《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第7章 方差分析

2021/5/91第7章方差分析2021/5/92§7.1方差分析的基本思想2021/5/93方差分析是分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)一種重要方法。一個(gè)復(fù)雜的事物，往往要受到許多因素的影響和制約。例如工業(yè)生產(chǎn)中的原材料，工藝條件，工人的技術(shù)水平等，它們的改變可能會(huì)影響產(chǎn)品的質(zhì)量，如何通過(guò)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分析因素本身以及各因素之間的交互作用，找出對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量等特性指標(biāo)有顯著影響的那些因素，這是方差分析要解決的主要問(wèn)題之一。

2021/5/94一、基本概念

在方差分析中，我們把所考察的試驗(yàn)結(jié)果，如產(chǎn)品的質(zhì)量、數(shù)量、成本等，統(tǒng)稱為指標(biāo)，有X表示，由于試驗(yàn)誤差的存在，故X是隨機(jī)變量；稱影響我們所關(guān)心的某個(gè)指標(biāo)的原因?yàn)橐蛩兀ɑ蛞蜃樱Ｓ肁、B、C……來(lái)表示；稱因素在試驗(yàn)中所處的不同狀態(tài)為“水平”，因此A的m個(gè)不同水平用A1，A2，A3，…，Am來(lái)表示。2021/5/95當(dāng)只考慮一個(gè)因素時(shí)，稱相應(yīng)的方差分析為單因素方差分析；當(dāng)考慮兩個(gè)因素時(shí)，稱相應(yīng)的方差分析為雙因素方差分析；當(dāng)考慮更多個(gè)因素時(shí)，稱相應(yīng)的方差分析為多因素方差分析。由于多因素方差分析與雙因素方差分析相比并無(wú)本質(zhì)上的差別，因此本章僅限于討論前兩類問(wèn)題。

2021/5/96二、基本思想為了說(shuō)明方差分析的基本思想，我們先看一個(gè)例子。例7.1某燈泡廠用四種不同材料的燈絲制成四批燈泡，除燈絲不同外，其他生產(chǎn)材料和生產(chǎn)工藝完全相同。今由這四批燈泡中隨機(jī)地各抽取6只燈泡進(jìn)行壽命試驗(yàn)，結(jié)果如表7-1，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)，推斷燈泡使用壽命是否與燈絲材料不同而有顯著差異（取顯著性水平=0.05）？2021/5/97表7-1

2021/5/98從表7-1中數(shù)據(jù)可以看出，A1的平均壽命最長(zhǎng)，A4的平均壽命最短，A2，A3的平均壽命介于其間，我們是否由此可以得出燈泡壽命與燈絲材料不同而有顯著性差異的結(jié)論呢？不能，因?yàn)樵跓襞葜谱鞯倪^(guò)程中，除了工藝外，還有許多難以控制的隨機(jī)因素的影響，因此它們之間的差異可能是隨機(jī)誤差所造成的。要正確地回答上述問(wèn)題，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上可以采取顯著性檢驗(yàn)的方法來(lái)解決。

2021/5/99在方差分析中，為了數(shù)學(xué)上便于處理，總是假定樣本取自正態(tài)總體，且各個(gè)正態(tài)總體的方差都相等。我們把每一個(gè)水平看成一個(gè)總體，設(shè)對(duì)應(yīng)于因素A的m個(gè)不同水平Ai有總體xi~N(1,2)，即有：2021/5/910這里1=Ex1是xi的理論均值，1是隨機(jī)誤差，D1=

2，則方差分析所要解決的問(wèn)題就變成了檢驗(yàn)假說(shuō)Ho：2021/5/911如果我們能夠構(gòu)造一個(gè)可以用來(lái)檢驗(yàn)（7.2）的統(tǒng)計(jì)量，那么問(wèn)題就好解決了。怎樣來(lái)構(gòu)造這樣的統(tǒng)計(jì)量呢？由于試驗(yàn)數(shù)據(jù)的差異主要來(lái)自兩個(gè)方面：一是試驗(yàn)誤差，二是水平的改變（即條件變差）。因此，我們必須找出全部數(shù)據(jù)的總變差QT，并將它分解為樣本隨機(jī)變差QE和條件變差QA（對(duì)于QT、QA、QE具體的表達(dá)式，下面的內(nèi)容將逐一給出），在這個(gè)基礎(chǔ)之上，用QE和QA構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)多個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等。這就是方差分析的基本思想。在下面的內(nèi)容中我們將具體研究方差分析的方法。

