相似矩陣及二次型知識(shí)要點(diǎn)

相似矩陣及二次型知識(shí)要點(diǎn)第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

內(nèi)積滿足下列運(yùn)算規(guī)律:

(i)[x,y]=[y,x];

(ii)[x,y]=[x,y];

(iii)[x+y,z]=[x,z]+[y,z].(2)

定義2

稱為n維向量x的長度(或范數(shù)).第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

向量長度具有下列性質(zhì):

(i)

非負(fù)性:當(dāng)x0時(shí),||x||>0;當(dāng)x=0時(shí),||x||=0.

(ii)

齊次性:||x||=||||x||;

(iii)

三角不等式:||x+y||≤||x||+||y||.

向量內(nèi)積滿足施瓦茨不等式:[x,y]2

≤[x,x][y,y].第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三稱為n維向量x與y的夾角.當(dāng)[x,y]=0時(shí),稱向量x與y正交.(3)當(dāng)||x||0,||y||0時(shí),第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(4)正交向量組的性質(zhì)若n維向量a1,a2,···,ar是一組兩兩正交的非零向量組,則

(i)

a1,a2,···,ar必線性無關(guān);(ii)

(5)定義3設(shè)n維向量e1,e2,···,er

是向量空間V(VRn)的一個(gè)基,如果e1,e2,···,er兩兩正交,且都是單位向量,則稱e1,e2,···,er是V

的一個(gè)規(guī)范正交基.第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(6)施密特(Schmidt)正交化過程從線性無關(guān)向量組a1,a2,···,ar導(dǎo)出與之等價(jià)的正交向量組b1,b2,···,br的過程稱為施密特正交化過程．若a1,a2,···,ar

是向量空間Ｖ的一組基，通過正交化,單位化,都可以找到與之等價(jià)的一組規(guī)范正交基e1,e2,···,er,稱為把a(bǔ)1,a2,···,ar

這個(gè)基規(guī)范正交化.第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(7)定義4若n階方陣A滿足

ATA=E(即A-1=AT),則稱A為正交矩陣.

A=(aij)n×n為正交矩陣的充要條件是或第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(8)定義5若P為正交矩陣,則線性變換y=Px稱為正交變換.正交變換具有保持向量長度不變的優(yōu)良性質(zhì).

2.方陣的特征值與特征向量

(1)定義6設(shè)A是n階方陣,如果數(shù)

和n維非零列向量x使關(guān)系式

Ax=x成立,那么,數(shù)稱為方陣A的特征值,非零列向量x稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三|A-

E|=0稱為方陣A的特征方程,

f()=|A-

E|稱為方陣A的特征多項(xiàng)式.

n階方陣A有n個(gè)特征值.若A=(aij)的特征值為1,2,···,n,則有

(i)

1+2+···+n=a11+a22+···+ann;

(ii)

12···

n=|A|.

(2)有關(guān)特征值的一些結(jié)論設(shè)是A=(aij)n×n的特征值,則

(i)

也是AT的特征值.第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(ii)

k是Ak的特征值(k為任意自然數(shù));

是A的特征值.其中

=a0+a1

+···

+amm,

A=a0

E+a1A+···

+amAm.

(iii)當(dāng)A可逆時(shí),1/是A-1的特征值;|A|/

是A的特征值.

(3)有關(guān)特征向量的一些結(jié)論

(i)對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的.第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(ii)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)特征值的特征向量的非零線性組合仍是該特征值的特征向量.

3.相似矩陣

(1)定義7設(shè)A，B都是

n階方陣,若有可逆矩陣P,使

P-1AP=B,則稱B是A的相似矩陣,或說矩陣A與B相似.第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

相似關(guān)系的性質(zhì):

(i)

自反性:矩陣A與自身相似;

(ii)

對(duì)稱性:若矩陣A與B相似,則矩陣B與A也相似；

(iii)

傳遞性:若矩陣A與B相似,矩陣B與

C相似,則矩陣A與C相似.

(2)有關(guān)相似矩陣的性質(zhì)

(i)若矩陣A與B相似,則A與B的特征多項(xiàng)式相同,從而A與B的特征值亦相同.第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(ii)若矩陣A與相似，則

1,2,···,n是A的

n個(gè)特征值.第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(iii)若A=PBP-1,則Ak=PBkP-1;(A)=P(B)P-1.特別地,若有可逆矩陣P,使P-1AP=為對(duì)角矩陣,則有Ak=PkP-1;(A)=P()P-1.

