廣西壯族自治區(qū)南寧市市第二十八中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

廣西壯族自治區(qū)南寧市市第二十八中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.目標(biāo)函數(shù)z=2x+y，變量x，y滿(mǎn)足，則有（）A．zmax=12，zmin=3 B．zmax=12，z無(wú)最小值C．zmin=3，z無(wú)最大值 D．z既無(wú)最大值，也無(wú)最小值參考答案：C【分析】先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最值情況即可．【解答】解：先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，由得A（5，2），由得B（1，1）．當(dāng)直線z=2x+y過(guò)點(diǎn)A（5，2）時(shí)，z最大是12，當(dāng)直線z=2x+y過(guò)點(diǎn)B（1，1）時(shí)，z最小是3，但可行域不包括A點(diǎn)，故取不到最大值．故選C．【點(diǎn)評(píng)】借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．線性規(guī)劃中的最優(yōu)解，通常是利用平移直線法確定．2.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，則邊C的值是()A．8B．C．

D．參考答案：D略3.數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，=，記Sn=ai2ai+12，若Sn≤對(duì)任意的n（n∈N*）恒成立，則正整數(shù)t的最小值為（）A．10 B．9 C．8 D．7參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】先求出數(shù)列{an2}的通項(xiàng)公式，再求Sn，注意運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，以及不等式的性質(zhì)，可求正整數(shù)t的最小值．【解答】解：∵a1=1，=，∴+4=，∴﹣=4，∴{}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，∴=4n﹣3，∴an2=，an2?an+12=?=（﹣），∴Sn=ai2ai+12=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜Sn≤對(duì)任意的n（n∈N*）恒成立，即為t≥30?=7.5，而t為正整數(shù)，所以，tmin=8．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用數(shù)列的遞推式求通項(xiàng)公式及函數(shù)的恒成立問(wèn)題，學(xué)會(huì)用不等式處理問(wèn)題．本題對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，屬于中檔題．4.已知異面直線a、b的方向向量分別為、，平面α、β的法向量分別為、，則下列命題中是假命題的是(

▲

)A．對(duì)于，若存在實(shí)數(shù)x、y使得，則共面B．若∥，則a⊥αC．若=，則l與所成角大小為D．若二面角α—l—β的大小為γ，則γ=<,>或π－<,>.參考答案：C略5.空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的值是（

）A

3或5

B

-3或-5

C

3或-5

D

-3或5

參考答案：A略6.用數(shù)學(xué)歸納法證明=，則當(dāng)時(shí)左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（

）A．B．C．D．參考答案：D7.將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為（）參考答案：D略8.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從總體個(gè)數(shù)為10的總體中抽取樣本容量為2的一個(gè)樣本，記其中某個(gè)個(gè)體第一次被抽到的概率為，第一次未被抽到而第二次被抽到的概率為，則有（

）A．

B．C．

D．參考答案：A9.已知m,n是兩條不重合的直線，,,是三個(gè)兩兩不重合的平面,給出下列四個(gè)命題:①若則；②若則；③若則；④若m,n是異面直線,則。其中正確的命題是（

