中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題培優(yōu)專(zhuān)題1 一線三等角類(lèi)型問(wèn)題的探究 (含答案)

專(zhuān)題1一線三等角類(lèi)型問(wèn)題的探究題型剖析題型剖析如圖∠1=∠2=∠3，且它們的頂點(diǎn)在直線AB上，這就是一個(gè)一線三等角模型。模型分析：因?yàn)椤?=∠2=∠3，所以：∠ACE+∠AEC=∠CFB+∠BFC=∠ACE+∠BCF易得：∠ACE=∠CFB，∠AEC=∠FCB進(jìn)而有△AEC∽△BCF（這是相似三角形一個(gè)重要的判定，我們將在初三學(xué)習(xí)），如果再添加一組對(duì)應(yīng)邊相等，如CE=CF，或者是AE=BC，那么就有△AEC≌△BCF.1.題目中只要滿足“一線三等角”的條件，必相似；2.題目如果兩個(gè)條件：“一線三等角”和對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)條件，必全等。一線三等角類(lèi)型圖例剖析如圖1-1-1，∠ACB=∠D=∠E=90°，且∠CAB=45°SKIPIF1<0△ACD≌△CBE，此為“一線三直角”全等，又稱(chēng)“K字型”全等，適用于直角情況;如圖1-1-2，∠ACB=∠D=∠E=90°SKIPIF1<0△ACD∽△CBE，此為“一線三直角”相似，又稱(chēng)“K字型”相似，適用于直角;如圖1-1-2，∠ACB=∠D=∠E=90°SKIPIF1<0△ACD∽△CBE，此為“一線三直角”相似，又稱(chēng)“K字型”相似，適用于直角;4.如圖1-1-4，∠ACB=∠D=∠E=SKIPIF1<0°SKIPIF1<0△ACD∽△CBE，此為更一般的“一線三等角”適用于任何三角形.圖1-1-1圖1-1-2圖1-1-3圖1-1-4一線三等角構(gòu)造路線方式(一)：構(gòu)造“一線三等角”1.45o角SKIPIF1<0構(gòu)等腰直角三角形SKIPIF1<0造“一線三直角”全等，如圖1-2-1；圖1-2-12.30o角SKIPIF1<0構(gòu)直角三角形SKIPIF1<0造“一線三直角”相似，如圖1-2-2；圖1-2-23.tanα=k→構(gòu)直角三角形→造“一線三直角”相似，如圖1-2-3；圖1-2-3圖1-2-3典例賞析典例賞析類(lèi)型一：一線三等角下的證明例1.（1）問(wèn)題：如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，∠DPC=∠A=∠B=90°，求證：AD?BC=AP?BP．（2）探究如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立？說(shuō)明理由．（3）應(yīng)用：請(qǐng)利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題：如圖3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，由點(diǎn)A出了，沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且滿足∠DPC=∠A，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切時(shí)，求t的值．【分析】（1）如圖1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（2）如圖2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AE=BE=3，根據(jù)勾股定理可得DE=4，由題可得DC=DE=4，則有BC=5-4=1．易證∠DPC=∠A=∠B．根據(jù)AD?BC=AP?BP，就可求出t的值．類(lèi)型二：一線三等角下的函數(shù)問(wèn)題2.已知：如圖，AB⊥BC，AD//BC，AB=3，AD=2．點(diǎn)P在線段AB上，聯(lián)結(jié)PD，過(guò)點(diǎn)D作PD的垂線，與BC相交于點(diǎn)C．設(shè)線段AP的長(zhǎng)為x．（1）當(dāng)AP=AD時(shí)，求線段PC的長(zhǎng)；（2）設(shè)△PDC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)△APD∽△DPC時(shí)，求線段BC的長(zhǎng)．【分析】（1）求線段PC的長(zhǎng)，根據(jù)已知條件過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．AP=AD，PD⊥CD知道，可以先證明△APD∽△CDE，由比例關(guān)系式得出；（2）要求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，以及函數(shù)的定義域：根據(jù)實(shí)際情況證明△APD∽△CDE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出比例式，進(jìn)而得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．專(zhuān)題訓(xùn)練1.如圖，已知反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，5），若在該圖象上有一點(diǎn)P，使得∠AOP＝45°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．2.已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，點(diǎn)P、D分別在邊BC、AC上，AP2＝AD?AB，（1）求證：△ADP∽△APC；（2）求∠APD的正弦值．3.如圖3，已知拋物線與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，它與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，它對(duì)稱(chēng)軸是直線SKIPIF1<0.(1)求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式;(2)若拋物線上有一點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0坐標(biāo).4.如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0為射線SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0.