2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)試卷【含答案】

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新高考全國(guó)Ⅱ卷）數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設(shè)集合，，若，則（）．A.2 B.1 C. D.3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）．A.種 B.種C.種 D.種4.若為偶函數(shù)，則（）．A. B.0 C. D.15.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（）．A. B. C. D.6.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）．A B.e C. D.7.已知為銳角，，則（）．A B. C. D.8.記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（）．A120 B.85 C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（）．A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側(cè)面積為C. D.的面積為10.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（）．A. B.C.以MN為直徑的圓與l相切 D.為等腰三角形11.若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（）．A. B. C. D.12.在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D.當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知向量，滿足，，則______．14.底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為_(kāi)_____．15.已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“面積為”的m的一個(gè)值______．16.已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則______．四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．（1）若，求；（2）若，求．18.已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．19.某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）當(dāng)漏診率％時(shí)，求臨界值c和誤診率；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．20.如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．21.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．（1）求C方程；（2）記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.22.（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．1.A.2.B.3.D.4.B.5.C7.D．8.C．9.AC10.AC11.BCD12.ABD13.14.15.（中任意一個(gè)皆可以）16.17.方法1：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過(guò)作于，于是，，所以.方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.18.設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.19.依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,故，所以在區(qū)間的最小值為．20.連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，因?yàn)?，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．不妨設(shè)，，．，，又，平面平面．以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，設(shè)平面與平面一個(gè)法向量分別為，二面角平面角為,而，因?yàn)?，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，從而．所以二面角的正弦值為?1.設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).22.（1）構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.當(dāng)時(shí)，令因?yàn)椋?，所以函?shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時(shí)，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