“數(shù)學(xué)”簡介、含義、起源、歷史與發(fā)展

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數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的，簡單地說，是研究數(shù)和形的科學(xué)。

由于生活和勞動(dòng)上的需求，即使是最原始的民族，也知道簡單的計(jì)數(shù)，并由用手指或?qū)嵨镉?jì)數(shù)發(fā)展到用數(shù)字計(jì)數(shù)。在中國，至遲在商代，即已出現(xiàn)用十進(jìn)制數(shù)字表示大數(shù)的方法；又至遲至秦漢之際，即已出現(xiàn)完滿的十進(jìn)位值制。在成書不遲于1世紀(jì)的《九章算術(shù)》中，已載有只有位值制才有可能的開平、立方的計(jì)算法則，并載有分?jǐn)?shù)的各種運(yùn)算以及解線性聯(lián)立方程組的方法，還引入了負(fù)數(shù)概念。劉徽在他注解的《九章算術(shù)》（3世紀(jì)）中，還提出過用十進(jìn)小數(shù)表示無理數(shù)平方根的奇零部分，但直至唐宋時(shí)期（歐洲則在16世紀(jì)S.斯蒂文以后）十進(jìn)小數(shù)才獲通用。在這本著作中，劉徽又用圓內(nèi)接正多邊形的周長逼近圓周長，成為后世求圓周率更精確值的一般方法。雖然中國從來沒有過無理數(shù)或?qū)崝?shù)的一般概念，但在實(shí)質(zhì)上，那時(shí)中國已完成了實(shí)數(shù)系統(tǒng)的一切運(yùn)算法則與方法，這不僅在應(yīng)用上不可缺，也為數(shù)學(xué)初期教育所不可少。至于繼承了巴比倫、埃及、希臘文化的歐洲地區(qū)，則偏重于數(shù)的性質(zhì)及這些性質(zhì)間的邏輯關(guān)系的研究。早在歐幾里得的《幾何原本》中，即有素?cái)?shù)的概念和素?cái)?shù)個(gè)數(shù)無窮及整數(shù)惟一分解等論斷。古希臘發(fā)現(xiàn)了有非分?jǐn)?shù)的數(shù)，即現(xiàn)稱的無理數(shù)。16世紀(jì)以來，由于解高次方程又出現(xiàn)了復(fù)數(shù)。在近代，數(shù)的概念更進(jìn)一步抽象化并依據(jù)數(shù)的不同運(yùn)算規(guī)律而對一般的數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行獨(dú)立的理論探討，形成數(shù)學(xué)中的若干不同分支。

開平方和開立方是解最簡單的高次方程。在《九章算術(shù)》中，已出現(xiàn)解某種特殊形式的二次方程。發(fā)展至宋元時(shí)代，引進(jìn)了“天元”(即未知數(shù))的明確觀念，出現(xiàn)了求高次方程數(shù)值解與求多至四個(gè)未知數(shù)的高次代數(shù)聯(lián)立方程組的解的方法，通稱為天元術(shù)與四元術(shù)。與之相伴出現(xiàn)的多項(xiàng)式的表達(dá)、運(yùn)算法則以及消去方法，已接近于近世的代數(shù)學(xué)。在中國以外，9世紀(jì)阿拉伯的花拉子米的著作闡述了二次方程的解法，通常被視為代數(shù)學(xué)的鼻祖，其解法實(shí)質(zhì)上與中國古代依賴于切割術(shù)的幾何方法具有同一風(fēng)格。中國古代數(shù)學(xué)致力于方程的具體求解，而導(dǎo)源于古希臘、埃及傳統(tǒng)的歐洲數(shù)學(xué)則不同，一般致力于探究方程解的性質(zhì)。16世紀(jì)時(shí)，F(xiàn).韋達(dá)以文字代替方程系數(shù)，引入了代數(shù)的符號演算。對代數(shù)方程解的性質(zhì)的探討，則從線性方程組導(dǎo)致行列式、矩陣、線性空間、線性變換等概念與理論的出現(xiàn)；從代數(shù)方程導(dǎo)致復(fù)數(shù)、對稱函數(shù)等概念的引入以至伽羅瓦理論與群論的創(chuàng)立。而近代極為活躍的代數(shù)幾何，則無非是高次聯(lián)立代數(shù)方程組解所構(gòu)成的集體的理論研究。