（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，聯(lián)結(jié)SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的余切值；（2）當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出SKIPIF1<0的取值范圍；（3）聯(lián)結(jié)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為等腰三角形，求SKIPIF1<0的長(zhǎng).5．如圖，△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合．將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP＝AQ時(shí)，求證：△BPE≌△CQE；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：△BPE∽△CEQ；并求當(dāng)BP＝a，CQ＝時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離（用含a的代數(shù)式表示）．[來(lái)源:學(xué)+科+網(wǎng)]6．已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處．（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連結(jié)AP，OP，OA，若PC＝4，求邊AB的長(zhǎng)；（2）如圖2，若點(diǎn)P恰好是邊CD的中點(diǎn)，求∠AOB的度數(shù)；（3）如圖3，在（1）的條件下，擦去折痕AO、線段OP，連接BP．動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN＝PM，連接MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問(wèn)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)的過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明理由．若不變，求線段EF的長(zhǎng)度．7.如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0交射線AC于點(diǎn)F．（1）求AC和BC的長(zhǎng)；（2分）（2）當(dāng)SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)；（5分）（3）聯(lián)結(jié)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相似時(shí)，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．（7分）[來(lái)源:學(xué)?？?。網(wǎng)Z。X。X。K]8．如圖，在△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，O是AB上一點(diǎn)，AO：OB=2：5．（1）如圖（1），求點(diǎn)O到AC的距離：（2）如圖（2），若P是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥OP交線段BC于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q不與點(diǎn)B、C重合）．①若△AOP∽△PCQ，求AP的長(zhǎng)；②設(shè)AP=x，CQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．并寫(xiě)出函數(shù)定義域；③當(dāng)△OPQ∽△CPQ時(shí)，求AP長(zhǎng)．參考答案例1.（1）如圖1．∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°．∴∠ADP=∠BPC．∴△ADP∽△BPC．∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．∴AD?BC=AP?BP；（2）結(jié)論AD?BC=AP?BP仍然成立，理由如下：∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．∵∠DPC=∠A=∠B=θ，∴∠BPC=∠ADP．∴△ADP∽△BPC．∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．∴AD?BC=AP?BP；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3．由勾股定理可得DE=4．∵以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑的圓與AB相切，∴DC=DE=4．∴BC=5-4=1．又∵AD=BD，∴∠A=∠B．∴∠DPC=∠A=∠B．由（1），（2）的經(jīng)驗(yàn)可知AD?BC=AP?BP．∴5×1=t（6-t）．解得t1=1，t2=5，∴t的值為1秒或5秒．例2.解答：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．∵AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD//BC，∴∠ABC=∠AEC=∠PDC=90°，CE=AB=3．∵AD//BC，∴∠A+∠ABC=180°．即得∠A=90°．又∵∠ADC=∠DCE+∠DEC，∠ADC=∠ADP+∠PDC，∴∠ADP=∠DCE．又由∠A=∠DEC=90°，得△APD∽△DCE．∴SKIPIF1<0．于是，由AP=AD=2，得DE=CE=3．在Rt△APD和Rt△DCE中，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．于是，在Rt△PDC中，得SKIPIF1<0．（2）在Rt△APD中，由AD=2，AP=x，得SKIPIF1<0．∵△APD∽△DCE，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．在Rt△PCD中，SKIPIF1<0．∴所求函數(shù)解析式為SKIPIF1<0．函數(shù)的定義域?yàn)?<x≤3．（3）當(dāng)△APD∽△DPC時(shí)，即得△APD∽△DPC∽△DCE．根據(jù)題意，當(dāng)△APD∽△DPC時(shí)，有下列兩種情況：（?。┊?dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合時(shí)，可知∠APD=∠DPC．由△APD∽△DCE，得SKIPIF1<0．