2021/5/912§7.2單因素方差分析

設(shè)單因素A有m個(gè)水平A1，A2，…，Am，每個(gè)水平對(duì)應(yīng)一個(gè)總體xi~N(1,2)，方差分析就是要研究這些水平對(duì)指標(biāo)X的影響。記稱為理想總平均,1=1-為第i個(gè)水平Ai的效應(yīng)，顯然，從而有數(shù)學(xué)模型：2021/5/913對(duì)每個(gè)水平做獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，得樣本，再根據(jù)樣本判斷各個(gè)水平對(duì)指標(biāo)X的影響，即檢驗(yàn)假設(shè)或。當(dāng)然，對(duì)每個(gè)水平做重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)的重復(fù)次數(shù)可以是相同的，也可以是不相同的，從而就有等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析和不等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析。

2021/5/914二、單因素等重要試驗(yàn)的方差分析

對(duì)因素A的每個(gè)水平都做k次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，得樣本，見(jiàn)表7-2（其中xij,i=1，2，…，m;j=1，2，3，…，k，表示在水平A下的第j次試驗(yàn)結(jié)果）。2021/5/915表7-22021/5/916樣本總?cè)萘縩=mk。下面我們來(lái)構(gòu)造檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量，對(duì)上述假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)2021/5/917定理7.11.樣本總平均值

2.xi的樣本均值

3.總變差（總離差平方和）2021/5/9184.樣本變差（組內(nèi)離差平方和）

5.條件變差（組間離差平方和）

2021/5/919由于

2021/5/920這里,所以（7.4）以除（4）式的兩邊，得2021/5/921可以證明，當(dāng)Ho為真時(shí)，并且A與E相互獨(dú)立。 2021/5/922于是，由F分布的定義，我們可以得到統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)Ho為真時(shí)

其中分別是的自由度，這樣就可以得出方差分析的步驟：2021/5/9231．建立假設(shè)：或；2．選取統(tǒng)計(jì)量：2021/5/9243．給定顯著性水平，使,得拒絕域?yàn)椋?．列方差分析表，計(jì)算F0，并作判斷。

2021/5/9251）列出數(shù)據(jù)表（表7-3）表7-3數(shù)據(jù)表2021/5/9262）計(jì)算QA和QE：2021/5/927我們來(lái)證明（7.5）式：2021/5/928對(duì)于（7.6）式的證明類似，讀者自己完成。2021/5/9293）列方差分析表（見(jiàn)表7-4）。表7-4方差分析表

2021/5/9304）判斷：比較Fo與F(fA,,fE)的值，若Fo≥F，則拒絕Ho，即認(rèn)為因素A對(duì)指標(biāo)X的影響顯著，否則，接受Ho，即認(rèn)為A對(duì)X的影響不顯著。在實(shí)際應(yīng)用中，若Fo>F0.05，則可以認(rèn)為因素A的影響顯著；若Fo>F0.01，則認(rèn)為因素A的影響高度顯著；若Fo<F0.05，則可以認(rèn)為因素A的影響不大。

2021/5/931注：當(dāng)數(shù)據(jù)很大時(shí)，可作變換（a’,b’為非零常數(shù)），用新數(shù)據(jù)Yij代替xij所作的方差分析結(jié)果不變。2021/5/932例7.2求解例7.1中提出的問(wèn)題解：1o建立假設(shè)：Ho：

2o取

其中

m=4，k=6，mk=24。

fA

=m-1=3，fE=mk-m=20，

fT=mk-1=232021/5/9333o由，查下分布表得所以拒絕域是。4°列方差分析表并作判斷：

1）列數(shù)據(jù)表

令，得新的數(shù)據(jù)表7-5

2021/5/934表7-5表中a=11,b=3087/6,c=1655.2021/5/935

2）計(jì)算QA、QE

2021/5/936于是：3）列方差分析表（見(jiàn)表7-6）2021/5/937表7-62021/5/9384)判斷：由于Fo<F0.05（3.20）所以接受HO，即認(rèn)為燈泡使用壽命不因燈絲不同而有差異，此時(shí)，可選比較經(jīng)濟(jì)的確良材料作燈絲。2021/5/939三、單因素不等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析

不等式重復(fù)試驗(yàn)方差分析的基本步驟與等重試驗(yàn)方差分的的步驟是一樣的，僅是計(jì)算時(shí)略有不同，現(xiàn)將列方差分的表時(shí)，不同之處加以說(shuō)明。2021/5/940

設(shè)對(duì)因素A的各水平下做的重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)次數(shù)分別為n1,n2,n3,…nm，則試驗(yàn)總數(shù)（樣本總量），記第i水平下的第j次試驗(yàn)結(jié)果為Xij列數(shù)據(jù)表如表7-7。2021/5/941表7-72021/5/942計(jì)算QA和QE，并求它們的自由度2021/5/943

