系統(tǒng)的穩(wěn)定性

系統(tǒng)的穩(wěn)定性第一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三穩(wěn)定性的概念系統(tǒng)穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)受到擾動(dòng)后，偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來(lái)的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，或具有穩(wěn)定性的。否則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，或不具有穩(wěn)定性。系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)固有的一種特性，只取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與初始條件及外界作用無(wú)關(guān)。定義第二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三李雅普諾夫穩(wěn)定性對(duì)系統(tǒng)平衡狀態(tài)為穩(wěn)定或不穩(wěn)定所規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)。

穩(wěn)定：設(shè)系統(tǒng)的平衡工作點(diǎn)為0，若擾動(dòng)使系統(tǒng)偏離平衡工作點(diǎn)的初始偏差不超過(guò)，擾動(dòng)引起的輸出的終態(tài)不超過(guò)允許的域，稱為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。否則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，或不具有穩(wěn)定性。漸近穩(wěn)定：系統(tǒng)的輸出在初始偏差作用下，其終態(tài)能回到原始平衡工作點(diǎn)。

大范圍漸近穩(wěn)定：系統(tǒng)在任意初始條件下都保持漸近穩(wěn)定。

李雅普諾夫定義下的穩(wěn)定0線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性決定于系統(tǒng)本身固有的特性，與外界條件無(wú)關(guān)，決定于瞬態(tài)分量是否衰減。第三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三穩(wěn)定性的充分必要條件設(shè)線性系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，作用一個(gè)理想單位脈沖δ(t)，這時(shí)系統(tǒng)的輸出增量為為脈沖響應(yīng)g(t)。相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動(dòng)信號(hào)作用下輸出偏離原平衡狀態(tài)的情況。若t→∞時(shí)，脈沖響應(yīng)即輸出增量收斂于原平衡工作點(diǎn)，則線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)特征方程

設(shè)特征根互不相等，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)可改寫如下閉環(huán)特征根則系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的拉氏變換第五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三得系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)(1)若為實(shí)數(shù)若系統(tǒng)穩(wěn)定(2)若為復(fù)數(shù)發(fā)散系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的拉氏變換第六頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三(3)若特征根為k個(gè)實(shí)根，r個(gè)復(fù)數(shù)根系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是它的所有特征根都具有負(fù)實(shí)部，或都位于s平面的左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。說(shuō)明：若系統(tǒng)有極點(diǎn)位于虛軸上或原點(diǎn)，其余極點(diǎn)均位于s平面的左半平面，則零輸入響應(yīng)趨于等幅振蕩或恒定值，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。第七頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三

例已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試說(shuō)明系統(tǒng)是否穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程特征根系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：全部特征根都具有負(fù)實(shí)部。第八頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件閉環(huán)特征方程若使全部特征根p1,p2,…pn均具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)必須滿足以下條件：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)ai的符號(hào)都相同。特征方程的各項(xiàng)系數(shù)ai≠0；系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)ai>0

。第九頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三勞斯（Routh）穩(wěn)定判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為如下標(biāo)準(zhǔn)形式勞斯數(shù)列（勞斯表）特點(diǎn)：逐行計(jì)算，運(yùn)算中的空位置零，系數(shù)呈上三角形。g1=an第十頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件勞斯表中第一列各值為正。若勞斯表第一列中出現(xiàn)小于零的數(shù)值，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，且第一列各系數(shù)符號(hào)的改變次數(shù)，等于系統(tǒng)特征方程具有正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。第十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三

例已知系統(tǒng)的特征方程，試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第一列的系數(shù)都為正數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定解：（1）特征方程的所有系數(shù)均為正實(shí)數(shù)，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。（2）列勞斯數(shù)列表系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件：勞斯數(shù)列中第一列所有元素的符號(hào)均為正號(hào)。第十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三

