中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點復(fù)習(xí)題型06 幾何最值（復(fù)習(xí)講義）（解析版）

題型六幾何最值（復(fù)習(xí)講義）【考點總結(jié)|典例分析】解決幾何最值問題的理論依據(jù)有：①兩點之間線段最短；②垂線段最短；③三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊(重合時取到最值)；④定圓中的所有弦中，直徑最長；⑤圓外一點與圓心的連線上，該點和此直線與圓的近交點距離最短、遠交點距離最長.根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化從而減少變量是解決最值問題的關(guān)鍵，直接套用基本模型是解決幾何最值問題的高效手段.動點問題是初中數(shù)學(xué)階段的難點，它貫穿于整個初中數(shù)自數(shù)軸起始，至幾何圖形的存在性、幾何圖形的長度及面積的最值，函數(shù)的綜合類題目，無不包含其中.其中尤以幾何圖形的長度及面積的最值、最短路徑問題的求解最為繁瑣且靈活多變，而其中又有一些技巧性很強的數(shù)學(xué)思想（轉(zhuǎn)化思想），本專題以幾個基本的知識點為經(jīng)，以歷年來中考真題為緯，由淺入深探討此類題目的求解技巧及方法.考點01胡不歸胡不歸模型問題解題步驟如下；1、將所求線段和改寫為“PA+SKIPIF1<0PB”的形式（SKIPIF1<0<1），若SKIPIF1<0>1，提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決。2、在PB的一側(cè)，PA的異側(cè)，構(gòu)造一個角度α，使得sinα=SKIPIF1<03、最后利用兩點之間線段最短及垂線段最短解題【模型展示】如圖，一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使SKIPIF1<0的值最?。甋KIPIF1<0，記SKIPIF1<0，即求BC+kAC的最小值．構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。谇笮稳纭癙A+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．1.如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則SKIPIF1<0的最小值是()【答案】B【詳解】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA=SKIPIF1<0=2，設(shè)AE=a，BE=2a，則有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2SKIPIF1<0或-2SKIPIF1<0（舍棄），∴BE=2a=4SKIPIF1<0，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=4SKIPIF1<0（等腰三角形兩腰上的高相等））∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴SKIPIF1<0，∴DH=SKIPIF1<0BD，∴CD+SKIPIF1<0BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+SKIPIF1<0BD≥4SKIPIF1<0，∴CD+SKIPIF1<0BD的最小值為4SKIPIF1<0．故選B．考點02阿氏圓“阿氏圓”模型核心知識點是構(gòu)造母子型相似，構(gòu)造△PAB∽△CAP推出PA2SKIPIF1<0，即：半徑的平方=原有線段構(gòu)造線段?！灸Ｐ驼故尽咳缦聢D，已知A、B兩點，點P滿足PA：PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點P構(gòu)成的圖形為圓．（1）角平分線定理：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，則SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（2）外角平分線定理：如圖，在△ABC中，外角CAE的角平分線AD交BC的延長線于點D，則SKIPIF1<0．證明：在BA延長線上取點E使得AE=AC，連接BD，則△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．接下來開始證明步驟：如圖，PA：PB=k，作∠APB的角平分線交AB于M點，根據(jù)角平分線定理，SKIPIF1<0，故M點為定點，即∠APB的角平分線交AB于定點；作∠APB外角平分線交直線AB于N點，根據(jù)外角平分線定理，SKIPIF1<0，故N點為定點，即∠APB外角平分線交直線AB于定點；又∠MPN=90°，定邊對定角，故P點軌跡是以MN為直徑的圓．1.如圖，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D．連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是．【分析】首先對問題作變式2AD+3BD=SKIPIF1<0，故求SKIPIF1<0最小值即可．考慮到D點軌跡是圓，A是定點，且要求構(gòu)造SKIPIF1<0，條件已經(jīng)足夠明顯．當(dāng)D點運動到AC邊時，DA=3，此時在線段CD上取點M使得DM=2，則在點D運動過程中，始終存在SKIPIF1<0．問題轉(zhuǎn)化為DM+DB的最小值，直接連接BM，BM長度的3倍即為本題答案．2.如圖，已知正方ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，則SKIPIF1<0的最大值為_______．【分析】當(dāng)P點運動到BC邊上時，此時PC=2，根據(jù)題意要求構(gòu)造SKIPIF1<0，在BC上取M使得此時PM=1，則在點P運動的任意時刻，均有PM=SKIPIF1<0，從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值．連接PD，對于△PDM，PD-PM＜DM，故當(dāng)D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值．考點03費馬點費馬點”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距高之和最短的點。主要分為兩種情況：（1）當(dāng)三角形三個內(nèi)角都小于120°的三角形，通常將某三角形繞點旋轉(zhuǎn)60度，從而將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化在同一條直線上，利用兩點之間線段最短解決問題。（2）當(dāng)三角形有一個內(nèi)角大于120°時，費馬點就是此內(nèi)角的頂點.費馬點問題解題的核心技巧：旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化至同一直線上利用兩點之間線段最短求解問題【模型展示】問題：在△ABC內(nèi)找一點P，使得PA+PB+PC最?。痉治觥吭谥暗淖钪祮栴}中，我們解決的依據(jù)有：兩點之間線段最短、點到直線的連線中垂線段最短、作對稱化折線段為直線段、確定動點軌跡求最值等．（1）如圖，分別以△ABC中的AB、AC為邊，作等邊△ABD、等邊△ACE．（2）連接CD、BE，即有一組手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）記CD、BE交點為P，點P即為費馬點．（到這一步其實就可以了）（4）以BC為邊作等邊△BCF，連接AF，必過點P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．在圖三的模型里有結(jié)論：（1）∠BPD=60°；（2）連接AP，AP平分∠DPE．有這兩個結(jié)論便足以說明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．原來在“手拉手全等”就已經(jīng)見過了呀，只是相逢何必曾相識！1.如圖，將SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，可推出結(jié)論：SKIPIF1<0問題解決：如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)一點，則點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0三個頂點的距離和的最小值是___________【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖，將△MOG繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MPQ，顯然△MOP為等邊三角形，∴，OM＋OG＝OP＋PQ，∴點O到三頂點的距離為：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，∴當(dāng)點N、O、P、Q在同一條直線上時，有ON＋OM＋OG最小，此時，∠NMQ＝75°+60°＝135°，過Q作QA⊥NM交NM的延長線于A，則∠MAQ=90°，∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，∵MQ＝MG＝4SKIPIF1<0，∴AQ＝AM＝MQ?cos45°=4，∴NQ＝SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.2、如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.EEADBCNM⑴求證：△AMB≌△ENB；⑵①當(dāng)M點在何處時，AM＋CM的值最小；②當(dāng)M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；⑶當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為SKIPIF1<0時，求正方形的邊長.【答案】（1）△AMB≌△ENB，證明略。（2）①當(dāng)M點落在BD的中點時，AM＋CM的值最小.②連接CE，當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，圖略（3）SKIPIF1<0【解析】解：⑴∵△ABE是等邊三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）⑵①當(dāng)M點落在BD的中點時，AM＋CM的值最?、谌鐖D，連接CE，當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，F(xiàn)FEADBCNMAM＋BM＋CM的值最小理由如下：連接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等邊三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM根據(jù)“兩點之間線段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長⑶過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.設(shè)正方形的邊長為x，則BF＝SKIPIF1<0x，EF＝SKIPIF1<0.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（SKIPIF1<0）2＋（SKIPIF1<0x＋x）2＝SKIPIF1<0解得，x＝SKIPIF1<0（舍去負值）.∴正方形的邊長為SKIPIF1<0考點04瓜豆原理動點的軌跡為定圓時，可利用：“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。確定動點軌跡為圓或者圓弧型的方法:（1）動點到定點的距離不變，則點的軌跡是圓或者圓弧。（2）當(dāng)某條邊與該邊所對的角是定值時，該角的頂點的軌跡是圓，具體運用如下;=1\*GB3①見直角，找斜邊，想直徑，定外心，現(xiàn)圓形=2\*GB3②見定角，找對邊，想周角，轉(zhuǎn)心角，現(xiàn)圓形【知識精講】如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．考慮：當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小結(jié)】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，由Q為AP中點可得：AM=1/2AO．Q點軌跡相當(dāng)于是P點軌跡成比例縮放．根據(jù)動點之間的相對位置關(guān)系分析圓心的相對位置關(guān)系；根據(jù)動點之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考慮：當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？【分析】Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點軌跡與P點軌跡都是圓．接下來確定圓心與半徑．考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運動時，Q點軌跡是？【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動點P、Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”．此類問題的必要條件：兩個定量主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．【結(jié)論】（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮．古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．1.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC上的動點，將ΔEBF沿EF所在直線折疊得到ΔEB'F，連接B'D，則B'D的最小值是_____．【答案】SKIPIF1<0.【詳解】如圖所示點B'在以E為圓心EA為半徑的圓上運動，當(dāng)D、B'、E共線時，B'D的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，△EBF≌△EB'F，∴∠B=∠EB'F，EB'=EB．∵E是AB邊的中點，AB=4，∴AE=EB'=2．∵AD=6，∴DESKIPIF1<02SKIPIF1<0，∴B'D=2SKIPIF1<02．故答案為2SKIPIF1<02．2.如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點D是直線AB上一點．將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連結(jié)BE．（1）若點D在AB邊上（不與A，B重合）請依題意補全圖并證明AD=BE；（2）連接AE，當(dāng)AE的長最小時，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0【詳解】解：（1）補全圖形如圖1所示，AD=BE，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE．