例7.3從某地四組碳酸鹽巖地層化學(xué)分析結(jié)果中，取某種化學(xué)成分，其數(shù)據(jù)（單位:PPm）如表7-8，問(wèn)這四組碳酸鹽巖地層的化學(xué)成分有元顯著差異（）？2021/5/944表7-82021/5/945解1°建立假設(shè)：

HO:M1=M2=M3=M4

2°取

其中

2021/5/9463°給定，查下分布表得F0.05(3.9)=3.86，從而得拒絕域：4°列方差分析表并作判斷：1）列數(shù)據(jù)表（表7-9）令yij=100Xij-138,，其中a=1,b=263,c=2932021/5/947表7-92021/5/9482)計(jì)算QA、QE：3）列方差分析表（表-10）2021/5/949表-10

2021/5/950

4）判斷：由于Fo>F0.05(3.9)，故拒絕Ho，即認(rèn)為四種碳酸雷巖的這種化學(xué)成分有顯著性差異。2021/5/951四、未知參數(shù)的估計(jì)

方差分析的結(jié)果只作出了拒絕Ho或接受Ho的結(jié)論，常常我們還需要對(duì)模型（7.3）中的未知參數(shù)M，σ2作出估計(jì)，若拒絕Ho，就是就至少存在某個(gè)δi≠0，這時(shí)需要對(duì)δi作出估計(jì)。2021/5/952

由于，所以M和δi的無(wú)偏估計(jì)為（n為樣本容量）。2021/5/953

并且可以證明QE/(n-m)是的無(wú)偏估計(jì)量，即。

在拒絕HO時(shí)，我們還可作出均值差Mi－Mk(I≠k)的區(qū)間估計(jì)2021/5/954由于2021/5/955于是有

2021/5/956

因?yàn)榉讲瞀?未知，我們求的1-2置倍區(qū)間時(shí)，只能選取隨機(jī)變量T，故置倍區(qū)間為

其中n是樣本容量，m是水平數(shù)，在實(shí)際應(yīng)用中，若取2021/5/957例7.4在例7.3中，試判斷哪種巖層含所求化學(xué)成分最高，并求第一、第四種均值差的95%置信氏間。解：由得可見(jiàn)，第二組巖層含該種化學(xué)成分最高。2021/5/958又2021/5/959于是，得M1－M4的95%的置位區(qū)間為（1.40－1.32±2.6220×0.0182×0.8660）=(0.0443,0.1157)。2021/5/960§7.3雙因素方差分析2021/5/961在上一節(jié)中我們討論了單因素試驗(yàn)的方差分析方法，但在許我的實(shí)際問(wèn)題中，更多的是雙因素試驗(yàn)，這時(shí)的方差分析，不僅要判斷各因素對(duì)指標(biāo)的影響是否顯著，還要考慮因素各水平之間的相互組合對(duì)指標(biāo)的影響——交互效應(yīng)，因此，雙因素方差分析較單因素方差分析要復(fù)雜得我。本節(jié)只討論雙因素方差分析較常見(jiàn)的兩種類型。2021/5/962一、無(wú)交互效應(yīng)的雙因素試驗(yàn)的方差分析設(shè)有兩個(gè)因素A和B，因素A有m個(gè)水平，A1，A2，A3…，Am,因素B有K個(gè)水平B1，B2…，Bk,如果因素A與因素B無(wú)交互效應(yīng)（或交互效應(yīng)很小，可以忽略不計(jì)），這時(shí)，只需要在各種水平下各作一次試驗(yàn)就可以進(jìn)行方差分析，共得m×k個(gè)試驗(yàn)結(jié)果Xij(i=1,2,3…,m,j=1,2,…k)列于表7-11中。2021/5/963表7-112021/5/964表中2021/5/965由于，試驗(yàn)數(shù)據(jù)要受到隨機(jī)因素干擾，故可設(shè)其中Mij是組水平下Ai×Bj下的理論均值，是相應(yīng)的誤碼差，并且mk個(gè)相互獨(dú)立。2021/5/966