例已知系統(tǒng)的特征方程，試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。有兩個(gè)正實(shí)部的特征根，系統(tǒng)不穩(wěn)定解：（1）系統(tǒng)特征方程的系數(shù)不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。（2）列勞斯數(shù)列表勞斯數(shù)列表中第一列各元素符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)。第十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三勞斯判據(jù)的特殊情況1、勞斯數(shù)列中某一行的第一列元素為零，但其余不為零或不全為零用一個(gè)很小的正數(shù)來(lái)代替第一列等于零的元素，然后繼續(xù)計(jì)算勞斯數(shù)列中其余各個(gè)元素，最后令小正數(shù)趨于零，再按照前述方法對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行判據(jù)。第十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三第一列為零系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)根具有正實(shí)部

例已知系統(tǒng)的特征方程，試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）特征方程的所有系數(shù)均為正實(shí)數(shù)，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。（2）列勞斯數(shù)列表第十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三2、若勞斯數(shù)列表中某一行（設(shè)為第k行）的所有系數(shù)均為零，則說(shuō)明在根平面內(nèi)存在一些絕對(duì)值相同，但符號(hào)相異的特征根。(3)解輔助方程，得到所有數(shù)值相同、符號(hào)相異的根。(1)用(k-1)行元素構(gòu)成輔助多項(xiàng)式，輔助方程的最高階次為(n-k+2)，然后s的次數(shù)遞降2。(2)將輔助多項(xiàng)式對(duì)s求導(dǎo)，其系數(shù)作為全零行的元素，繼續(xù)完成勞斯表。第十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三解得

例系統(tǒng)特征方程，試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）特征方程的所有系數(shù)均為正實(shí)數(shù)，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。（2）列勞斯數(shù)列表全零行輔助多項(xiàng)式有兩個(gè)共軛虛根，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。第十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三

例已知系統(tǒng)特征方程，試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（2）列勞斯數(shù)列表（1）系統(tǒng)特征方程的系數(shù)不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。輔助多項(xiàng)式第一列元素不全為零，系統(tǒng)有正實(shí)部特征根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。解得第十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三勞斯判據(jù)的應(yīng)用可以判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，即系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性?？蓹z驗(yàn)系統(tǒng)是否有一定的穩(wěn)定裕量，即相對(duì)穩(wěn)定性?？捎脕?lái)分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響和鑒別延滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三穩(wěn)定裕量的檢驗(yàn)令，即把虛軸左移

。將上式代入系統(tǒng)的特征方程式，得以z

為變量的新特征方程式，然后再檢驗(yàn)新特征方程式有幾個(gè)根位于新虛軸（垂直線）的右邊。如果所有根均在新虛軸的左邊（新勞思陣列式第一列均為正數(shù)），則說(shuō)系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量。第二十頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三

例檢驗(yàn)特征方程式，是否有根在右半平面，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在直線s=-1的右邊。解：（1）特征方程的所有系數(shù)均為正實(shí)數(shù)，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。（2）列勞斯數(shù)列表勞斯數(shù)列中第一列所有元素的符號(hào)均為正號(hào)，故沒(méi)有根在s右半平面。第二十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三新的勞斯陣列表令s=z-1，代入特征方程式，得即：從表中可看出，第一列符號(hào)改變一次，故有一個(gè)根在直線s=-1（即新坐標(biāo)虛軸）的右邊，因此穩(wěn)定裕量不到1。第二十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響一單位反饋控制系統(tǒng)下圖所示，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的k的范圍。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為特征方程系數(shù)都為正實(shí)數(shù)

例解：第二十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三列勞斯陣列表0<K<30K>0，30-K>0特征方程系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件：勞斯數(shù)列中第一列所有元素的符號(hào)均為正號(hào)。即解得第二十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)乃奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù),簡(jiǎn)稱奈氏判據(jù),又稱頻域法判據(jù)，是判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的又一重要方法。它是將系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)與復(fù)變函數(shù)F(s)=1+G(s)H(s)位于s平面右半部的零、極點(diǎn)數(shù)目聯(lián)系起來(lái)的一種判據(jù)。乃氏判據(jù)是一種圖解法，它根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)頻率特性曲線判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。頻域判據(jù)使用方便，易于推廣。第二十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三基本原理幅角映射是指利用關(guān)系函數(shù)F(s)將[s]平面上的閉合曲線或軌跡映射轉(zhuǎn)換到另一個(gè)平面上。映射的概念幅角原理假設(shè)復(fù)變函數(shù)F(s)為單值，且除了s平面上有限的奇點(diǎn)外處處連續(xù)，也就是說(shuō)F(s)在s平面上除奇點(diǎn)外處處解析，那么對(duì)于s平面上的每一個(gè)解析點(diǎn)，在F(s)平面上必有一點(diǎn)（稱為映射點(diǎn)）與之對(duì)應(yīng)。第二十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