（2）如圖2，過點A作AF⊥EB交EB延長線于點F．

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE=∠A=60°，

∴點E的運動軌跡是直線BE，

根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)點E與F重合時，AE的值最小，

此時CD=CE=CF，

∵∠ACB=∠CBE=60°，

∴AC∥EF，

∵AF⊥BE，

∴AF⊥AC，在Rt△ACF中，

∴CF=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴CD=CF=SKIPIF1<0.考點05將軍飲馬1.兩定（異側(cè)），一動2.兩定（同側(cè)），一動3.一定，兩動4.兩動，兩動知識提煉：折線問題→→→（利用軸對稱的性質(zhì)）→→→兩點間線段最短問題1.如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，動點P滿足S△PAB＝SKIPIF1<0S矩形ABCD，則點P到A，B兩點距離之和PA+PB的最小值為．【答案】241【解析】解：設(shè)△ABP中AB邊上的高是h．∵S△PAB＝13S矩形ABCD∴12AB?h＝13AB?∴h＝23AD∴動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關(guān)于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝AB2+AE2＝即PA+PB的最小值為241．故答案為：241．2.如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE＝2，當(dāng)EF＋CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為多少？【答案】∠ECF＝30o【解析】解：過E作EM∥BC，交AD于N，如圖所示：∵AC＝4，AE＝2，