教育統(tǒng)計與測量

教育統(tǒng)計與測量傅亞強(qiáng)PAGEPAGE1教育統(tǒng)計與測量傅亞強(qiáng)杭州師范學(xué)院教育學(xué)院2013.7

引言一、統(tǒng)計課的意義我這門統(tǒng)計課就是一門可以直接轉(zhuǎn)化為技能的課程。你們應(yīng)該在今后的學(xué)習(xí)工作中有意識地應(yīng)用這門課上所講到的各種方法。多元評價的需要；發(fā)展性評價的需要；教師評價的需要；因果探尋的需要；二、統(tǒng)計是干什么的？1、統(tǒng)計有點難學(xué)！僅憑講解或者練習(xí)還很難真正理解其中的原理，只有在實際應(yīng)用當(dāng)中才能做到這一點。2、統(tǒng)計的功能：數(shù)據(jù)的分析。（1）潛能班，即分層教學(xué)：是否有效提高問題學(xué)生的成績。（2）CAI對教學(xué)效果、學(xué)生的能力培養(yǎng)有沒有促進(jìn)作用？是否會導(dǎo)致信息超載？是否會限制師生的發(fā)散思維？（3）《基礎(chǔ)教育課程改革綱要》中強(qiáng)調(diào)對學(xué)生的“發(fā)展性評價”：促進(jìn)發(fā)展必須建立在對已有經(jīng)歷的總結(jié)上。（4）研究性學(xué)習(xí)：小發(fā)明、小作品、小游戲、創(chuàng)造性思維、自學(xué)能力、探究能力。3、從以上例子中可以看出我們搜集的數(shù)據(jù)具有一個共同的特點：隨機(jī)性，即同一個人觀察同一對象時，不同時間觀察結(jié)果不同；不同人同一時間觀察同一對象時也會得到不同結(jié)果。4、對隨機(jī)現(xiàn)象的探索，涉及一個最基本的統(tǒng)計學(xué)思想，這一思想是這門課程應(yīng)該學(xué)到的最重要內(nèi)容之一：總體中抽樣→屬性量化→統(tǒng)計整理→推論總體特征（差異、發(fā)展趨勢）拿到數(shù)據(jù)如何選擇正確的統(tǒng)計方法依據(jù)上述思路，我們可以紛繁復(fù)雜的數(shù)據(jù)中找到規(guī)律。5、統(tǒng)計學(xué)中我們會學(xué)到常用的統(tǒng)計方法，其它的只能靠大家自學(xué)。但了解一個一個的方法還不是主要的學(xué)習(xí)目的，重要的領(lǐng)會何時何地使用何種方法：相關(guān)系數(shù)描述一組數(shù)所的全貌，目的在于將大量零散雜亂無序的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、歸納、簡化、概括，使事物的全貌明確清晰地表現(xiàn)出來。3、推斷統(tǒng)計（學(xué)習(xí)重點）通過局部數(shù)據(jù)（樣本）所提供的信息，推論總體的情況。比如要分析一下本校學(xué)生的心理健康情況，總不可能讓全校學(xué)生都來測一遍，所以要挑一小部分學(xué)生－樣本，測量他們的心理健康水平，這樣就有一個根據(jù)這一部分人的數(shù)據(jù)推測全校學(xué)生－總體的心理健康情況的問題。包括總體參數(shù)特征值估計、假設(shè)檢驗等內(nèi)容。如：由樣本平均數(shù)推斷總體平均數(shù)，由樣本標(biāo)準(zhǔn)差推斷總體標(biāo)準(zhǔn)差。一中二中焦慮水平測驗（50）7886注意：推論的正確率。這兩組數(shù)據(jù)是隨機(jī)的，是樣本。樣本平均數(shù)據(jù)數(shù)不能說明兩者之間的差異。不能說二中的比一中焦慮。t檢驗方差分析4、以上三方面的關(guān)系（1）實驗設(shè)計是基礎(chǔ)，描述統(tǒng)計和推論統(tǒng)計都要在良好的實驗設(shè)計基礎(chǔ)及其所提供的真實的數(shù)據(jù)之上；（2）描述統(tǒng)計是推論統(tǒng)計的基礎(chǔ)；（3）實驗設(shè)計必須以統(tǒng)計原理為依據(jù)，必須符合統(tǒng)計原理和考慮統(tǒng)計方法的可行性。第二節(jié)幾個基本概念一、隨機(jī)變量1、隨機(jī)現(xiàn)象在相同條件下，進(jìn)行實驗或觀察，其結(jié)果可能不止一個，事先無法確定，這類現(xiàn)象稱為隨象現(xiàn)象。先舉例：拋硬幣實驗（1）一次試驗有多種結(jié)果，其所有可能的結(jié)果是已知的；（2）試驗之前不能預(yù)料哪一種結(jié)果會出現(xiàn)；（3）在相同的條件下可以重復(fù)試驗。2、隨機(jī)現(xiàn)象的每一種結(jié)果叫基本隨機(jī)事件摸獎：一口袋中有6只球，其中4只白球，2只紅球，從袋中取先后取兩次，每次取一只球（放回抽樣），可能的基本事件有36種。3、在統(tǒng)計學(xué)上把隨機(jī)現(xiàn)象稱為：變量、隨機(jī)變量，用大寫字母表示，如身高用X表示，語文考試成績用Y表示。