）A.①和②

B.①和③

C.③和④

D.①和④參考答案：D10.下面的程序框圖（如圖所示）能判斷任意輸入的數(shù)的奇偶性：

其中判斷框內(nèi)的條件是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一盒中放有大小相同的10個(gè)小球，其中8個(gè)黑球、2個(gè)紅球，現(xiàn)甲、乙二人先后各自從盒子中無(wú)放回地任意抽取2個(gè)小球，已知甲取到了2個(gè)黑球，則乙也取到2個(gè)黑球的概率是．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】記事件“甲取到2個(gè)黑球”為A，“乙取到2個(gè)黑球”為B，由P（B|A）=能求出事件“甲取到2個(gè)黑球，乙也取到2個(gè)黑球”的概率．【解答】解：記事件“甲取到2個(gè)黑球”為A，“乙取到2個(gè)黑球”為B，則有P（B|A）===．∴事件“甲取到2個(gè)黑球，乙也取到2個(gè)黑球”的概率是．故答案為：．12.若函數(shù)f（x）=x2+ax+2b在區(qū)間（0，1），（1，2）內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．參考答案：（3，6）【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】由題意可得，畫(huà)出可行域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)z=2+，表示2加上點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)M（0，4）連線的斜率．?dāng)?shù)形結(jié)合求得的范圍，可得z的范圍．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x2+ax+2b在區(qū)間（0，1），（1，2）內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，∴，即，畫(huà)出可行域，如圖所示：表示△ABC的內(nèi)部區(qū)域，其中A（﹣3，1），B（﹣2，0），C（﹣1，0）．目標(biāo)函數(shù)z=2+，即2加上點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)M（0，4）連線的斜率．?dāng)?shù)形結(jié)合可得，的最小值趨于KAM==1，的最大值趨于KBM==4，故z的最小值趨于2+1=3，最大值趨于2+4=6，故答案為（3，6）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，斜率公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．13.復(fù)數(shù)，則__________．參考答案：【分析】首先求得復(fù)數(shù)z，然后計(jì)算其模即可.【詳解】，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)的模的計(jì)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓與軸的交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別是3和1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________參考答案：略15.已知函數(shù)f（x）=ax3+bx+1，若f（a）=8，則f（﹣a）=．參考答案：﹣6【考點(diǎn)】3T：函數(shù)的值．【分析】由已知得f（a）=a4+ab+1=8，從而a4+ab=7，由此能求出f（﹣a）．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=ax3+bx+1，f（a）=8，∴f（a）=a4+ab+1=8，∴a4+ab=7，∴f（﹣a）=﹣a4﹣ab+1=﹣7+1=﹣6故答案為：﹣6．16.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

。參考答案：略17.為中線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知拋物線x2=2py（p＞0）與直線2x﹣y+1=0交于A，B兩點(diǎn)，，點(diǎn)M在拋物線上，MA⊥MB．（1）求p的值；（2）求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，由弦長(zhǎng)公式求得p的值；（2）由（1）求出A，B的坐標(biāo)，設(shè)出M的坐標(biāo)，利用MA⊥MB得，代入根與系數(shù)的關(guān)系求得答案．【解答】解：（1）將y=2x+1代入x2=2py，得x2﹣4px﹣2p=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=4p，x1x2=﹣2p，由及p＞0，得p=1．（2）由（1）得設(shè)點(diǎn)，，，由MA⊥MB得，即，，，∴（x1+x0）（x2+x0）+4=0，∴．19.(本小題滿(mǎn)分14分)某風(fēng)景區(qū)在一個(gè)直徑AB為100米的半圓形花園中設(shè)計(jì)一條觀光線路（如圖所示）．在點(diǎn)A與圓弧上的一點(diǎn)C之間設(shè)計(jì)為直線段小路，在路的兩側(cè)邊緣種植綠化帶；從點(diǎn)C到點(diǎn)B設(shè)計(jì)為沿弧的弧形小路，在路的一側(cè)邊緣種植綠化帶．（注：小路及綠化帶的寬度忽略不計(jì)）（1）設(shè)（弧度），將綠化帶總長(zhǎng)度表示為的函數(shù)；（2）試確定的值，使得綠化帶總長(zhǎng)度最大．

參考答案：（1）如圖，連接，設(shè)圓心為，連接．在直角三角形中，，，所以．由于，所以弧的長(zhǎng)為．

3分所以，即，．

6分（2），

8分令，則，

10分列表如下：+0增極大值減

所以，當(dāng)時(shí)，取極大值，即為最大值．

13分答：當(dāng)時(shí)，綠化帶總長(zhǎng)度最大．

14分20.(8分)已知，求參考答案：

即或（舍）---2分

---2分21.(本小題滿(mǎn)分14分)如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，四邊形的兩對(duì)角線交點(diǎn)為．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求點(diǎn)到平面的距離．參考答案：（1）證明：連結(jié),在中,點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以

1分，

3分

4分（2）證明：連接．因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以?/p>

5分又因?yàn)槠矫?，平面，所以?/p>

6分而，

7分所以平面．

8分平面PBD，所以．

9分（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.由，是的中位線，則，故

正三角形的面積

平面，

11分，易求得，

13分所以

故點(diǎn)到平面的距離為．

14分22.已知曲線.(1)求曲線在(2,2)處的切線方程；(2)求曲線過(guò)原點(diǎn)O的切線方程.參考答案：（1）；(2)或.【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；（2）設(shè)切點(diǎn)，求出切線的斜率，得到切線方程，代入點(diǎn)（0