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文檔簡介
2021/5/912021/5/922021/5/931.不等式的證明方法——反證法(1)反證法證明的定義:先假設(shè)要證明的命題不成立,然后由
出發(fā),結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等,進(jìn)行
,得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論,以說明
不成立,從而證明原命題成立.(2)反證法證明不等式的一般步驟:①假設(shè)命題不成立;②依據(jù)假設(shè)推理論證;③推出矛盾以說明
,從而斷定原命題成立.此假設(shè)正確的推理假設(shè)假設(shè)不成立2021/5/942.不等式的證明方法——放縮法放縮法證明的定義:證明不等式時(shí),通常把不等式中的某些部分的值
或
,簡化不等式,從而達(dá)到證明的目的.3.放縮法的理論依據(jù)主要有(1)不等式的傳遞性;(2)等量加不等量為
;(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較.放大縮小不等量2021/5/952021/5/962021/5/972021/5/98(1)反證法適用范圍:凡涉及不等式為否定性命題,唯一性、存在性命題可考慮反證法.如證明中含“至多”,“至少”,“不能”等詞語的不等式.(2)注意事項(xiàng):在對原命題進(jìn)行否定時(shí),應(yīng)全面、準(zhǔn)確,不能漏掉情況,反證法體現(xiàn)了“正難則反”的策略,在解題時(shí)要靈活應(yīng)用.2021/5/991.實(shí)數(shù)a,b,c不全為0的等價(jià)條件為 (
)A.a(chǎn),b,c均不為0B.a(chǎn),b,c中至多有一個(gè)為0C.a(chǎn),b,c中至少有一個(gè)為0D.a(chǎn),b,c中至少有一個(gè)不為0解析:“不全為0”是對“全為0”的否定,與其等價(jià)的是“至少有一個(gè)不為0”.答案:D2021/5/9102.證明:三個(gè)互不相等的正數(shù)a、b、c成等差數(shù)列,則a,b,c不可能成等比數(shù)列.證明:假設(shè)a,b,c成等比數(shù)列,則b2=ac.又∵a、b、c成等差數(shù)列∴a=b-d,c=b+d(其中d公差).∴ac=b2=(b-d)(b+d).∴b2=b2-d2.∴d2=0,∴d=0.這與已知中a、b、c互不相等矛盾.∴假設(shè)不成立.∴a、b、c不可能成等比數(shù)列.2021/5/9113.已知函數(shù)y=f(x)在R上是增函數(shù),且f(a)+f(-b)<f(b)+f(-a),求證:a<b.證明:假設(shè)a<b不成立,則a=b或a>b.當(dāng)a=b時(shí),-a=-b則有f(a)=f(b),f(-a)=f(-b),于是f(a)+f(-b)=f(b)+f(-a)與已知矛盾.當(dāng)a>b時(shí),-a<-b,由函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性可得f(a)>f(b),f(-b)>f(-a)于是有f(a)+f(-b)>f(b)+f(-a)與已知矛盾.故假設(shè)不成立.∴a<b.2021/5/9122021/5/9132021/5/9142021/5/915(1)利用放縮法證明不等式,要根據(jù)不等式兩端的特點(diǎn)及已知條件(條件不等式),審慎地采取措施,進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s,任何不適宜的放縮都會導(dǎo)致推證的失?。?2)一定要熟悉放縮法的具體措施及操作方法,利用放縮法證明不等式,就是采取舍掉式中一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng),或者在分式中放大或縮小分子、分母,或者把和式中各項(xiàng)或某項(xiàng)換以較大或較小的數(shù),從而達(dá)到證明不等式的目的.2021/5/9162021/5/9175.設(shè)f(x)=x2-x+13,a,b∈[0,1],求證:|f(a)-f(b)|<|a-b|.證明:|f(a)-f(b)|=|a2-a-b2+b|=|(a-b)(a+b-1)|=|a-b||a+b-1|∵0≤a≤1,0≤b≤1∴0≤a+b≤2,-1≤a+b-1≤1,|a+b-1|≤1
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