例第二十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三s和F(s)的映射關(guān)系若[s]平面上一封閉曲線Ls包圍F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)（不經(jīng)過(guò)F(s)的任何極點(diǎn)），則在[F(s)]平面上必有一對(duì)應(yīng)的封閉映射曲線LF。當(dāng)復(fù)變量s在[s]平面上順時(shí)針?lè)较蜓豅s變化一周時(shí)，在[F(s)]平面上的映射曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)N圈，即N=Z-P。N>0順時(shí)針，N<0逆時(shí)針，N=0表示不包括[F(s)]平面的原點(diǎn)。第二十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三復(fù)變函數(shù)F(s)的選擇閉環(huán)特征方程開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)輔助函數(shù)特點(diǎn)F(s)的零點(diǎn)即為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(s)的極點(diǎn)，F(xiàn)(s)的極點(diǎn)即為開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)的極點(diǎn)。第二十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三F(s)與開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)只相差常量1，F(xiàn)(s)的幾何意義為：[F(s)]平面的坐標(biāo)原點(diǎn)就是[GH]平面上的(-1,j0)點(diǎn)。F(s)=1+G(s)H(s)關(guān)系圖第三十頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程1+G(s)H(s)=0的全部特征根都具有負(fù)實(shí)部，即Φ(s)在[s]平面的右半平面沒(méi)有極點(diǎn)。F(s)在[s]平面的右半平面沒(méi)有零點(diǎn)。即選擇一條封閉曲線Ls包圍整個(gè)[s]平面的右半平面，則封閉曲線Ls稱為[s]平面上的乃氏軌跡。s平面的Nyquist軌跡若F(s)=1+G(s)H(s)在[s]右半平面有Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，當(dāng)s沿[s]平面上的乃氏軌跡移動(dòng)一周，在[F(s)]平面上的映射曲線LF將順時(shí)針包圍原點(diǎn)N=Z-P圈。第三十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三由于F(s)-1=G(s)H(s)，因此，F(xiàn)(s)的映射曲線LF包圍原點(diǎn)的圈數(shù)就等于G(s)H(s)的映射曲線LGH包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：F(s)在[s]平面的右半平面沒(méi)有零點(diǎn)，即Z=0。若G(s)H(s)的乃氏軌跡逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)等于其在[s]右半平面的極點(diǎn)數(shù)P，即N=P，由N=Z-P得出Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。第三十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)1、[s]平面虛軸上無(wú)開環(huán)極點(diǎn)乃氏穩(wěn)定判據(jù)如果開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在[s]右半平面上有P個(gè)極點(diǎn)，當(dāng)ω由-∞變化到+∞時(shí)，[G(s)H(s)]平面上的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，閉環(huán)系統(tǒng)就不穩(wěn)定?；虍?dāng)ω由0變化到+∞時(shí)，[G(s)H(s)]平面上的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)P/2圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，閉環(huán)系統(tǒng)就不穩(wěn)定。若P=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是G(jω)H(jω)不包圍(-1,j0)點(diǎn)。第三十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，編輯于2023年，星期三2、[s]平面原點(diǎn)處有開環(huán)極點(diǎn)虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)時(shí)的乃氏軌跡如果有ν個(gè)開環(huán)極點(diǎn)在[s]平面的原點(diǎn)處，則[G(s)H(s)]平面上的乃氏軌跡將沿?zé)o窮大半徑按順時(shí)針?lè)较驈募串?dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)含有ν個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí)，需在原來(lái)的開環(huán)幅相特性曲線上逆時(shí)針?lè)较蜓a(bǔ)加上ν×90°虛線圓弧，然后再應(yīng)用乃氏穩(wěn)定判