05 06級振動力學試題

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦0506級振動力學試題2022級《振動力學》課程試題（A卷）

(工程力學05，平安工程05級)

（參考答案及評分標準）

合分人：復查人：

一、平常成果：（共30分）

分數(shù)

評卷人

二、基本概念與容易計算題：（共50分）

分數(shù)

評卷人

1．（5分）某粘滯阻尼振動系統(tǒng)，8個振動周期后振幅由10mm減為1mm，求

阻尼比。解：對數(shù)衰減率01

lnnXnXδ

??=

???110ln81??=???1

ln108

=………………..（3分）

而2

21πξδ

ξ

=

-，則阻尼比2

2

4δ

ξ

π

δ

=

+＝0.046……（2分）

2.（10分）求圖示系統(tǒng)微幅振動的微分方程和固有頻率。已知l、k、m、c、F。

不計水平桿的質(zhì)量。解：方程

493mlclklFθ

θθ=--+

…………….（6分）

固有頻率

題號一二三總分分數(shù)

題二.2圖

m

c

k

Fl

ll

3

nkm

ω=………………….（4分）

或2

2

2194dnmkc

m

ωωξ

=-=-……….（4分）

3.（10分）求單自由度無阻尼標準m-k振動系統(tǒng)在圖示干擾力作用下的零初值

響應。

解：干擾力0

00

10()0

tFttFtttt?

??-≤≤??

=?

?

??>?….（2分）

000

01

()(1cos)sin0nnnn

Fxttttttttωωωω??=

--+≤≤???

………..（4分）

0000

01

()cos[sin()sin]nnn

nn

Fxtttttttttωωωωω??=-

+-->???

……..（4分）

4.（15分）圖示系統(tǒng)，均質(zhì)桿

長為l質(zhì)量為m，上端由鉸鏈懸掛，下端用彈性系數(shù)為k1和k2的彈簧與光潔水平面上的質(zhì)量m1和m2相連處于自然平衡狀態(tài)。（1）建立系統(tǒng)的微振動微分方程。（2）寫出頻率方程（可以不求出固有頻率）

解：（1）1

12

2213mxml

x

mθ?????

???

?

????????????

?1112

1122222022()02

00kkl

x

klkklmgl

klxkl

kθ-??

??????????

??+-++

-=????????????????-?

?

.（10分）

題二、3圖

F(t)

F0

t0

t

題二、4圖

（2）頻率方程……………（5分）5.（10分）左端固定，右端自由的勻稱桿，長度為l，軸向拉壓剛度為EA，單

位長度桿的質(zhì)量為m，軸向位移用u表示，軸向力用P表示。求桿縱向振動（一維波動方程）的固有頻率與固有振型。解：一維波動方程：

2

2(,)uxtx

??2

2

2

1(,)uxta

t

?=

?，0?-??

…..【4分】

題二.2圖

m

c

k

Fl

ll

題二、3圖

F(t)

F0t1

t

t2

4.（15分）三自由度線性阻尼振動系統(tǒng)，質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓盤繞固定軸轉(zhuǎn)動，

其它參數(shù)如圖所示。

（1）以x1、x3和θ為廣義坐標建立系統(tǒng)的微振動微分方程；（2）寫出頻率方程（不必求出固有頻率）。

解：（1）【10分】利用動力學定律。設(shè)平衡時彈簧靜變形為δ1、δ2、δ3，則

1111112211()()sin30mxkxcxkxrmgδδθ=+--?

222213331()()2

mrkxrrkxrr

θδθδθ=++

333333()mxkxrmg

δθ=-+-

而：33

3223311221,,sin30kmgkrkrkkmgδδδδδ===+?

則：1

1

1112

22

2

2223333332300000010

0000()0200

00000

mxxxckkkrmrkr

kkrkrkr

kx

xxmθθθ??????+-??????

?????????????

?????++-+-=????????

??

?

?

??????????????-?????

???

???????

?

題二、4圖

30°

c

k1

（2）2[][]

0nKMω-=，即：

2

12122

2

2

223232

3330

1()0

2

n

n

n

kkmkr

krkkrmrkrkr

kmωωω++-

-=--

綻開即可?！?分】

5.（10分）設(shè)勻稱梁長度為l，橫截面積為A，彎曲剛度為EI，質(zhì)量密度為ρ，

撓度用u表示。求梁兩端簡支時的橫向振動固有頻率與固有振型（可以直接利用微振動方程及振型函數(shù)的通解，不必推導）。解：振動方程

2

4

2

24

uua

t

x

??+=??，EI

aA

ρ=

【1分】

振型函數(shù)通解1234()sincossinhcoshxCxCxCxCxΦββββ=+++，24

2

a

ωβ=

【2分】

邊界條件(0,)(,)0utult==，2

2

2

2

(,)(,)0

xxl

uxtuxtEI

EI

x

x

==??==??【2分】

即(0)()0lΦΦ==，(0)()0lΦΦ''''==【1分】代入求得2

340

CCC===

則1()sinxCxΦβ=特征方程sin0lβ=，(1,2,)iiil

πβ=

=

固有頻率2

2

2

()

i

i

EIiaAl

πωβ

ρ==

【2分】

振型函數(shù)11()sinsin,

(1,2,)

iiixCxCxilπΦβ===【2分】

三、綜合題：（共20分）

分數(shù)

評卷人

圖示標準m-k振動系統(tǒng)，設(shè)m1＝m，m2＝2m，k1＝k，k2＝2k，k3＝3k；干擾力0()sinFtFtω=;初始條件

t＝0時01020xx=＝，010x

=，021x＝。用正則坐標（標準坐標）變換辦法求系統(tǒng)的響應。解：（1）方程

0[]0

2mMm??

=?

???

，32[]25kkKk

k-??

=??-??

，0sin{()}0FtFtω??=????

（2）固有頻率和振型

2

111334

k

m

ω-

=

，2211334

k

m

ω+

=

；

(1)

11{}1330.84318X??

????==????+?

?????

，(2)

11{}1330.59318X

??

????==????--?

?????

（3）正則振型矩陣主質(zhì)量：(1)

{1}

13333

{}[]{}2.421516TMX

MX

mm+==

=，

(2)

{2}

23333

{}[]{}1.703516

TMX

MX

mm-==

=

正則振型矩陣：0.6426

0.76621[]0.54180.4544mφ??

=?

?-??

（4）初始條件正則化

00{}[][]{}{0

0}T

T

NZMxφ==,

0{}[][]{}2{0.54180.4544}TT

NZMxmφ==-

（5）正則初始激勵響應

10

1101111

cossinsinNNNZmZZtttk

ωωωω=+

＝0.9454

，

題三圖

F(t)

20

2202222

cossinsinNNNZmZZtttk

ωωωω=+

＝-0.4442

（6）廣義坐標初始激勵響應

{}[]{}Nxqφ==

12sin0.6426

0.766210.5418

0.4544sinmtkm

mtkωω??

?????????

?

-????????

0.9454-0.4442＝

12120.6075sin0.3403sin0.5122sin0.2022sinttmttkωωωω-????+??

（7）對激勵正則化:{()}[]{()}TZFtFtφ=＝000.6426sin10.7662sinFtFtmωω