相似矩陣及二次型知識要點

相似矩陣及二次型知識要點第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

內(nèi)積滿足下列運算規(guī)律:

(i)[x,y]=[y,x];

(ii)[x,y]=[x,y];

(iii)[x+y,z]=[x,z]+[y,z].(2)

定義2

稱為n維向量x的長度(或范數(shù)).第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

向量長度具有下列性質(zhì):

(i)

非負性:當x0時,||x||>0;當x=0時,||x||=0.

(ii)

齊次性:||x||=||||x||;

(iii)

三角不等式:||x+y||≤||x||+||y||.

向量內(nèi)積滿足施瓦茨不等式:[x,y]2

≤[x,x][y,y].第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三稱為n維向量x與y的夾角.當[x,y]=0時,稱向量x與y正交.(3)當||x||0,||y||0時,第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(4)正交向量組的性質(zhì)若n維向量a1,a2,···,ar是一組兩兩正交的非零向量組,則

(i)

a1,a2,···,ar必線性無關;(ii)

(5)定義3設n維向量e1,e2,···,er

是向量空間V(VRn)的一個基,如果e1,e2,···,er兩兩正交,且都是單位向量,則稱e1,e2,···,er是V

的一個規(guī)范正交基.第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(6)施密特(Schmidt)正交化過程從線性無關向量組a1,a2,···,ar導出與之等價的正交向量組b1,b2,···,br的過程稱為施密特正交化過程．若a1,a2,···,ar

是向量空間Ｖ的一組基，通過正交化,單位化,都可以找到與之等價的一組規(guī)范正交基e1,e2,···,er,稱為把a1,a2,···,ar

這個基規(guī)范正交化.第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(7)定義4若n階方陣A滿足

ATA=E(即A-1=AT),則稱A為正交矩陣.

A=(aij)n×n為正交矩陣的充要條件是或第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(8)定義5若P為正交矩陣,則線性變換y=Px稱為正交變換.正交變換具有保持向量長度不變的優(yōu)良性質(zhì).

2.方陣的特征值與特征向量

(1)定義6設A是n階方陣,如果數(shù)

和n維非零列向量x使關系式

Ax=x成立,那么,數(shù)稱為方陣A的特征值,非零列向量x稱為A的對應于特征值的特征向量.第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三|A-

E|=0稱為方陣A的特征方程,

f()=|A-

E|稱為方陣A的特征多項式.

n階方陣A有n個特征值.若A=(aij)的特征值為1,2,···,n,則有

(i)

1+2+···+n=a11+a22+···+ann;

(ii)

12···

n=|A|.

(2)有關特征值的一些結論設是A=(aij)n×n的特征值,則

(i)

也是AT的特征值.第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(ii)

k是Ak的特征值(k為任意自然數(shù));

是A的特征值.其中

=a0+a1

+···

+amm,

A=a0

E+a1A+···

+amAm.

(iii)當A可逆時,1/是A-1的特征值;|A|/

是A的特征值.

(3)有關特征向量的一些結論

(i)對應于不同特征值的特征向量是線性無關的.第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(ii)對應于同一個特征值的特征向量的非零線性組合仍是該特征值的特征向量.

3.相似矩陣

(1)定義7設A，B都是

n階方陣,若有可逆矩陣P,使

P-1AP=B,則稱B是A的相似矩陣,或說矩陣A與B相似.第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

相似關系的性質(zhì):

(i)

自反性:矩陣A與自身相似;

(ii)

對稱性:若矩陣A與B相似,則矩陣B與A也相似；

(iii)

傳遞性:若矩陣A與B相似,矩陣B與

C相似,則矩陣A與C相似.

(2)有關相似矩陣的性質(zhì)

(i)若矩陣A與B相似,則A與B的特征多項式相同,從而A與B的特征值亦相同.第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(ii)若矩陣A與相似，則

1,2,···,n是A的

n個特征值.第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(iii)若A=PBP-1,則Ak=PBkP-1;(A)=P(B)P-1.特別地,若有可逆矩陣P,使P-1AP=為對角矩陣,則有Ak=PkP-1;(A)=P()P-1.

