軸向拉伸與壓縮課件

第八章軸向拉伸與壓縮工程力學(xué)§8–1引言§8–2軸力及軸力圖§8–3拉壓桿的應(yīng)力與圣維南原理§8–4材料在拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性能§8–5集中應(yīng)力概念§8–6失效、許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件§8–7胡克定律與拉壓桿的變形§8–8簡單拉壓靜不定問題§8–9連接部分的強(qiáng)度計(jì)算

第八章軸向拉伸與壓縮§8–1引言軸向拉壓的外力特點(diǎn)：外力的合力作用線與桿的軸線重合。一、概念軸向拉壓的變形特點(diǎn)：桿的變形主要是軸向伸縮，伴隨橫向縮擴(kuò)。軸向拉伸：桿的變形是軸向伸長，橫向縮短。軸向壓縮：桿的變形是軸向縮短，橫向變粗。軸向壓縮，對(duì)應(yīng)的力稱為壓力。軸向拉伸，對(duì)應(yīng)的力稱為拉力。力學(xué)模型如圖工程實(shí)例二、一、內(nèi)力

指由外力作用所引起的、物體內(nèi)相鄰部分之間分布內(nèi)力系的合成（附加內(nèi)力）?！?–2軸力及軸力圖1.軸力——軸向拉壓桿的內(nèi)力，用N表示。APP簡圖APPPAFN截開：代替：①反映出軸力與截面位置變化關(guān)系，較直觀；②確定出最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置，即確定危險(xiǎn)截面位置，為強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。3、軸力圖——FN

(x)的圖象表示。軸力的正負(fù)規(guī)定:

FN

與外法線同向,為正軸力(拉力)FN與外法線反向,為負(fù)軸力(壓力)FN>0FNFNFN<0FNFNFNxP+意義2.軸力計(jì)算——利用截面法計(jì)算軸力。[例1]圖示桿的A、B、C、D點(diǎn)分別作用著大小為5P、8P、4P、

P

的力，方向如圖，試畫出桿的軸力圖。解：求OA段內(nèi)力FN1：設(shè)置截面如圖ABCDPAPBPCPDOABCDPAPBPCPDFN1同理，求得AB、BC、CD段內(nèi)力分別為：FN2=–3P

FN3=5PFN4=P軸力圖如右圖BCDPBPCPDFN2CDPCPDFN3DPDFN4FNx2P3P5PP++–軸力(圖)的簡便求法：自左向右:軸力圖的特點(diǎn)：突變值=集中載荷遇到向左的P，軸力N增量為正；遇到向右的P，軸力N增量為負(fù)。5kN8kN3kN+–3kN5kN8kN解：x坐標(biāo)向右為正，坐標(biāo)原點(diǎn)在自由端。取左側(cè)x段為對(duì)象，內(nèi)力N(x)為：qq

LxO[例2]圖示桿長為L，受分布力q=kx

作用，方向如圖，試畫出桿的軸力圖。Lq(x)Nxxq(x)FNxO–變形前1.變形規(guī)律試驗(yàn)及平面假設(shè)：平面假設(shè)：原為平面的橫截面在變形后仍為平面?？v向纖維變形相同。abcd受載后PPd′a′c′b′一、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力§8–3拉壓桿的應(yīng)力與圣維南原理均勻材料、均勻變形，內(nèi)力當(dāng)然均勻分布。2.拉伸應(yīng)力：sFN(x)P軸力引起的正應(yīng)力——

：在橫截面上均布。正應(yīng)力與軸力有相同的正負(fù)號(hào)，即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。二、拉(壓)桿斜截面上的應(yīng)力設(shè)有一等直桿受拉力P作用。求：斜截面k-k上的應(yīng)力。PPkka解：采用截面法由平衡方程：則：Aa：斜截面面積；Pa：斜截面上內(nèi)力。由幾何關(guān)系：代入上式，得：即，斜截面上全應(yīng)力：PkkaPaPPkka斜截面上全應(yīng)力：PkkaPa分解：pa=反映：通過構(gòu)件上一點(diǎn)不同截面上應(yīng)力變化情況。當(dāng)=90°時(shí)，當(dāng)=0,90°時(shí)，當(dāng)=0°時(shí)，(橫截面上存在最大正應(yīng)力)當(dāng)=±45°時(shí)，(45°斜截面上剪應(yīng)力達(dá)到最大)tasaa2、單元體：單元體—構(gòu)件內(nèi)的點(diǎn)的代表物，是包圍被研究點(diǎn)的無限小的幾何體，常用的是正六面體。

