有限單元法概述課件

有限元法原理及應(yīng)用

FiniteElementMethodandItsApplicationsInstituteofMechanicalEngineeringandAutomationIMEAHsiangJiawei,PhDSchoolofMechantronicEngineering,GuilinUniversityofElectronicTechnology,Guilin,541004,P.R.C.Tel-mail:hsiangjiawei@桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院機(jī)械工程及自動(dòng)化所6/12/20231課程學(xué)習(xí)基本要求

1教材及參考書(shū)InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation1、王勖成,邵敏.有限單元法基本原理和數(shù)值方法(第二版)[M].北京:清華大學(xué)出版社,19972、王勖成.有限單元法

[M].北京:清華大學(xué)出版社,20033、李開(kāi)泰,黃艾香,黃慶懷.有限元方法及其應(yīng)用[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,1992.4、O.C.Zienkiewicz,R.L.Taylor,J.Z.Zhu.TheFiniteElementMethod:It’sBasisandFundamentals[M].(SixthEdition),Amsterdam:ElsevierPress,2005.6/12/202322學(xué)習(xí)目的及方法InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation目的了解FEM數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ)；把握FEM求解具體問(wèn)題的基本過(guò)程；應(yīng)用FEM

，特別是運(yùn)用已有的通用或?qū)Ｓ密浖蠼鈱?shí)際工程技術(shù)問(wèn)題；為在FEM理論方法作進(jìn)一步研究提供基礎(chǔ)。方法注重深入理解FEM思想的建立，數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ)；結(jié)合自己研究方向，若偏重于FEM應(yīng)用，則注重于應(yīng)用對(duì)象的本構(gòu)關(guān)系研究，運(yùn)用通用或?qū)Ｓ糜邢拊绦蜻M(jìn)行分析；若偏重于對(duì)FEM方法研究，則必須深入掌握標(biāo)準(zhǔn)化的FEM求解格式推導(dǎo)過(guò)程。6/12/202333考試考核成績(jī)構(gòu)成InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation課程作業(yè)成績(jī)(30％)

翻譯近期（08－09）有限元方法方面的英文研究論文(OriginalArticle)一篇。實(shí)驗(yàn)成績(jī)(30％)

Ansys軟件上機(jī)實(shí)驗(yàn)；包括通用有限元分析軟件ANSYS求解結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題基本過(guò)程，1D桿系、2D板殼、3D實(shí)體靜、動(dòng)力學(xué)分析實(shí)例上機(jī)。程序作業(yè)成績(jī)

(40%)

編制平面問(wèn)題有限元程序，要求用C語(yǔ)言或Matlab語(yǔ)言編寫(xiě)。提交程序和計(jì)算結(jié)果電子文本。6/12/20234第1章有限單元法概述第2節(jié)大型有限元軟件比較

第1節(jié)概述

第3節(jié)小結(jié)InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/20235第1節(jié)概述有限元方法（FiniteElementMethod,FEM）是計(jì)算機(jī)問(wèn)世以后迅速發(fā)展起來(lái)的一種分析方法。眾所周知，每一種自然現(xiàn)象的背后都有相應(yīng)的物理規(guī)律，對(duì)物理規(guī)律的描述可以借助相關(guān)的定理或定律表現(xiàn)為各種形式的方程（代數(shù)、微分、或積分）。這些方程和相應(yīng)的邊界條件構(gòu)成物理問(wèn)題的本構(gòu)關(guān)系。針對(duì)實(shí)際的工程問(wèn)題推導(dǎo)這些方程并不十分困難，然而，要獲得問(wèn)題的解析的數(shù)學(xué)解卻很困難。人們多采用數(shù)值方法給出近似的滿(mǎn)足工程精度要求的解答。有限元方法就是一種應(yīng)用十分廣泛的數(shù)值分析方法。[FEM地位]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/20236第1節(jié)概述Turner&CloughArgyrisMeloshJones

Pian

馮康

BesselingZienkiewiczCheungBatheCook錢(qián)令希SAPANSYSALGORNASTRANADINA

MARC廣義協(xié)調(diào)元無(wú)單元法自然單元法樣條有限元有限元并行算小波有限元自適應(yīng)有限元

拓展了有限元方法

單元求解區(qū)域上插值

工程應(yīng)用

工程實(shí)踐中高性能計(jì)算60年代70~80年代90年代至今體系形成

方法拓展

商用軟件

學(xué)科交叉

[FEM起源及發(fā)展]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/20237第1節(jié)概述

