另一個(gè)的真假，為我們做進(jìn)一步的推理增添了一條路徑.分析

數(shù)學(xué)思想之

轉(zhuǎn)化與化歸+極端思想

問題方法數(shù)學(xué)思想之

轉(zhuǎn)化與化歸+極端思想

4.(1)若“?x∈[-1,m](m>-1),x>1”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范

圍是

.

(2)若“?x∈[-1,m](m>-1),x<1”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范

圍是

.分析

(1)“?x∈[-1,m](m>-1),x>1”是假命題，其否定：

“?x∈[-1,m](m>-1),x≤1”是真命題；所以，-1<m≤1

(2)“?x∈[-1,m](m>-1),x<1”是假命題，其否定：

“?x∈[-1,m](m>-1),x≥1”是真命題，所以，m≥1

原命題假，則其否定為真.（1）中原命題否定真，利用極端思想，區(qū)間內(nèi)的最大值m也小于等于1；（2）中原命題否定真，利用極端思想，只需區(qū)間內(nèi)的最大值m大于等于1即可.問題方法總結(jié)數(shù)學(xué)思想之

分類討論+極端思想

5.(1)若“?x∈R,y=ax2-4x+4>0恒成立”是真命題，則

實(shí)數(shù)a的