單元體的性質(zhì)—a、平行面上，應(yīng)力均布；

b、平行面上，應(yīng)力相等。3、拉壓桿內(nèi)一點(diǎn)M

的應(yīng)力單元體:

1.一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：過一點(diǎn)有無數(shù)的截面，這一點(diǎn)的各個(gè)截面上的應(yīng)力情況，稱為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。補(bǔ)充：sPMssss取分離體如圖3，a逆時(shí)針為正；ta繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正；由分離體平衡得：4、拉壓桿斜截面上的應(yīng)力sssstasaxs0圖3(紅色實(shí)線為變形前的線，紅色虛線為紅色實(shí)線變形后的形狀。)應(yīng)力分布示意圖：三.圣維南（Saint-Venant）原理：

離開載荷作用處一定距離，應(yīng)力分布與大小不受外載荷作用方式的影響。例1

直徑為d=1cm

桿受拉力P=10kN的作用，試求最大切應(yīng)力，并求與橫截面夾角30°的斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。解：拉壓桿斜截面上的應(yīng)力，直接由公式求之：§8－4材料在拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性能一、試驗(yàn)條件及試驗(yàn)儀器1、試驗(yàn)條件：常溫(20℃)；靜載（及其緩慢地加載）；

標(biāo)準(zhǔn)試件。dh力學(xué)性能：材料在外力作用下表現(xiàn)的有關(guān)強(qiáng)度、變形方面的特性。2、試驗(yàn)儀器：萬能材料試驗(yàn)機(jī)；變形儀（常用引伸儀）。二、低碳鋼試件的拉伸圖(P--L圖)三、低碳鋼試件的應(yīng)力--應(yīng)變曲線(--圖)(一)低碳鋼拉伸的線性階段(oe段)1、op--比例段:

p--比例極限2、pe--曲線段:

e--彈性極限(二)低碳鋼拉伸的屈服(流動(dòng)）階段(es

段)

es--屈服段:s---屈服極限滑移線：塑性材料的失效應(yīng)力:s

。２、卸載定律：１、ｂ---強(qiáng)度極限３、冷作硬化：４、冷拉時(shí)效：(三)、低碳鋼拉伸的硬化階段(ｓｂ段)1、伸長率:2、斷面收縮率：3、脆性、塑性及相對(duì)性(四)、低碳鋼拉伸的頸縮（斷裂）階段(bf段)四、無明顯屈服現(xiàn)象的塑性材料0.2s0.2名義屈服應(yīng)力:

0.2

，即此類材料的失效應(yīng)力。五、鑄鐵拉伸時(shí)的機(jī)械性能ｂL---鑄鐵拉伸強(qiáng)度極限（失效應(yīng)力）六、材料壓縮時(shí)的機(jī)械性能ｂy---鑄鐵壓縮強(qiáng)度極限；

ｂy

（4—6）ｂL

七、溫度對(duì)材料力學(xué)性能的影響試驗(yàn)表明，溫度對(duì)材料的力學(xué)性能存在很大影響。§8－5應(yīng)力集中概念

在截面尺寸突變處，應(yīng)力急劇變大。一、應(yīng)力集中abcPP

應(yīng)力集中：由于截面急劇變化所引起的應(yīng)力局部增大的現(xiàn)象。二、應(yīng)力集中對(duì)構(gòu)件強(qiáng)度的影響

應(yīng)力集中的程度用應(yīng)力集中因數(shù)