變量：數(shù)量或質(zhì)量上可變的事物屬性自變量：由實驗者操縱的、對實驗對象的反應(yīng)產(chǎn)生影響的變量。因變量：實驗對象的某種反應(yīng)。如父母親的智力對孩子的影響，父母的智力就是自變量，孩子的影響就是因變量例：大學(xué)生心理健康狀況調(diào)查，復(fù)習(xí)時間安排對學(xué)習(xí)成績的影響4、隨機(jī)事件稱之為變量的取值，用X1，X2，X3，……，Xn表示。隨機(jī)變量5、在對隨機(jī)變量的研究中，可以許多的規(guī)律：（1）隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果雖然不可預(yù)知，但其中有一個規(guī)律：即每個結(jié)果都以50%的等概率出現(xiàn)。（2）智力隨年齡的變化規(guī)律，散點圖。（3）語文成績與英語成績，散點圖。（4）智力的概率分布二、總體和樣本1、總體：具有某種特性的研究對象的個體總和。通過地域、年齡、職業(yè)、性別等維度定義一個總體。有限總體和無限總體。如《沿海開放地區(qū)小學(xué)生品德的性別差異》。本研究范圍內(nèi)，杭州什么區(qū)以什么學(xué)校為例。在什么范圍內(nèi)而談2、個體：構(gòu)成總體的每一個基本元素，不一定是人，如：產(chǎn)品質(zhì)量抽查，題庫質(zhì)量分析。3、樣本：從總體中抽取的作為觀察對象的一部分個體。4、樣本容量：樣本中所包含的個體數(shù)目，N表示。N≤30，小樣本；N>30，大樣本。如：問卷調(diào)查300個三、統(tǒng)計量和參數(shù)統(tǒng)計量相對樣本而言，是描述樣本的各種特征的數(shù)量參數(shù)相對總體而言，是總體的各種特征的數(shù)量。一般情況下，我們通過分析統(tǒng)計量來對總體參數(shù)作出推論。

第二章數(shù)據(jù)的初步整理第一節(jié)數(shù)據(jù)的來源、種類用其分類統(tǒng)計是為了說明總體的屬性、特征，或是兩個或兩個以上總體在某些屬性上的差異。這些屬性或其差異的說明最好只用簡單的數(shù)字或簡單的幾句話。比如：升學(xué)率、及格率，配戴眼鏡率、平均成績、成績分布情況、兩個班或兩個學(xué)校的成績是否有顯著差異、學(xué)生的成績在不同時期的波動情況，上升、下降、起伏不定，而這些簡單的結(jié)論是在對大量原始數(shù)據(jù)的整理基礎(chǔ)上獲得的。因此，統(tǒng)計工作的第一步是搜集數(shù)據(jù)，即對客觀事物進(jìn)行量分的過程。這一過程要堅持實事求是，不能隨意更改數(shù)據(jù)。在統(tǒng)計分析過程中亦是如此。獲得數(shù)據(jù)的能力也是綜合素質(zhì)的重要組成部分，在研究目標(biāo)的指引下，平時要收集數(shù)據(jù)。教育實驗一、教育統(tǒng)計資料來源1、什么是數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)是隨機(jī)變量的觀察值，它是用來描述對客觀事物觀察測量結(jié)果的數(shù)值。舉例：拋硬幣實驗的結(jié)果，考試成績結(jié)果。2、經(jīng)常性資料：日常工作記錄和統(tǒng)計報表，如師生檔案，工資表，成績表，綜合素質(zhì)考核表，業(yè)績表。3、專題性資料（1）教育調(diào)查：在沒有預(yù)定因子、不施行控制的條件下，對現(xiàn)成的教育方面有關(guān)客事實所進(jìn)行的觀察和分析?，F(xiàn)情調(diào)查：對當(dāng)前正在發(fā)生的事情或存在事物進(jìn)行調(diào)查，如教師學(xué)歷的調(diào)查?；仡櫿{(diào)查：調(diào)查過去發(fā)生過和事情或現(xiàn)在已不存在的事物，如青少年犯罪原因調(diào)查。追蹤調(diào)查：在今后的一段時間內(nèi)調(diào)查對象的發(fā)展過程。實施教改后學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)行為的變化。（2）教育與心理測量：測驗內(nèi)容、程序、環(huán)境、評分記分、分?jǐn)?shù)解釋都有嚴(yán)格的規(guī)定。如智力測驗、人格測驗。大學(xué)生焦慮發(fā)展趨勢及其誘因變化，焦慮的誘因有學(xué)習(xí)、未來的工作、談朋友。小學(xué)生焦慮發(fā)展趨勢及其誘因變化，焦慮的誘因有學(xué)習(xí)、上輔導(dǎo)班、父母吵架、老師批評、同伴爭吵。（3）教育實驗：在給實驗對象施加預(yù)定控制因子的影響的條件下，對教育方面的事實進(jìn)行觀察和分析。