即得SKIPIF1<0．由△APD∽△DPC，得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．即得DE=AD=2．∴AE=4．易證得四邊形ABCE是矩形，∴BC=AE=4．（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，可知∠ABD=∠DBC．在Rt△ABD中，由AD=2，AB=3，得SKIPIF1<0．由△ABD∽△DBC，得SKIPIF1<0．即得SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0．∴△APD∽△DPC時(shí)，線段BC的長(zhǎng)分別為4或SKIPIF1<0．專(zhuān)題訓(xùn)練1.解：如圖，作AE⊥y軸于E，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OA′，作A′F⊥x軸于F，則△AOE≌△A′OF，可得OF＝OE＝5，A′F＝AE＝4，即A′（5，﹣4）．∵反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，5），所以由勾股定理可知：OA＝＝，∴k＝4×5＝20，∴y＝，∴AA′的中點(diǎn)K（，），∴直線OK的解析式為y＝x，由，解得或，∵點(diǎn)P在第一象限，∴P（6，），故答案為（6，）．2.（1）證明：∵AP2＝AD?AB，AB＝AC，∴AP2＝AD?AC，，∵∠PAD＝∠CAP，∴△ADP∽△APC，（2）解：∵△ADP∽△APC，∴∠APD＝∠ACB，作AE⊥BC于E，如圖所示：∵AB＝AC，∴CE＝×24＝12，∴AE＝＝5，∴sin∠APD＝sin∠ACB＝，3.解答.第(1)題易得此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為:SKIPIF1<0.第(2)題，我們可以從原圖中直接得出基本模型如圖4，易證SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0.將其代入拋物線的函數(shù)關(guān)系式，得SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0(舍)，∴點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0.4.解答:（1）∴SKIPIF1<0，∠SKIPIF1<0°∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0CCDABFEH（2）過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0可求得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又可證SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴若SKIPIF1<0為等腰三角形，只有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0兩種可能.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0（如圖①）可得：SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中點(diǎn)∴此時(shí)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合∴SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0（如圖②）可證：△SKIPIF1<0∽△SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0綜上所述，SKIPIF1<0為6或7.5．（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：連接PQ，∵△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ＝∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°，∴∠BEP＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴，∵BP＝a，CQ＝a，BE＝CE，∴，∴BE＝CE＝a，∴BC＝3a，∴AB＝AC＝BC?sin45°＝3a，∴AQ＝CQ﹣AC＝a，PA＝AB﹣BP＝2a，在Rt△APQ中，PQ＝＝a．6.解：（1）如圖1，設(shè)AB＝x，則PD＝x﹣4，AP＝AB＝x，由勾股定理得：82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，∴AB＝10；（2）如圖2，∵P是DC的中點(diǎn)，∴PD＝DC，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°，由折疊得：AB＝AP，∠PAO＝∠BAO，∴PD＝AP，∴∠DAP＝30°，∵∠DAB＝90°，∴∠PAO＝∠BAO＝（90°﹣30°）＝30°，∵∠B＝90°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°；（3）如圖3，過(guò)M作MQ∥AN，交PB于Q，則∠ABP＝∠MQP，∵AP＝AB，∴∠APB＝∠ABP，∴∠APB＝∠MQP，∴MP＝MQ，∵M(jìn)E⊥PQ，∴PE＝EQ＝PQ，∵BN＝MP，MP＝MQ，∴BN＝MQ，∵M(jìn)Q∥AN，∴∠QMF＝∠BNF，∵∠MFQ＝∠NFB，∴△MQF≌△NBF，∴QF＝BF，∴QF＝QB，∴EF＝EQ+QF＝PQ+QB＝PB，由（1）得：PB＝＝＝4，∴EF＝×＝2，∴在（1）的條件下，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)的過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度不變，長(zhǎng)度為2．7.（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0．易得SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0化簡(jiǎn)，得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0（負(fù)值舍去）∴SKIPIF1<0（3）過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0．易得SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0和SKIPIF1<