形的研究屬于幾何學(xué)的范疇。古代民族都具有形的簡單概念而往往以圖畫來表示，形之成為數(shù)學(xué)對象是由工具的制作與測量的要求所促成。規(guī)矩以作圓方，中國古代夏禹治水時(shí)即已有規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等測量工具?！赌?jīng)》中對一系列的幾何概念，有抽象概括，作出了科學(xué)的定義?！吨荀滤憬?jīng)》與劉徽《海島算經(jīng)》給出了用矩觀天測地的一般方法與具體公式。在《九章算術(shù)》及劉徽注解的《九章算術(shù)》中，除勾股理論外，還提出了若干一般原理以解多種問題。例如出入相補(bǔ)原理以求任意多邊形面積；陽馬鱉臑的二比一原理（劉徽原理）以求多面體的體積;5世紀(jì)祖暅提出“冪勢既同則積不容異”的原理以求曲形體積特別是球的體積；還有以內(nèi)接正多邊形逼近圓周長的極限方法(割圓術(shù))。但自五代（約10世紀(jì)）以后，中國在幾何學(xué)方面的建樹不多。中國幾何學(xué)以測量與面積體積的量度為中心，古希臘的傳統(tǒng)則重視形的性質(zhì)與各種性質(zhì)間的相互關(guān)系。歐幾里得的《幾何原本》，建立了用定義、公理、定理、證明構(gòu)成的演繹體系，成為近代數(shù)學(xué)公理化的楷模，影響及于整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展。特別是平行公理的研究，導(dǎo)致了19世紀(jì)非歐幾里得幾何學(xué)的產(chǎn)生。歐洲自文藝復(fù)興時(shí)期起出現(xiàn)了射影幾何學(xué)。18世紀(jì)，G.蒙日應(yīng)用分析方法于形的研究，開微分幾何學(xué)的先河。C.F.高斯的曲面論與（G.F.）B.黎曼的流形理論開創(chuàng)了脫離周圍空間以形作為獨(dú)立對象的研究方法；19世紀(jì)（C.）F.克萊因以群的觀點(diǎn)對幾何學(xué)進(jìn)行統(tǒng)一處理。此外，如G.（F.P.）康托爾的點(diǎn)集理論擴(kuò)大了形的范圍；（J.-）H.龐加萊創(chuàng)立了拓?fù)鋵W(xué)，使形的連續(xù)性成為幾何研究的對象。這些都使幾何學(xué)面目一新。

在現(xiàn)實(shí)世界中，數(shù)與形，如影之隨形，難以分割。中國的古代數(shù)學(xué)反映了這一客觀實(shí)際，數(shù)與形從來就是相輔相成，并行發(fā)展的。例如勾股測量提出了開平方的要求，而開平、立方的方法又奠基于幾何圖形的考慮。二次、三次方程的產(chǎn)生，也大都來自幾何與實(shí)際問題。至宋元時(shí)代，由于天元與相當(dāng)于多項(xiàng)式概念的引入，出現(xiàn)了幾何代數(shù)化。在天文與地理中的星表與地圖的繪制，已用數(shù)來表示地點(diǎn)，不過并未發(fā)展到坐標(biāo)幾何的地步。在歐洲，14世紀(jì)N.奧爾斯姆的著作中已有關(guān)于經(jīng)緯度與函數(shù)圖形表示的萌芽，而17世紀(jì)R.笛卡兒提出了系統(tǒng)的把幾何事物用代數(shù)表示的方法及其應(yīng)用，在其啟迪之下，經(jīng)G.W.萊布尼茨、I.牛頓等的工作，發(fā)展成了現(xiàn)代形式的坐標(biāo)制解析幾何學(xué)，使數(shù)與形的統(tǒng)一更臻完美，不僅改變了幾何證題過去遵循歐幾里得幾何的老方法，還引起了導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生，成為微積分學(xué)產(chǎn)生的根源。這是數(shù)學(xué)史上的一件大事。在20世紀(jì)中，由于科學(xué)與技術(shù)上的要求促使數(shù)學(xué)家們研究運(yùn)動(dòng)與變化，包括量的變化與形的變換(如投影)，還產(chǎn)生了函數(shù)概念和無窮小分析即現(xiàn)在的微積分，使數(shù)學(xué)從此進(jìn)入了一個(gè)研究變量的新時(shí)代。18世紀(jì)以來，以解析幾何與微積分這兩個(gè)有力工具的創(chuàng)立為契機(jī)，數(shù)學(xué)以空前的規(guī)模迅猛發(fā)展，出現(xiàn)了無數(shù)分支。由于自然界的客觀規(guī)律大多是以微分方程的形式表現(xiàn)的，微分方程的研究一開始就受到重視。微分幾何基本上與微積分同時(shí)誕生，高斯與黎曼的工作又產(chǎn)生了內(nèi)在的現(xiàn)代微分幾何。19、20世紀(jì)之交，龐加萊創(chuàng)立了拓?fù)鋵W(xué)，開辟了對連續(xù)現(xiàn)象進(jìn)行定性與整體研究的途徑。對客觀世界中隨機(jī)現(xiàn)象的分析，產(chǎn)生了概率論。第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要以及大工業(yè)與管理的復(fù)雜化產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)、系統(tǒng)論、信息論、控制理論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)等學(xué)科。實(shí)際問題要求具體的數(shù)值解答，產(chǎn)生了計(jì)算數(shù)學(xué)。選擇最優(yōu)途徑的要求又產(chǎn)生了各種優(yōu)化的理論、方法。力學(xué)、物理學(xué)同數(shù)學(xué)的發(fā)展始終是互相影響互相促進(jìn)的，特別是相對論與量子力學(xué)推動(dòng)了微分幾何與泛函分析的成長。此外在19世紀(jì)還只用到一次方程的化學(xué)和幾乎與數(shù)學(xué)無緣的生物學(xué)，都已要用到最前沿的一些高深數(shù)學(xué)。19世紀(jì)后期，出現(xiàn)了集合論，還進(jìn)入了一個(gè)批判性的時(shí)代，由此推動(dòng)了數(shù)理邏輯的形成與發(fā)展。也產(chǎn)生了把數(shù)學(xué)看作一個(gè)整體的各種思潮和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)派。特別是1900年D.希爾伯特關(guān)于當(dāng)代數(shù)學(xué)重要問題的演講，以及30年代開拓以結(jié)構(gòu)概念統(tǒng)觀數(shù)學(xué)的法國布爾巴基學(xué)派的興起，對20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響至深且巨?？茖W(xué)的數(shù)學(xué)化一語也往往為人們所樂道。數(shù)學(xué)的外圍向自然科學(xué)、工程技術(shù)甚至社會(huì)科學(xué)不斷滲透擴(kuò)大并從中吸取營養(yǎng)，出現(xiàn)了一些邊緣數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)本身的內(nèi)部需要也孳生了不少新的理論與分支。同時(shí)其核心部分也在不斷鞏固提高并有時(shí)作適當(dāng)調(diào)整以適應(yīng)外部需要。總之，數(shù)學(xué)這棵大樹茁壯成長，既枝葉繁茂又根深蒂固。本卷詳細(xì)地介紹了數(shù)學(xué)的各個(gè)分支與各種流派。