A、被試間設(shè)計例1圖被試間設(shè)計B、被試內(nèi)設(shè)計例1一個班學(xué)生在某學(xué)期施行了語文閱讀教學(xué)改革，學(xué)期初與學(xué)期末分別進(jìn)行了一次閱讀理解測驗，通過比較前后測成績的變化，可以判斷這次教學(xué)改革的效果。例2處理張三李四王五趙六紙張文本閱讀1212電子文本閱讀2121二、數(shù)據(jù)的種類——選擇不同統(tǒng)計方法的依據(jù)1、按來源來分（1）點計數(shù)據(jù)：如人數(shù)，班級數(shù)，男女?dāng)?shù)等。數(shù)人數(shù)的，班級幾人，及格幾人，優(yōu)秀幾人，（2）度量數(shù)據(jù)：借助于一定的測量工具或一定的測量標(biāo)準(zhǔn)而獲得的，如17.2厘米、58千克、19℃測量工具如尺子，天平。比率數(shù)據(jù)：有絕對零點和等距單位，如身高、體重，反應(yīng)時，感覺閾值等，差、倍數(shù)有意義。（從零點定義的角度來理解）等距數(shù)據(jù)：等距，但無絕對零點，如溫度，各種能力測驗分?jǐn)?shù)等，倍數(shù)無意義，只有差有意義。順序數(shù)據(jù)：既不等距，也無絕對零點，如等級定，喜愛等級，品質(zhì)等級等。如第一名、第二名如考試成績。順序數(shù)據(jù)是不能進(jìn)行任何的加減乘除的（3）稱名數(shù)據(jù)：反映事物在組別、種類上的不同。不說明事物之間的數(shù)量差異，中按事物的性質(zhì)不同，將被觀測事物物加以劃分。如：令男為1、女為0；職稱：高級2、中級1、初級0。0、1沒有任何數(shù)量上意義，只是標(biāo)記2、按取值情況來分：（1）間斷型隨機(jī)變量數(shù)據(jù)――離散數(shù)據(jù)：單位不能再劃分成更小的單位，一般取整數(shù)，如計數(shù)、順級數(shù)據(jù)。電阻箱。（2）連續(xù)性隨機(jī)變量數(shù)據(jù)――連續(xù)數(shù)據(jù)，單位可劃分無限細(xì)小的單位，如等距數(shù)據(jù)，比率數(shù)據(jù)。滑動變阻器。三、數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分類（分組）數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分類，是指按照研究對象的本質(zhì)特征，根據(jù)分析研究的目的、任務(wù)，以及統(tǒng)計分析時所用統(tǒng)計方法的可能性，將所獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行分組歸類。如：將成績分成男生成績和女生成績，將作文成績分成優(yōu)、良中、差；將健康狀況分成好、中、差；按實驗處理不同分組。1、關(guān)鍵點：分類的標(biāo)志，如：心理健康水平，考試成績。要求：明確、前后一致、能將全部數(shù)據(jù)包含在內(nèi)、依據(jù)對象的本質(zhì)屬性、依據(jù)研究目的、依據(jù)統(tǒng)計方法2、分類的標(biāo)志可分為：性質(zhì)類別：按事物的不同性質(zhì)進(jìn)行分類，如性別，實驗組數(shù)據(jù)和對照組數(shù)據(jù)。數(shù)量類別：按數(shù)值大小來分組，如成績分布。例：《學(xué)生網(wǎng)絡(luò)問題調(diào)查》問題：我認(rèn)為“黑客”很能干，我很羨慕他們?；ヂ?lián)網(wǎng)比現(xiàn)實生活更具有真實性。我常常為不能控制上網(wǎng)次數(shù)而懊惱。上網(wǎng)時我會冒充其他人?？荚嚥患案窈?，我傾向于上網(wǎng)向網(wǎng)友傾述當(dāng)我已經(jīng)在線很久時，對自己說“在玩一分鐘”。分組依據(jù)：性別年級地區(qū)家庭經(jīng)濟(jì)狀況父母職業(yè)家庭教養(yǎng)方式

第三章集中量根據(jù)次數(shù)分布來分析集中量。經(jīng)過歸組、列表、繪圖等初步整理工作，數(shù)據(jù)分布的面貌、數(shù)據(jù)特征、集中情況差異情況和一些基本特征已經(jīng)反映出來了。但是如果要對這批變量所蘊(yùn)含的規(guī)律性作更進(jìn)一步的推論和更精確的了解，需要計算出一些有代表性的數(shù)據(jù)。集中量就是其中之一。它描述一組數(shù)據(jù)的中心“位置”，反映它們向某一點集中的情況。最常用的集中量就是平均數(shù)。物理：多次測量、求其平均數(shù)。組中值的作用：代表一分組中的若干原始數(shù)據(jù)。第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù)的概念1、定義：算術(shù)平均數(shù)是所有觀察值的總和除以總頻數(shù)所得之商，又稱均數(shù)、均值。