K

表示，其定義為

式中：為名義應(yīng)力；為最大局部應(yīng)力

（1）對(duì)于由脆性材料制成的構(gòu)件，應(yīng)力集中現(xiàn)象將一直保持到最大局部應(yīng)力到達(dá)強(qiáng)度極限之前，因此，在設(shè)計(jì)脆性材料構(gòu)件時(shí)，應(yīng)考慮應(yīng)力集中的影響。

（2）對(duì)于由塑性材料制成的構(gòu)件，應(yīng)力集中對(duì)其在靜載荷作用下的強(qiáng)度幾乎無影響，因此，在研究塑性材料構(gòu)件的靜強(qiáng)度問題時(shí)，通?？梢圆豢紤]應(yīng)力集中的影響。

（3）試驗(yàn)表明，應(yīng)力集中促使疲勞裂紋的形成和擴(kuò)展，因而對(duì)構(gòu)件（無論是塑性還是脆性材料）的疲勞強(qiáng)度影響極大。因此，在工程設(shè)計(jì)中，要特別注意減小構(gòu)件的應(yīng)力集中。

交變應(yīng)力：在機(jī)械和工程結(jié)構(gòu)中，許多構(gòu)件常常受到隨時(shí)間循環(huán)變化的應(yīng)力，即所謂交變應(yīng)力或循

環(huán)應(yīng)力。

疲勞破壞：在交變應(yīng)力作用下，材料或構(gòu)件產(chǎn)生可見裂紋或完全斷裂的現(xiàn)象，稱為疲勞破壞。許用應(yīng)力與極限應(yīng)力的關(guān)系為：

極限應(yīng)力：通常將強(qiáng)度極限與屈服極限應(yīng)力統(tǒng)稱為材料的

極限應(yīng)力，并用表示。§8－6失效、許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件

工作應(yīng)力：根據(jù)分析計(jì)算所得構(gòu)件之應(yīng)力，稱為工作應(yīng)力。

許用應(yīng)力：對(duì)于一定材料制成的具體構(gòu)件，工作應(yīng)力允許的最大允許值，稱為許用應(yīng)力，并用表示。[]式中，n

為大于1的因數(shù)，稱為安全因數(shù)。

一、失效與許用應(yīng)力

二、強(qiáng)度條件（StrengthDesign）：

其中：[]--許用應(yīng)力，max--危險(xiǎn)點(diǎn)的最大工作應(yīng)力。②設(shè)計(jì)截面尺寸：依強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算：

保證構(gòu)件不發(fā)生強(qiáng)度破壞并有一定安全余量的條件準(zhǔn)則。①校核強(qiáng)度：③許可載荷：

[例2]已知一圓桿受拉力P=25kN，直徑d=14mm，許用應(yīng)力

[]=170MPa，試校核此桿是否滿足強(qiáng)度要求。解：①軸力：FN

=P

=25kN②應(yīng)力：③強(qiáng)度校核：④結(jié)論：此桿滿足強(qiáng)度要求，能夠正常工作。[例3]

已知三鉸屋架如圖，承受豎向均布載荷，載荷的分布集度為：q

=4.2kN/m，屋架中的鋼拉桿直徑d=16mm，許用應(yīng)力[]=170MPa。試校核剛拉桿的強(qiáng)度。鋼拉桿4.2mq8.5m①整體平衡求支反力解：鋼拉桿8.5mq4.2mRARBHA③應(yīng)力：④強(qiáng)度校核與結(jié)論：

此桿滿足強(qiáng)度要求，是安全的。②局部平衡求軸力：

qRAHARCHCN[例4]簡易起重機(jī)構(gòu)如圖，AC為剛性梁，吊車與吊起重物總重為P，為使BD桿最輕，角應(yīng)為何值？已知BD

桿的許用應(yīng)力為[]。分析：xLhqPABCD

BD桿面積A：解：

BD桿內(nèi)力FBD：取AC為研究對(duì)象，如圖YAXAqFBDxLPABCYAXAqFBDxLPABC③求VBD

的最小值：1、桿的縱向總變形：3、平均正應(yīng)變：2、正應(yīng)變：單位長度的線變形。一、縱（軸）向變形與線應(yīng)變abcdL§8–7胡克定律與拉壓桿的變形4、x點(diǎn)處的縱向正應(yīng)變：6、x點(diǎn)處的橫向正應(yīng)變：5、桿的橫向變形：PPd′a′c′b′L1二、胡克定律（拉壓桿的彈性定律）※“EA”稱為截面的抗拉（或抗壓）剛度。PP1、定義：對(duì)于工程中使用的大多數(shù)材料，當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比，其表達(dá)式為