FEM的概念是由Turner與Clough最早提出的[1]。1952年美加利福尼亞大學(xué)伯克利分校的學(xué)者CloughRW應(yīng)邀參加了波音航空公司夏季開(kāi)發(fā)小組，在波音公司結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析專(zhuān)家TrunerMJ的帶領(lǐng)下開(kāi)展了三角形機(jī)翼結(jié)構(gòu)分析，在經(jīng)歷了運(yùn)用傳統(tǒng)一維梁分析失敗后，1953年Clough在Turner的建議下，運(yùn)用直接剛度位移法，成功地給出了用三角單元求得平面應(yīng)力問(wèn)題的正確答案；1960年Clough進(jìn)一步研究了彈性問(wèn)題的應(yīng)力分析，并首次使用“有限元(FiniteElement)”這一術(shù)語(yǔ)。[FEM起源及發(fā)展]

[1]CloughRW.Earlyhistoryofthefiniteelementmethodfromtheviewpointofapioneer[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering,2004,60:283-287InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/20238第1節(jié)概述

此后，一些應(yīng)用/計(jì)算數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和工程師從2條分支研究FEM，形成了成熟的理論體系。即：<1>FEM離散格式、誤差估計(jì)理論、解的收斂性等研究(應(yīng)用/計(jì)算數(shù)學(xué))

研究的目的是建立完整的FEM理論體系，為工程應(yīng)用奠定必備的理論基礎(chǔ)。<2>工程具體問(wèn)題計(jì)算領(lǐng)域(計(jì)算物理/計(jì)算力學(xué)/工程學(xué))

研究的目的是面向具體工程應(yīng)用問(wèn)題，主要是離散格式研究，通過(guò)考題(Benchmark)分析而不是理論分析驗(yàn)證解的收斂性，估計(jì)誤差，為工程設(shè)計(jì)優(yōu)化提供指導(dǎo)。[FEM起源及發(fā)展]

工科學(xué)生學(xué)習(xí)FEM、研究FEM、應(yīng)用FEM的立足點(diǎn)InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/20239第1節(jié)概述應(yīng)用/計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域

Besseling

，Melosh

，Jones，Pian

等人證明了有限元單元法是基于變分原理的Ritz法的另一種形式，與經(jīng)典Ritz法的區(qū)別在于有限單元法并非全域插值，而是在單元求解區(qū)域上插值，進(jìn)而通過(guò)單元疊加形成全域求解方程，因而可以用來(lái)處理很復(fù)雜的連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題[2]。[FEM起源及發(fā)展]

60年代，我國(guó)學(xué)者馮康獨(dú)立于西方給出了基于分片插值和變分方法的偏微分方程的數(shù)值解法，可以看作最早給出的二維有限元收斂性的證明，從而奠定了有限元方法的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)[3]

。[2]OCZienkiewicz.Thebirthofthefiniteelementmethodandcomputationalmechanics[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering,2004,60:3-10[3]李開(kāi)泰,黃艾香,黃慶懷.有限元方法及其應(yīng)用[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,1992

要求能量/勢(shì)能泛函存在，限制了其應(yīng)用。InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202310第1節(jié)概述工程計(jì)算領(lǐng)域

Zienkiewicz，Cheung，Bathe，Cook等進(jìn)一步拓展了有限元方法，利用Galerkin變分原理，求解只知道物理問(wèn)題的本構(gòu)關(guān)系，即偏微分方程(PartialDifferentEquations,PDEs)/控制方程(GoverningEquations)和邊界條件，但是變分的勢(shì)能泛函尚未找到或者根本不存在的情況，使得FEM可應(yīng)用于幾乎所有學(xué)科中的PDEs求解，真正成為一種計(jì)算工具。[FEM起源及發(fā)展]

Zienkiewicz(1921-)是需要特別提到的一位學(xué)者，他是英國(guó)威爾士(Wales)大學(xué)土木工程學(xué)院教授，擔(dān)任聯(lián)合國(guó)教科文組織工程數(shù)值計(jì)算委員會(huì)主席，他在工程FEM計(jì)算方面作出了卓越貢獻(xiàn)，這些貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)在他的600多篇論文與25部專(zhuān)著中。1968年創(chuàng)辦FEM主流雜志《InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering》，有力地推動(dòng)了有限元在工程計(jì)算中的應(yīng)用。InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202311第1節(jié)概述不同領(lǐng)域交叉研究

通過(guò)眾多學(xué)者幾十年的研究，數(shù)學(xué)領(lǐng)域和工程計(jì)算領(lǐng)域已經(jīng)密不可分，在不斷修正認(rèn)識(shí)上錯(cuò)誤的前提下打下有限元堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。Ritz變分形式(對(duì)應(yīng)于最小位能原理)和Galerkin