用表示。公式：二、算術(shù)平均數(shù)的應(yīng)用及其優(yōu)缺點1、受抽樣變動的影響較小2、易受極端值的影響3、單位不同的數(shù)據(jù)不能計算算術(shù)平均數(shù)★算術(shù)平均數(shù)是數(shù)軸上的一個點這個點就是測量的零點第二節(jié)中位數(shù)一、中位數(shù)的概念中位數(shù)，簡稱中數(shù)，是位于一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中央位置的數(shù)值，在這一數(shù)值上下各有一半頻數(shù)分布，用Md表示。二、中位數(shù)的計算方法1、根據(jù)原始數(shù)據(jù)計算無相同觀察值的情況（1）若總頻數(shù)為奇數(shù)，就以位于中間的數(shù)據(jù)作為中位數(shù)；eg:3，5，7，8，9，11，14（2）若總頻數(shù)為偶數(shù)，則以最中間的兩個數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)作為中位數(shù)。eg:17，15，14，12，11，10，9，6從上例中可以看出，中數(shù)可以是原始數(shù)據(jù)中的數(shù)，也可以不是原始數(shù)據(jù)中的一個數(shù)。有相同數(shù)據(jù)的情況：見張P64。二、中位數(shù)的應(yīng)用及其優(yōu)缺點1、等級數(shù)據(jù)的集中量應(yīng)用中位數(shù)計算極少受兩極端數(shù)據(jù)的影響。第三節(jié)加權(quán)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)一、加權(quán)平均數(shù)在多元評價中起到作用加權(quán)平均數(shù)是不同比重數(shù)據(jù)（或平均數(shù)）的平均數(shù)，用表示。使用它是為了有意突出某些數(shù)據(jù)的重要性。公式：eg:P47期末考試60%56作業(yè)30%80平時10%90總評67教學(xué)50%80%10%60%學(xué)生管理30%1010%30%科研20%1080%10%教學(xué)型高校中學(xué)科研型高效小學(xué)學(xué)生的評價指標(biāo)：心理健康、成績、品德、體育、藝術(shù)、社會實踐二、幾何平均數(shù)當(dāng)一個數(shù)列的后一個數(shù)據(jù)是以前一個數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)成比率增長時，要用幾何平均數(shù)求均增長率，常用幾何平均數(shù)，而不能用算術(shù)平均數(shù)。如入學(xué)兒童數(shù)量增長比率，學(xué)校費增加率、教師工資增加率、閱讀能力進(jìn)步率等。用表示。公式：X為倍數(shù)??！用對數(shù)計算上述公式。eg:P48三、調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，亦稱倒數(shù)平均數(shù)，用表示。調(diào)和平均數(shù)主要用于求平均的工作速度。如計算速度、識字速度。公式：eg:P50聯(lián)想詞數(shù)時間132分133分132.5分

第四章差異量13億人口與80萬億存款。差異量的定義：表示一組數(shù)據(jù)變異程度或離散程度。Eg:甲組：54637274828899乙組：67717376798284差異量越大，表示數(shù)據(jù)數(shù)值的分布范圍越廣，越不整齊，集中量的代表性越差；差異量越小表示數(shù)據(jù)數(shù)值越相互接近，變動范圍越小，集中量的代表性越好。第一節(jié)全距與平均差一、全距1、一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，又稱極差，用“R”(rang)表示。如上例中：R甲=45、R乙=17。2、某組數(shù)據(jù)已轉(zhuǎn)為頻數(shù)表，那么根據(jù)頻次表得到該組數(shù)據(jù)的全距的方法是：最大一組與最小組的組中值之差，或最大一組上限與最小一組下限之差。第二節(jié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差一、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念樣本方差的定義：一組數(shù)據(jù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)，用表示。