稱為拉伸或壓縮的胡克定律。其中E

稱為材料拉伸（壓縮）彈性模量。

由于則有FN(x)dxx2、變內(nèi)力拉壓桿的胡克定律內(nèi)力和橫截面面積在n段中分別為常量時(shí)三、橫向變形泊松比（或橫向變形系數(shù)）

當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng)變之比的絕對(duì)值是一常數(shù)，即

稱為泊松比（或橫向變形系數(shù)）四、疊加原理

疊加原理：幾個(gè)載荷同時(shí)作用產(chǎn)生的效果，等于各載荷

單獨(dú)作用產(chǎn)生的效果的總和。

允許應(yīng)用疊加法的一般條件：

需要計(jì)算的物理量（如內(nèi)力、應(yīng)力、變形等）必須是載荷的線性齊次函數(shù)。C'1、怎樣畫小變形放大圖？變形圖嚴(yán)格畫法，圖中弧線；求各桿的變形量△Li

，如圖；變形圖近似畫法，圖中弧之切線。例3

小變形放大圖與位移的求法。ABCL1L2PC"2、寫出圖2中B點(diǎn)位移與兩桿變形間的關(guān)系A(chǔ)BCL1L2B'解：變形圖如圖2，B點(diǎn)位移至B'點(diǎn)，由圖知：例4

設(shè)橫梁ABCD為剛梁，橫截面面積為76.36mm2

的鋼索繞過無摩擦的定滑輪。設(shè)P=20kN，試求剛索的應(yīng)力和C點(diǎn)的垂直位移。設(shè)剛索的E=177GPa。解：方法1：小變形放大圖法

1）求鋼索內(nèi)力：以ABCD為對(duì)象2)鋼索的應(yīng)力和伸長分別為：800400400DCPAB60°60°PABCDTTYAXACPAB60°60°800400400DAB60°60°DB'D'C3）變形圖如左圖,C點(diǎn)的垂直位移為：§8－8簡單拉壓靜不定問題1、靜不定問題：單憑靜平衡方程不能確定出全部未知力（外力、內(nèi)力、應(yīng)力）的問題。未知力多于平衡方程的數(shù)目稱為靜不定次數(shù)。一、靜不定問題及其處理方法2、靜不定的處理方法：1）確定平衡方程，并確定超靜定次數(shù)。2）找出變形協(xié)調(diào)條件并變形協(xié)調(diào)方程。3）根據(jù)未知力與變形間的物理關(guān)系建立物理方程。4）通過物理方程將變形協(xié)調(diào)方程改寫成補(bǔ)充方程。5）聯(lián)立求解補(bǔ)充方程與平衡方程，即可算出全部未知力。平衡方程；

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程；

物理方程——彈性定律；

補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得；

解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。3、靜不定問題的方法步驟：例8

設(shè)1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長為：L1=L2、

L3=L

；各桿面積為A1=A2=A、A3

；各桿彈性模量為：E1=E2=E、E3。外力沿鉛垂方向，求各桿的內(nèi)力。CPABD123解：、平衡方程:PAFN1FN3FN2幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程：物理方程——彈性定律：補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得。解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組，得:CABD123A1例9

木制短柱的四角用四個(gè)40404的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應(yīng)力分別為[]1=160MPa和[]2=12MPa，彈性模量分別為E1=200GPa

