河南省洛陽市第二實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

河南省洛陽市第二實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點△AED，△EBF，△FCD分別沿DE，EF，F(xiàn)D折起，使A，B，C三點重合于點A′,若四面體A′EFD的四個頂點在同一個球面上，則該球的半徑為A．

B．

C．

D．參考答案：B易知：兩兩垂直，我們把四面體A′EFD擴成一個棱長分別為1,1,2的長方體，則長方體的外接球即為該四面體A′EFD的外接球，所以該球的半徑。2.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（4）=1，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，已知y=f′（x）的圖象如圖所示，若兩個正數(shù)a，b滿足則的取值范圍是(

)A． B． C． D．參考答案：C考點：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用；函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．專題：壓軸題；圖表型．分析：先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a、b的范圍得到答案．解答：解：由圖可知，當(dāng)x＞0時，導(dǎo)函數(shù)f'（x）＞0，原函數(shù)單調(diào)遞增∵兩正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，∴0＜2a+b＜4，∴b＜4﹣2a，0＜a＜2，畫出可行域如圖．k=表示點Q（﹣1，﹣1）與點P（x，y）連線的斜率，當(dāng)P點在A（2，0）時，k最小，最小值為：；當(dāng)P點在B（0，4）時，k最大，最大值為：5．取值范圍是C．故選C．點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減3.已知平面α∩平面β=a，平面β∩平面γ=b，平面γ∩平面α=c，則下列命題：①若a∥b，則a∥c，b∥c；②若a∩b=O，則O∈c；③若a⊥b，b⊥c，則a⊥c．其中正確的命題是（

）A.①②③

B.②③

C.①③

D.①②參考答案：D因為，且平面平面，所以，又平面平面，所以，由平行公理，得，故①正確；若，且平面平面，平面平面，則且，又平面平面，所以，故②正確；由正方體的三個相鄰側(cè)面可知③錯誤；故選D.點睛：本題考查三個平面兩兩相交，有三條交線，可考慮三條交線的位置關(guān)系（三條交線相互平行、三條交線重合、三條交線交于一點）進行判定，也可以結(jié)合具體幾何體（三棱柱、三棱錐、正方體等）進行判定.4.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A(－1,+∞)，選A.5.已知函數(shù)，則下列命題錯誤的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)B．函數(shù)是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)C．函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)D．函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)參考答案：A6.已知奇函數(shù)f（x）滿足f（－1）＝f（3）＝0，在區(qū)間[－2，0）上是減函數(shù)，在區(qū)間[2，＋∞）是增函數(shù)，函數(shù)F（x）＝，則的解集是A．{x｜x＜－3，或0<x<2，或x>3}

B．{x｜x<－3，或－1<x<0，或0<x<1，或x>3}C．{x｜－3<x＜－1，或1<x＜3}

D．{x｜x＜－3，或0<x＜1，或1<x＜2，或2<x＜3}參考答案：C7.已知,則

A．

B．

C．

D．參考答案：D8.點P（x，y）在直線4x+3y=0上，且x，y滿足﹣14≤x﹣y≤7，則點P到坐標(biāo)原點距離的取值范圍是（）A．[0，5] B．[0，10] C．[5，10] D．[5，15]參考答案：B【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】先根據(jù)條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出可行域內(nèi)的點到原點距離的最值即可．【解答】解析：因x，y滿足﹣14≤x﹣y≤7，則點P（x，y）在所確定的區(qū)域內(nèi)，且原點也在這個區(qū)域內(nèi)．又點P（x，y）在直線4x+3y=0上，，解得A（﹣6，8）．，解得B（3，﹣4）．P到坐標(biāo)原點的距離的最小值為0，又|AO|=10，|BO|=5，故最大值為10．∴其取值范圍是[0，10]．故選B．9.若關(guān)于X的不等式的解集恰好是，則的值為（

）A．B．4C．D．5參考答案：C10.已知命題p：若x2+y2＞2，則|x|＞1或|y|＞1；命題q：直線mx-2y-m-2＝0與圓x2+y2-3x+3y+2＝0必有兩個不同交點，則下列說法正確的是A．?p為真命題

B．p∧(?q)為真命題C．(?p)∨q為假命題

D．(?p)∨(?q)為假命題參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，則AC＝____________.參考答案：略12.已知圓C過點，且與圓M:關(guān)于直線對稱.若Q為圓C上的一個動點，則的最小值為 .參考答案：－4設(shè)圓心C，則，解得，則圓C的方程為，將點的坐標(biāo)代入得，故圓C的方程為，設(shè)，則，且==，法一：令，，則≥-2法二：令，則，所以≥-4，的最小值為;13.=

；參考答案：14.對任意兩個非零的平面向量和,定義,若平面向量、滿足,與

的夾角,且和都在集合中.給出下列命題：

①若時，則.

