2022年北京第六十六中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2022年北京第六十六中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)，則在[0,2π]上零點(diǎn)個數(shù)是（

）A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：2.已知,,且,則等于(

)

A．－1B．－9

C．9

D．1參考答案：C3.數(shù)列，，，，……的前項(xiàng)和為（）A.

B.C.

D.參考答案：C4.直線的傾斜角為A．

B．

C．

D．參考答案：A5.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則拋物線的方程是（

）

（A）

（B）

(C)

(D)參考答案：A6.函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值、最小值分別是（）A．5，﹣4 B．5，﹣15 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16參考答案：B【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的單調(diào)性，判斷出最大值與最小值位置，代入算出結(jié)果．【解答】解：由題設(shè)知y'=6x2﹣6x﹣12，令y'＞0，解得x＞2，或x＜﹣1，故函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，2]上減，在[2，3]上增，當(dāng)x=0，y=5；當(dāng)x=3，y=﹣4；當(dāng)x=2，y=﹣15．由此得函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分別是5，﹣15；故選B．7.已知直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A．B．C．D．不存在參考答案：B略8.將全體正奇數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

……

按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數(shù)為

A、

B、

C、

D、參考答案：D9.已知點(diǎn)（3，1）和（－4，6）在直線3x－2y+a=0的兩側(cè)，則a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)<－7或a>24

B．a(chǎn)=7或a=24

C．－7<a<24

D．－24<a<7參考答案：C略10.在的展開式中，若第七項(xiàng)系數(shù)最大，則的值可能等于（

）A.

B．

C．

D．參考答案：D

解析：分三種情況：（1）若僅系數(shù)最大，則共有項(xiàng)，；（2）若與系數(shù)相等且最大，則共有項(xiàng)，；（3）若與系數(shù)相等且最大，則共有項(xiàng)，，所以的值可能等于二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在算式“1×口＋4×口＝30”的兩個口中，分別填入兩個自然數(shù)，使它們的倒數(shù)之和最小，則這兩個數(shù)的和為________．參考答案：15略12.不等式＞0對恒成立，則x的取值范圍是________.

參考答案：13.設(shè)，若，則的最大值為

．參考答案：由柯西不等式，，知．14.如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，線段B1D1上有兩個動點(diǎn)E，F(xiàn)且EF=，則下列結(jié)論中正確的有．（1）AC⊥AE；（2）EF∥平面ABCD；（3）三棱錐A﹣BEF的體積為定值：（4）異面直線AE，BF所成的角為定值．參考答案：（2）（3）【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】由線面垂直證得兩線垂直判斷（1）；由線面平行的定義證得線面平行判斷（2）；由棱錐的高與底面積都是定值得出體積為定值判斷（3）；由兩個極端位置說明兩異面直線所成的角不是定值判斷（4）．【解答】解：對于（1），由題意及圖形知，AC⊥AE，故（1）不正確；對于（2），由正方體ABCD﹣A1B1C1D1的兩個底面平行，EF在其一面上，故EF與平面ABCD無公共點(diǎn)，故有EF∥平面ABCD，故正確；對于（3），由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點(diǎn)到面DD1B1B，故可得三棱錐A﹣BEF的體積為定值，故正確；對于（4），由圖知，當(dāng)F與B1重合時，與當(dāng)E與D1重合時，異面直線AE、BF所成的角不相等，故不為定值，故錯誤．∴正確命題的序號是（2）（3）．故答案為（2）（3）．【點(diǎn)評】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，解答本題關(guān)鍵是正確理解正方體的幾何性質(zhì)，且能根據(jù)這些幾何特征，對其中的點(diǎn)線面和位置關(guān)系作出正確判斷．熟練掌握線面平行的判斷方法，異面直線所成角的定義以及線面垂直的證明是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題．15.若隨機(jī)安排甲乙丙三人在3天節(jié)日中值班，每人值班1天，則甲與丙都不在第一天的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】古典概型及其概率計算公式．【分析】由甲與丙都不在第一天值班，得乙在第一天值班，由此能求出甲與丙都不在第一天值班的概率．【解答】解：隨機(jī)安排甲乙丙三人在3天節(jié)日中值班，每人值班1天，∵甲與丙都不在第一天值班，∴乙在第一天值班，∵第一天值班一共有3種不同安排，∴甲與丙都不在第一天值班的概率p=．故答案為：．16.已知函數(shù)（其中）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

▲

。參考答案：

17.已知樣本數(shù)據(jù)為40，42，40，a，43，44，且這個樣本的平均數(shù)為43，則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為_________.參考答案：【分析】由平均數(shù)的公式，求得，再利用方差的計算公式，求得，即可求解.【詳解】由平均數(shù)的公式，可得，解得，所以方差為，所以樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了樣本的平均數(shù)與方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計算，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間[－2,2]上的最大值為8，求它在該區(qū)間上的最小值.參考答案：(1)由題知：………………2分

令則x<-1或x>3;令則-1<x<3;…4分

所以減區(qū)間為（-1，3），增區(qū)間……6分(2)由(1)知f(x)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).所以,解得a=3……..8分則,所以f(x)在上的最小值為-19…….12分19.已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，通過當(dāng)a≤0時，當(dāng)a＞0時，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性．（2）通過當(dāng)a=0時，當(dāng)a＜0時，當(dāng)a＞0時，分別求解判斷求解函數(shù)的最小值，推出a的取值范圍．【解答】解：（1），…（1分）當(dāng)a≤0時，∵x＞0，∴f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增…（3分）當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0，得x=a，∵x＞0，∴f'（x）＞0得x＞a；f'（x）＜0得0＜x＜a，∴f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．…（2）當(dāng)a=0時，f（x）＞0恒成立…（6分）當(dāng)a＜0時，當(dāng)x→0時，f（x）→﹣∞，f（x）≥0不成立…（8分）當(dāng)a＞0時，由（1）可知f（x）min=f（a）=a﹣alna，由f（a）=a﹣alna≥0得1﹣lna≥0，∴a∈（0，e]…（11分）綜上所述，a的取值范圍是．…（12分）【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．20.已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0），端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動；（1）求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程；（2）過點(diǎn)C（1,1）的直線m與M的軌跡交于G、H兩點(diǎn)，當(dāng)△GOH（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最大時，求直線m的方程并求出△GOH面積的最大值.（3）若點(diǎn)C（1,1），且P在M軌跡上運(yùn)動，求的取值范圍.參考答案：（1）解：設(shè)點(diǎn)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式有

……………2分又點(diǎn)在圓上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程得：點(diǎn)的軌跡方程為：

……………4分（2）令，則當(dāng)，即時面積最大為2

……………6分又直線過點(diǎn)，，∴到直線的距離為，當(dāng)直線斜率不存在時，到的距離為1不滿足，令故直線的方程為：

……………8分（3）設(shè)點(diǎn)，由于點(diǎn)則，令

……………9分有，由于點(diǎn)在圓上運(yùn)動，故滿足圓的方程.當(dāng)直線與圓相切時，取得最大或最小故有所以

……………12分21.已知數(shù)列滿足，且（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和。參考答案：解：（Ⅰ）（Ⅱ）22.將一顆正方體的骰子先后拋擲2次（每個面朝上等可能），記下向上的點(diǎn)數(shù)，求：（1）求兩點(diǎn)數(shù)之和為5的概率；（2）以第一次向上點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)，第二次向上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)的點(diǎn)在圓的內(nèi)部的概率．參考答案：將一顆骰子先后拋擲2次，此問題中含有36個等可能基本事