和E2=10GPa；求許可載荷P。幾何方程物理方程及補(bǔ)充方程：解：平衡方程:PPy4FN1FN2PPy4N1N2

解平衡方程和補(bǔ)充方程，得:求結(jié)構(gòu)的許可載荷：

方法1:角鋼面積由型鋼表查得:A1=3.086cm2所以在△1=△2

的前提下，角鋼將先達(dá)到極限狀態(tài)，即角鋼決定最大載荷。求結(jié)構(gòu)的許可載荷：另外：若將鋼的面積增大5倍，怎樣？若將木的面積變?yōu)?5mm，又怎樣？結(jié)構(gòu)的最大載荷永遠(yuǎn)由鋼控制著。方法2:靜定問題無溫度應(yīng)力。二、溫度應(yīng)力

如圖，1、2號(hào)桿的尺寸及材料都相同，當(dāng)結(jié)構(gòu)溫度由T1變到T2時(shí),求各桿的溫度內(nèi)力。（各桿的線膨脹系數(shù)分別為i;△T=T2-T1)ABC12CABD123A1靜不定問題存在溫度應(yīng)力。溫度應(yīng)力：在靜定結(jié)構(gòu)中，桿件的伸縮受到部分或全部約束，溫度變化將會(huì)引起內(nèi)力，和它相應(yīng)的應(yīng)力即為溫度應(yīng)力。CABD123A1、幾何方程解：、平衡方程:、物理方程：PAFN1FN3FN2CABD123A1、補(bǔ)充方程解平衡方程和補(bǔ)充方程，得:

aaaaFN1FN2例10

如圖，階梯鋼桿的上下兩端在T1=5℃

時(shí)被固定,桿的上下兩段的面積分別

=cm2，

=cm2，當(dāng)溫度升至T2

=25℃時(shí),求各桿的溫度應(yīng)力。

(線膨脹系數(shù)=12.5×；

彈性模量E=200GPa)、幾何方程：解：、平衡方程：、物理方程解平衡方程和補(bǔ)充方程，得:、補(bǔ)充方程、溫度應(yīng)力解：變形量可能已超出了“線彈性”范圍，故，不可再應(yīng)用“彈性定律”。應(yīng)如下計(jì)算：例11銅絲直徑d=2mm，長L=500mm，材料的拉伸曲線如圖所示。如欲使銅絲的伸長為30mm，則大約需加多大的力P？

由拉伸圖知：s(MPa)e(%)、幾何方程解：、平衡方程:靜不定問題存在裝配應(yīng)力。三、裝配應(yīng)力——預(yù)應(yīng)力靜定問題無裝配應(yīng)力。

如圖，3號(hào)桿的尺寸誤差為，求各桿的裝配內(nèi)力。ABC12ABC12DA13由于強(qiáng)行裝配而引起的內(nèi)力稱為裝配內(nèi)力，與之相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力叫裝配應(yīng)力。、物理方程及補(bǔ)充方程：

、解平衡方程和補(bǔ)充方程，得:dA1FN1FN2FN3AA1剪應(yīng)力的產(chǎn)生§8－9連接部分的強(qiáng)度計(jì)算一、連接件的受力特點(diǎn)和變形特點(diǎn)：1、連接件

在構(gòu)件連接處起連接作用的部件，稱為連接件。例如：螺栓、鉚釘、鍵等。連接件雖小，起著傳遞載荷的作用。特點(diǎn)：可傳遞一般力，可拆卸。PP螺栓PP鉚釘特點(diǎn)：可傳遞一般力，不可拆卸。如橋梁桁架結(jié)點(diǎn)處于它連接。無間隙m軸鍵齒輪特點(diǎn)：傳遞扭矩。2、受力特點(diǎn)和變形特點(diǎn)：nn（合力）（合力）PP以鉚釘為例：①受力特點(diǎn)：構(gòu)件受兩組大小相等、方向相反、作用線相互很近（差一個(gè)幾何平面）的平行力系作用。②變形特點(diǎn)：構(gòu)件沿兩組平行力系的交界面發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。nn（合力）（合力）PP③剪切面：構(gòu)件將發(fā)生相互的錯(cuò)動(dòng)面，如n–n

。④剪切面上的內(nèi)力：內(nèi)力—剪力Fs

，其作用線與剪切面平行。PnnFs剪切面nn（合力）（合力）PP3、連接處破壞三種形式：