②若時，則.

③若時，則的取值個數(shù)最多為7.

④若時，則的取值個數(shù)最多為.

其中正確的命題序號是

（把所有正確命題的序號都填上）參考答案：①

③

略15.已知點在直線上,點在直線上,中點為,且,則的取值范圍是_________.參考答案：16.在邊長為1的正三角形中，設(shè)，則

．參考答案：．因為，所以為的中點即，∵，∴，∴．17.雙曲線的漸近線方程為

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求曲線C1的極坐標(biāo)方程和C2的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）射線OP：θ=α（其中0＜α＜）與C2交于P點，射線OQ：θ=α+與C2交于Q點，求的值.參考答案：（Ⅰ）,.（Ⅱ）.

因為，所以，所以曲線的直角坐標(biāo)系方程為.---------------------4（Ⅱ）依題意得，點的極坐標(biāo)分別為，所以，----------------------------------6點的極坐標(biāo)分別為，所以，---------8所以.-----------------------------------1019.在等比數(shù)列{an}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差數(shù)列．（I）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{|an﹣4|}的前n項和Sn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（I）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，a4=8a1，可得=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差數(shù)列，可得2（a2+1）=a1+a3，當(dāng)然解得a1，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．（II）n=1時，a1﹣4=﹣2＜0，可得S1=2．當(dāng)n≥2時，an﹣4≥0．?dāng)?shù)列{|an﹣4|}的前n項和Sn=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（an﹣4），再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a4=8a1，∴=8a1，a1≠0，解得q=2．又a1，a2+1，a3成等差數(shù)列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2．∴an=2n．（II）n=1時，a1﹣4=﹣2＜0，∴S1=2．當(dāng)n≥2時，an﹣4≥0．∴數(shù)列{|an﹣4|}的前n項和Sn=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（an﹣4）=2+22+23+…+2n﹣4（n﹣1）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．∴Sn=．20.已知輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如右圖所示:(1)求a的值;(2)估計汽車通過這段公路時時速不小于60km的概率.參考答案：（1）…5分（2），所以汽車通過這段公路時時速不小于60km的概率為0.6.

…………10分21.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬P﹣ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過棱PC的中點E，作EF⊥PB交PB于點F，連接DE，DF，BD，BE．（1）證明：PB⊥平面DEF．試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；（2）若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為，求的值．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定．【分析】解法1）（1）直線與直線，直線與平面的垂直的轉(zhuǎn)化證明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判斷DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，確定直角．（2）根據(jù)公理2得出DG是平面DEF與平面ACBD的交線．利用直線平面的垂直判斷出DG⊥DF，DG⊥DB，根據(jù)平面角的定義得出∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，轉(zhuǎn)化到直角三角形求解即可．解法2）（1）以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，運用向量的數(shù)量積判斷即可．2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一個法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一個法向量．根據(jù)數(shù)量積得出夾角的余弦即可得出所求解的答案．【解答】解法1）（1）因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PDC，所以BC⊥DE．又因為PD=CD，點E是PC的中點，所以DE⊥PC．而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如圖1，在面BPC內(nèi)，延長BC與FE交于點G，則DG是平面DEF與平面ACBD的交線．由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．又因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，設(shè)PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB=，則tan=tan∠DPF===，解得．所以==故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時，=．（解法2）（1）以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PD=DC=1，BC=λ，則D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），點E是PC的中點，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE．又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．因=（0，1，﹣1），=0，則DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一個法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一個法向量．若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為，則運用向量的數(shù)量積求解得出cos==，解得．所以所以==故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時，=．22.（本小題滿分12分）某網(wǎng)絡(luò)營銷部門為了統(tǒng)計某市網(wǎng)友2013年11月11日在某淘寶店的網(wǎng)購情況，隨機抽查了該市當(dāng)天名網(wǎng)友的網(wǎng)購金額情況，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計表（如圖（1））：網(wǎng)購金額（單位:千元）頻數(shù)頻率合計若網(wǎng)購金額超過千元的顧客定義為“網(wǎng)購達人”，網(wǎng)購金額不超過千元的顧客定義為“非網(wǎng)購達人”，已知“非網(wǎng)購達人”與“網(wǎng)購達人”人數(shù)比恰好為．（1）試確定，，，的值，并補全頻率分布直