記2021/5/967這里M稱為總平均（總體均值），Mi為Ai水平下組的總體均值，Mi為Bi水平下各組的總體均值；為Ai水平的效應(yīng)，水平的效應(yīng),的交互效應(yīng)，而因素A、B對(duì)指標(biāo)X的影響就表現(xiàn)在Mij-M，這個(gè)影響可以分解為三部分：一是，它反映了因素A單獨(dú)對(duì)指標(biāo)的影響；二是，它反映了因素B單獨(dú)對(duì)指標(biāo)的影響；三是它反映了A、B聯(lián)合起來(lái)對(duì)指標(biāo)的影響。2021/5/968顯然有關(guān)系式：如果因素A與因素B無(wú)交互效應(yīng)，即，于是就得到了無(wú)交互效應(yīng)的雙因素方差分析的數(shù)學(xué)模型：（7.7）

2021/5/969對(duì)于模型（7.7）要檢驗(yàn)因素A、B單獨(dú)對(duì)指標(biāo)的影響是非曲直否顯著，等價(jià)于分別檢驗(yàn)假設(shè)：2021/5/970

為了檢驗(yàn)假設(shè)，我們將總離差平方和（總變差）QT進(jìn)行分解：2021/5/971其中:2021/5/972在這里QA稱為因素A的平方和，它表示A效應(yīng)的變差，QB稱為因素B的平方和，它表示B效應(yīng)的變差，QE稱為誤差平方和，它表示除去A、B效應(yīng)后，xij的隨機(jī)誤差。令與單因素方差分析的方法一樣，可以分別構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量。2021/5/973可以證明，當(dāng)HOA成立時(shí)，有當(dāng)HOB成立時(shí)，有于是，對(duì)地給定的顯著性水平，可得HOA和HOB的拒絕域，分別為2021/5/974上述結(jié)果列成方差分析表7-122021/5/975為了更簡(jiǎn)單地建立方差分析表，各平方和可按下式計(jì)算：2021/5/976其中:2021/5/977例7.5釀造廠有三個(gè)化驗(yàn)員擔(dān)任發(fā)酵粉的顆粒檢驗(yàn)，今由三名化驗(yàn)員每天從該廠所生產(chǎn)的發(fā)酵粉中抽樣一次，共抽10天，分別化驗(yàn)其中所含顆粒的百分率，化驗(yàn)結(jié)果如表7-13，問(wèn)三名化驗(yàn)員化驗(yàn)技術(shù)有元顯著差異？這10天生產(chǎn)的發(fā)酵粉的顆粒百分率有無(wú)顯著差異（？2021/5/978表7-13其中A表示化驗(yàn)員，B表示日期2021/5/979解1°建立假設(shè)：

（即化驗(yàn)員的化驗(yàn)技術(shù)無(wú)顯著差異），（即10天生產(chǎn)的發(fā)酵粉的顆粒百分率無(wú)顯著差異）。由數(shù)據(jù)計(jì)算得2021/5/980則2021/5/9813°列方差分析表表7-142021/5/982

4°判斷：

，即三個(gè)化驗(yàn)員的化驗(yàn)技術(shù)沒(méi)有顯著差異。而拒絕HOB，即這10天生產(chǎn)的發(fā)酵粉的顆粒百分率有顯著差異。

2021/5/983二、有交互效應(yīng)的雙因素試驗(yàn)的方差分析在前在的內(nèi)容中我們已經(jīng)知道，如果因素A和因素B沒(méi)有交互效應(yīng)，則只需要在各種組合水平下各作一次試驗(yàn)就可以進(jìn)行方差分析，但是如果因素A與因素B有交互效應(yīng)，這時(shí)必須在各種組合水平下作重復(fù)試驗(yàn)方可進(jìn)行方差分析2021/5/984設(shè)對(duì)兩個(gè)因素A、B各水平的組合（Ai,Bj）都重復(fù)埂行γ次，試驗(yàn)所作的第K次試驗(yàn)數(shù)據(jù)記為：根據(jù)前面所講的內(nèi)容，這時(shí)的數(shù)學(xué)模型為：

（7.8）2021/5/985其中，各相互獨(dú)立，M1，和都是未知參數(shù)，且分別表示水平Ai

，Bj的效應(yīng)，表示水平Ai，Bj的交互效應(yīng)（即Ai

×Bj的效應(yīng)），且有2021/5/986對(duì)于模型（7.8）判斷因素A、B及其交互效應(yīng)的影響是否顯著，等價(jià)于檢驗(yàn)假設(shè)：2021/5/987這個(gè)問(wèn)題的討論，其基本思想與前面類似，仍然是先將總離差平方和（總變差）進(jìn)行分解：2021/5/988其中:2021/5/9892021/5/990記:2021/5/991于是有，

QA=a－m,QB=b－m,

QAB=c－a－b+m，

QE=d－c,QT=d－m2021/5/992可以證明QE僅依賴于隨機(jī)變差，而QA，QB和QAB除依賴于外，還分別依賴