變分形式(對(duì)應(yīng)于虛功原理)二者實(shí)際上相互等價(jià)?，F(xiàn)在一般統(tǒng)一稱(chēng)為Ritz-Galerkin變分原理或Galerkin變分原理。有限元分析領(lǐng)域大師級(jí)人物如：

Zienkiewicz，Bathe等具有十分深厚的數(shù)學(xué)功底，他們的研究亦涉及到誤差估計(jì)理論、解的收斂性等研究。[FEM起源及發(fā)展]

！國(guó)內(nèi)長(zhǎng)期從事FEM研究的有錢(qián)令希、鐘萬(wàn)勰、石鐘慈、程耿東、龍馭球等。主要從事FEM方法改進(jìn)研究。InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202312第1節(jié)概述[FEM相關(guān)主流期刊]

應(yīng)用/計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域SIAMJournalofNumericalAnalysis/SIAM數(shù)值分析SIAMJournalonScientificComputing/SIAM科學(xué)計(jì)算Computing/計(jì)算ComputersandMathematicswithApplications/計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)及應(yīng)用AppliedMathematicsandComputation/應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算JournalofComputationalandAppliedMathematics/計(jì)算與應(yīng)用數(shù)學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202313第1節(jié)概述[FEM相關(guān)主流期刊]

ComputerModelinginEngineeringandSciences/工程和科學(xué)中的計(jì)算機(jī)模型InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering/工程中的數(shù)值方法ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering/應(yīng)用力學(xué)和工程中的計(jì)算方法ComputationalMechanics/計(jì)算力學(xué)Computers&Structures/計(jì)算機(jī)與結(jié)構(gòu)FiniteElementsinAnalysisandDesign/有限元分析與設(shè)計(jì)ASCEJournalofEngineeringMechanics/ASCE工程力學(xué)計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)各學(xué)科專(zhuān)業(yè)期刊(側(cè)重于用FEM作為工具獲得分析結(jié)果)工程計(jì)算領(lǐng)域InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202314第1節(jié)概述[FEM求解工程問(wèn)題思路]

工程中的問(wèn)題本構(gòu)關(guān)系線性的、邊界規(guī)則的問(wèn)題數(shù)值分析法精確解近似解非線性的、邊界不規(guī)則的問(wèn)題解析法圖1工程問(wèn)題的求解思路

FEM猶如萬(wàn)能鑰匙，是解決工程問(wèn)題的主流數(shù)值分析方法只能解決極少的方程求解，而且解答復(fù)雜。工程問(wèn)題的求解基本過(guò)程InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202315第1節(jié)概述[FEM求解工程問(wèn)題思路]

FEM核心在于單元或者列式構(gòu)造(1)直接方法直接從結(jié)構(gòu)力學(xué)引伸過(guò)來(lái)的，作為一種建立有限元方程的方法而言，只在簡(jiǎn)單情況下才能湊效。優(yōu)點(diǎn)在于簡(jiǎn)單、易于理解，一些基本概念和作法的物理意義清晰。(2)變分方法有限元方法最早的嚴(yán)格理論論證就是以這種形式給出的。Ritz法要求被分析的問(wèn)題存在一個(gè)“能量泛函”，由泛函取駐值建立有限元方程。對(duì)于線性彈性問(wèn)題就表現(xiàn)為最小位能/勢(shì)能原理、最小余能原理或其他形式的廣義變分原理。Galerkin法只要求被分析問(wèn)題的“本構(gòu)關(guān)系/方程”存在。本課主要利用這種形式。(3)加權(quán)殘值法InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202316插值基函數(shù)有限元插值形狀函數(shù)相關(guān)問(wèn)題能量泛函標(biāo)準(zhǔn)單元有限元方程/列式本構(gòu)方程/偏微分方程圖2FEM單元構(gòu)造的思路第1節(jié)概述[FEM求解工程問(wèn)題思路]

兼容性、光滑性、完備性條件代入代入由Galerkin變分原理令能量泛函變分為零有限元空間！通過(guò)等參變換映射為復(fù)雜形狀單元采用變分方法構(gòu)造單元或者列式InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202317第1節(jié)概述[FEM求解工程問(wèn)題思路]