(3)An×n的對角化

(i)

A能對角化的充要條件是A有n個線性無關的特征向量.

(ii)若A有n個互異的特征值,則A與對角矩陣相似,即A可對角化.第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

4.實對稱矩陣的相似矩陣

(1)實對稱矩陣的特征值為實數(shù).

(2)實對稱矩陣的對應于不同特征值的特征向量必正交.

(3)若

是實對稱矩陣A的r重特征值,則對應于

的特征向量必有

r個,且它們線性無關.

(4)實對稱矩陣必可對角化.即若A為n階實對稱矩陣,則必有正交矩陣P,使得P-1AP=,其中是以A的n個特征值為對角元素的對角矩陣.第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

5.二次型及其標準形

(1)定義8含有n個變量

x1,

x2,···,

xn的二次齊次函數(shù)

f(x1,

x2,···,

xn)=a11x12+a22x22+···+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+···+2an-1,nxn-1xn

稱為二次型.二次型可記為f=xTAx,其中AT=A.A稱為二次型f的矩陣,f

稱為對稱矩陣A的二次型.對稱矩陣A的秩稱為二次型f的秩.第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三二次型與它的矩陣是一一對應的.當aij

是復數(shù)時,f稱為復二次型;當aij

是實數(shù)時,f稱為實二次型.我們只討論實二次型.

(2)只含平方項的二次型,稱為二次型的標準形(或法式).

(3)

化二次型為標準形(i)任給可逆矩陣C,令B=CTAC,如果A為對稱矩陣,則B亦為對稱矩陣,且R(B)=R(A).第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(ii)任給實二次型總有正交變換x=Py,使f化為標準形

f=1y12+2y22+···+nyn2,其中1,2,···,n是f的矩陣A=(aij)n×n

的特征值.

(iii)拉格朗日配方法亦可把二次型化為標準形,此時所用的可逆變換一般而言不是正交變換.第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

6.正定二次型

(1)定義9設有實二次型f(x)=xTAx,如果對任何x

0,都有f(x)>0(顯然f(0)=0),則稱f為正定二次型,并稱對稱矩陣A是正定的,記作A>0;如果對任何

x

0都有f(x)<0,則稱f為負定二次型,并稱對稱矩陣A是負定的,記作A<0.第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(2)慣性定理設有實二次型f=xTAx,它的秩為

r,有兩個實的可逆變換

x=Cy及x=Pz,使得f=

k1y12+k2y22+···+kryr2,及f=1y12+2y22+···+ryr2,則k1,k2,···,kr中正數(shù)的個數(shù)p與1,2,···,r中正數(shù)的個數(shù)相等.p

稱為正慣性指數(shù);r

-

p=N

稱為負慣性指數(shù);s=p

-

N=2p

-

r稱為f的符號差.第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(3)正定二次型的判定

n階實對稱矩陣A為正定的充要條件有:

(i)

p=n;

(ii)

A的特征值全為正;

(iii)

A的各階主子式都為正,即第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

基本要求

1.理解向量的內(nèi)積、范數(shù)、正交矩陣的概念,掌握施密特(Schmidt)正交化方法.

2.掌握矩陣的特征值、特征向量的概念,熟練掌握求矩陣特征值與特征向量的方法.

3.掌握矩陣與對角矩陣相似的充要條件,了解任意實對稱矩陣都能對角化.二、基本要求與重點、難點第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三4.掌握實二次型的矩陣表示法，能熟練地用正交變換(或用非退化線性變換)化實二次型為標準形.5.掌握正定二次型、正定矩陣的概念，能判定正定二次型.第二十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

重點特征值與特征向量的概念與求法;矩陣與對角矩陣相似的條件及把矩陣化為相似對角矩陣的方法；化二次型為標準形；正定二次型的判定.

難點化矩陣為相似對角矩陣的方法；慣性定理.第二十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三本節(jié)內(nèi)容已結束!若想結束本堂課