線性時不變?yōu)V波器與系統(tǒng)

若線性時不變系統(tǒng)的時間響應(yīng)函數(shù)滿足一、因果性則稱線性時不變系統(tǒng)為因果的，或物理可實(shí)現(xiàn)的。二、穩(wěn)定性所謂系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是指當(dāng)輸入信號為有限時，輸信號也是有限的。而信號是有限的，有兩種含義：一是信號本身是有界的，即存在一正數(shù)使得二是指信號的能量是有限的，即第一頁，共九頁，編輯于2023年，星期三1.有界輸入有界輸出穩(wěn)定性

當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號有界時，輸出信號也是有界的，則稱該系統(tǒng)或?yàn)V波器具有有界輸入有界

輸出（BIBO）穩(wěn)定性。定理1

線性時不變系統(tǒng)具有有界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定性的充要條件是證

必要性：對任何輸入信號輸出信號第二頁，共九頁，編輯于2023年，星期三在上式中取得再取此時有界，故有界，即充分性：設(shè)輸入信號有界，即存在一正數(shù)使則輸出信號滿足第三頁，共九頁，編輯于2023年，星期三即有界。這說明該系統(tǒng)具有BIBO穩(wěn)定性。2.能量有限穩(wěn)定性

對于一個系統(tǒng)或?yàn)V波器，如果其輸入信號的能量有限時，其輸出信號的能量也是有限的，則稱該系統(tǒng)或?yàn)V波器具有能量有限穩(wěn)定性。定理2

線性時不變系統(tǒng)具有能量有限穩(wěn)定性的充要條件是：的頻譜是有界的，即存在正數(shù)使得第四頁，共九頁，編輯于2023年，星期三注

因?yàn)樗援?dāng)系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定時，它一定也是能量有限穩(wěn)定的；反之，則不一定。今后我們說系統(tǒng)的穩(wěn)定性，指的就是BIBO穩(wěn)定性。例1

判斷下列系統(tǒng)是否是穩(wěn)定的：（1）解

所以當(dāng)時，故該系統(tǒng)式穩(wěn)定的。第五頁，共九頁，編輯于2023年，星期三（2）解

它有界，有取但對任何無界，故該系統(tǒng)不穩(wěn)定。（3）解

顯然因?yàn)榈诹摚簿彭?，編輯?023年，星期三該系統(tǒng)不穩(wěn)定。例3

設(shè)線性時不變系統(tǒng)的Z變換為若系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，求系統(tǒng)的時間響應(yīng)函數(shù)并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解

因?yàn)橄到y(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，故下面將展開成第七頁，共九頁，編輯于2023年，星期三正向單邊冪級數(shù)。即因此，系統(tǒng)時間響應(yīng)函數(shù)由于第八頁，共九頁，編輯于2023年，星期三所