FEM求解工程問(wèn)題過(guò)程(1)選取恰當(dāng)?shù)膯卧?，建立單元有限元方程?2)網(wǎng)格剖分，離散求解域；(3)將單元由局部坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系，并疊加單元有限元方程，形成總體有限元方程；(4)在總體有限元方程中引入強(qiáng)制邊界條件；(5)求總體有限元方程，得到節(jié)點(diǎn)解；(6)后處理，求出單元內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變、變形等。大型FEM軟件求解工程問(wèn)題過(guò)程(1)前處理，包括建立幾何模型(求解域)，選取單元，網(wǎng)格剖分等；(2)求解，選擇求解方法；(3)后處理，以圖、表、動(dòng)畫(huà)形式描述單元內(nèi)力等。InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202318第1節(jié)概述[基本未知量的選擇和有限元方法的分類(lèi)

]

位移單元/位移元

以位移場(chǎng)做為基本未知量，幾何關(guān)系和彈性關(guān)系精確滿(mǎn)足，平衡方程只能近似滿(mǎn)足（近似解）。優(yōu)點(diǎn)：未知量少；缺點(diǎn)：位移精度好，應(yīng)力精度低。位移單元又分為兩種：協(xié)調(diào)單元和非協(xié)調(diào)單元。位移單元是目前應(yīng)用最廣的一類(lèi)單元。平衡單元/平衡元

以應(yīng)力或應(yīng)力函數(shù)為基本未知量，以應(yīng)力協(xié)調(diào)關(guān)系（或最小位能原理）建立FEM方程。雜交單元/雜交元同時(shí)以位移和應(yīng)力等為基本未知量。這種單元在處理板、殼問(wèn)題時(shí)有顯著的優(yōu)點(diǎn)。InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202319第2節(jié)大型有限元軟件比較

[大型FEM軟件比較]

通過(guò)表格簡(jiǎn)略的介紹一些近年來(lái)國(guó)內(nèi)外著名的分析軟件，供讀者參考。

ANSYS、ADINA、MARC、NASTRAN、ABAQUS、FENRIS、PAFEC、ASKA、EAL、SAMCEF、LARSTRAN80、HAJIF系列等。InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202320[大型FEM軟件比較]

第2節(jié)大型有限元軟件比較

InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202321[大型FEM軟件比較]

第2節(jié)大型有限元軟件比較

InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202322[大型FEM軟件比較]

第2節(jié)大型有限元軟件比較

InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202323[大型FEM軟件比較]

第2節(jié)大型有限元軟件比較

InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202324[大型FEM軟件比較]

第2節(jié)大型有限元軟件比較

InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202325[大型FEM軟件比較]

第2節(jié)大型有限元軟件比較

InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202326[大型FEM軟件比較]

第2節(jié)大型有限元軟件比較

InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202327[大型FEM軟件比較]

第2節(jié)大型有限元軟件比較

InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202328有限元方法擔(dān)當(dāng)重任，在國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)中發(fā)揮了重大作用。經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，有限元法的應(yīng)用已由彈性力學(xué)平面問(wèn)題擴(kuò)展到空間問(wèn)題、板殼問(wèn)題，由靜力平衡問(wèn)題擴(kuò)展到穩(wěn)定問(wèn)題、動(dòng)力問(wèn)題和波動(dòng)問(wèn)題。分析的對(duì)象從彈性材料擴(kuò)展到塑性、粘彈性、粘塑性和復(fù)合材料等，從固體力學(xué)擴(kuò)展到流體力學(xué)、傳熱學(xué)、電磁學(xué)、聲學(xué)等連續(xù)介質(zhì)領(lǐng)域。在工程分析中的作用已從分析和校核擴(kuò)展到優(yōu)化設(shè)計(jì)，并和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)相結(jié)合。在短短的幾十年里，有限元方法已在機(jī)械、航空、航天、船舶、地下建筑、潮汐運(yùn)動(dòng)、地震、熱傳導(dǎo)、化學(xué)反應(yīng)中物質(zhì)的傳遞和擴(kuò)散以及流體和結(jié)構(gòu)相互作用等幾乎所有的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。[FEM應(yīng)用領(lǐng)域]第2節(jié)大型有限元軟件比較

InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202329[FEM應(yīng)用領(lǐng)域]

圖a

大教堂中心輪廓應(yīng)力分析第2節(jié)大型有限元軟件比較

InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202330[FEM應(yīng)用領(lǐng)域]

圖b電機(jī)定子磁場(chǎng)分析第2節(jié)大型有限元軟件比較

InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202331[FEM應(yīng)用領(lǐng)域]

圖c考慮地基的弓形大壩非線性分析第2節(jié)大型有限元軟件比較

InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation6/12/202332[FE