在數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展過程中，數(shù)與形的概念不斷擴(kuò)大，日趨抽象化，以至于不再有任何原始計(jì)數(shù)與簡單圖形的蹤影。雖然如此，在新的數(shù)學(xué)分支中仍有著一些對象和運(yùn)算關(guān)系借助于幾何術(shù)語來表示。如把函數(shù)看成是某種空間的一個(gè)點(diǎn)之類。這種做法之所以行之有效，歸根結(jié)蒂還是因?yàn)閿?shù)學(xué)家們已經(jīng)熟悉了那種簡易的數(shù)學(xué)運(yùn)算與圖形關(guān)系。而后者又有著長期深厚的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)。而且，即使是最原始的數(shù)字如1、2、3、4，以及幾何形象如點(diǎn)與直線，也已經(jīng)是經(jīng)過人們高度抽象化了的概念。因此，如果把數(shù)與形作為廣義的抽象概念來理解，則前面提到的把數(shù)學(xué)作為研究數(shù)與形的科學(xué)這一定義，對于現(xiàn)階段的近代數(shù)學(xué)，也是適用的。

由于數(shù)學(xué)研究對象的數(shù)量關(guān)系與空間形式都來自現(xiàn)實(shí)世界，因而數(shù)學(xué)盡管在形式上具有高度的抽象性，而實(shí)質(zhì)上總是扎根于現(xiàn)實(shí)世界。生活實(shí)踐與技術(shù)需要始終是數(shù)學(xué)的真正源泉，反過來，數(shù)學(xué)對改造世界的實(shí)踐又起著重要的、關(guān)鍵的作用。理論上的豐富提高與應(yīng)用的廣泛深入在數(shù)學(xué)史上始終相伴相生，相互促進(jìn)。但由于各民族各地區(qū)的客觀條件不同，數(shù)學(xué)的具體發(fā)展過程是有差異的。大體說來，古代中華民族以竹為籌，以籌運(yùn)算，自然地導(dǎo)致十進(jìn)位值制的產(chǎn)生。計(jì)算方法的優(yōu)越有助于對實(shí)際問題的具體解決。由此發(fā)展起來的數(shù)學(xué)形成了一個(gè)以構(gòu)造性、計(jì)算性、程序化與機(jī)械化為其特色，以從問題出發(fā)進(jìn)而解決問題為主要目標(biāo)的獨(dú)特體系。而在古希臘則著重思維，追求對宇宙的了解。由此發(fā)展成以抽象了的數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)及其相互間的邏輯依存關(guān)系為研究對象的公