樣本方差公式：可用算術(shù)平均數(shù)和平均差的計算公式導(dǎo)出。3、樣本標(biāo)準(zhǔn)差是指樣本方差的平方根，用表示。4、注意：方差的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方。標(biāo)準(zhǔn)差的單位是原始數(shù)據(jù)單位。5、總體方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差：二、計算方法1、用原始數(shù)據(jù)計算原始數(shù)據(jù)Xi：8387818688Xi-：離均差-22-413（Xi-）2441619Σ（Xi-）2平方和34方差34/5=6.8標(biāo)準(zhǔn)差2.61標(biāo)準(zhǔn)差是數(shù)軸上的一段距離：若X=92，它離平均有幾個標(biāo)準(zhǔn)差？標(biāo)準(zhǔn)差是2三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用及其缺點：方差和標(biāo)準(zhǔn)差的優(yōu)點：（1）反應(yīng)靈敏，隨任何一個數(shù)據(jù)的變化而變化；（2）嚴(yán)密確定，一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差有確定的值；（3）計算簡單，而且可以將幾個方差和標(biāo)準(zhǔn)差綜合成一個總的方差和標(biāo)準(zhǔn)差；（4）用樣本數(shù)據(jù)推斷總體差異量時，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是最好的估計量。2、與其它差異量相比，方差和標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)用最為廣泛。當(dāng)描述一組數(shù)據(jù)的集中程度用算術(shù)平均數(shù)表示時，它的離散程度應(yīng)該用方差或標(biāo)準(zhǔn)差表示。除此之外，在計算其它統(tǒng)計量時，如差異系數(shù)、相關(guān)系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，也都要用到標(biāo)準(zhǔn)差。而方差在統(tǒng)計檢驗和推斷中常常會用到。問：（1）一個班的某門考試成績標(biāo)準(zhǔn)差很大，說明什么？大了好，還是小了好？（2）一項競賽的成績標(biāo)準(zhǔn)大了好，還是小了好？3、在教育科研中，究竟是標(biāo)準(zhǔn)大好還是標(biāo)準(zhǔn)小好，要看所分析的問題而異。假如，某班某科考試成績標(biāo)準(zhǔn)極大，這對教師的教學(xué)極其不利，而且該科考試成績的平均分?jǐn)?shù)也失去了意義。假如，在選拔性和競賽性的考試中，某一考題的標(biāo)準(zhǔn)差很小，表明該題對學(xué)習(xí)好和學(xué)習(xí)差的學(xué)生沒有區(qū)分能力，是一個質(zhì)量較差的題目。四、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)1、定義：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)又稱Z分?jǐn)?shù)，是以算術(shù)數(shù)平均數(shù)為中心、以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示一個數(shù)據(jù)在所在組數(shù)據(jù)中所處的相對位置的量數(shù)。在正態(tài)分布中，相對位置有兩個含義：（1）一個數(shù)據(jù)以平均數(shù)為原點、以標(biāo)準(zhǔn)差為單位所處距離的遠(yuǎn)近；（2）數(shù)據(jù)分布中該數(shù)據(jù)以上、以下各有多少比例的數(shù)據(jù)分布著。將原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，有兩方面用意：（1）更好地反映同一組數(shù)據(jù)間的差異；（2）使不同測量結(jié)果間有一定的可比性。2、公式例1：某班平均成績?yōu)?0分，標(biāo)準(zhǔn)差為3分，甲生得94.2分，乙生得89.1分，求甲、乙兩人的Z分?jǐn)?shù)。Z甲＝（94.2-90）/3=1.4Z乙=(89.1-90)/3=-0.3(用原始數(shù)據(jù)分布圖和Z分?jǐn)?shù)分布圖表示)例2：有一個人語文93分，數(shù)學(xué)97分，究竟是數(shù)學(xué)還是語文在各自的分布中較高。標(biāo)準(zhǔn)差得分計算ZP（