(3)An×n的對(duì)角化

(i)

A能對(duì)角化的充要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.

(ii)若A有n個(gè)互異的特征值,則A與對(duì)角矩陣相似,即A可對(duì)角化.第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

4.實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣

(1)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).

(2)實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量必正交.

(3)若

是實(shí)對(duì)稱矩陣A的r重特征值,則對(duì)應(yīng)于

的特征向量必有

r個(gè),且它們線性無關(guān).

(4)實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化.即若A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣,則必有正交矩陣P,使得P-1AP=,其中是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣.第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

5.二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

(1)定義8含有n個(gè)變量

x1,

x2,···,

xn的二次齊次函數(shù)

f(x1,

x2,···,

xn)=a11x12+a22x22+···+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+···+2an-1,nxn-1xn

稱為二次型.二次型可記為f=xTAx,其中AT=A.A稱為二次型f的矩陣,f

稱為對(duì)稱矩陣A的二次型.對(duì)稱矩陣A的秩稱為二次型f的秩.第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三二次型與它的矩陣是一一對(duì)應(yīng)的.當(dāng)aij

是復(fù)數(shù)時(shí),f稱為復(fù)二次型;當(dāng)aij

是實(shí)數(shù)時(shí),f稱為實(shí)二次型.我們只討論實(shí)二次型.

(2)只含平方項(xiàng)的二次型,稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(或法式).

(3)

化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(i)任給可逆矩陣C,令B=CTAC,如果A為對(duì)稱矩陣,則B亦為對(duì)稱矩陣,且R(B)=R(A).第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(ii)任給實(shí)二次型總有正交變換x=Py,使f化為標(biāo)準(zhǔn)形

f=1y12+2y22+···+nyn2,其中1,2,···,n是f的矩陣A=(aij)n×n

的特征值.

(iii)拉格朗日配方法亦可把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,此時(shí)所用的可逆變換一般而言不是正交變換.第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

6.正定二次型

(1)定義9設(shè)有實(shí)二次型f(x)=xTAx,如果對(duì)任何x

0,都有f(x)>0(顯然f(0)=0),則稱f為正定二次型,并稱對(duì)稱矩陣A是正定的,記作A>0;如果對(duì)任何

x

0都有f(x)<0,則稱f為負(fù)定二次型,并稱對(duì)稱矩陣A是負(fù)定的,記作A<0.第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(2)慣性定理設(shè)有實(shí)二次型f=xTAx,它的秩為

r,有兩個(gè)實(shí)的可逆變換

x=Cy及x=Pz,使得f=

k1y12+k2y22+···+kryr2,及f=1y12+2y22+···+ryr2,則k1,k2,···,kr中正數(shù)的個(gè)數(shù)p與1,2,···,r中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等.p

稱為正慣性指數(shù);r

-

p=N

稱為負(fù)慣性指數(shù);s=p

-

N=2p

-

r稱為f的符號(hào)差.第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

(3)正定二次型的判定

n階實(shí)對(duì)稱矩陣A為正定的充要條件有:

(i)

p=n;

(ii)

A的特征值全為正;

(iii)

A的各階主子式都為正,即第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

基本要求

1.理解向量的內(nèi)積、范數(shù)、正交矩陣的概念,掌握施密特(Schmidt)正交化方法.

2.掌握矩陣的特征值、特征向量的概念,熟練掌握求矩陣特征值與特征向量的方法.

3.掌握矩陣與對(duì)角矩陣相似的充要條件,了解任意實(shí)對(duì)稱矩陣都能對(duì)角化.二、基本要求與重點(diǎn)、難點(diǎn)第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三4.掌握實(shí)二次型的矩陣表示法，能熟練地用正交變換(或用非退化線性變換)化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.5.掌握正定二次型、正定矩陣的概念，能判定正定二次型.第二十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

重點(diǎn)特征值與特征向量的概念與求法;矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件及把矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法；化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；正定二次型的判定.

難點(diǎn)化矩陣為相似對(duì)角矩陣的方法；慣性定理.第二十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課