浙江省溫州市甌北鎮(zhèn)中學2021年高二數(shù)學理下學期期末試題含解析

浙江省溫州市甌北鎮(zhèn)中學2021年高二數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.甲、乙兩名同學在5次數(shù)學考試中，成績統(tǒng)計用莖葉圖表示如圖所示，若甲、乙兩人的平均成績分別用甲、乙表示，則下列結(jié)論正確的是()A.甲>乙，且甲比乙成績穩(wěn)定

B.甲>乙，且乙比甲成績穩(wěn)定C.甲<乙，且甲比乙成績穩(wěn)定

D.甲<乙，且乙比甲成績穩(wěn)定參考答案：A2.實數(shù)，滿足，則的值是（）A．1 B．2 C． D．參考答案：A3.為了解某地區(qū)的中小學生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是(

)A.簡單隨機抽樣

B.按性別分層抽樣C.按學段分層抽樣

D.系統(tǒng)抽樣參考答案：C4.某影院有60排座位，每排70個座號，一次報告會坐滿了聽眾，會后留下座號為15的所有聽眾60人進行座談，這是運用了

（

）

A、抽簽法

B、隨機數(shù)法

C、系統(tǒng)抽樣法

D、分層抽樣法參考答案：C5.設在區(qū)間可導，其導數(shù)為，給出下列四組條件（

）①是奇函數(shù)，是偶函數(shù)②是以T為周期的函數(shù)，是以T為周期的函數(shù)③在區(qū)間上為增函數(shù)，在恒成立④在處取得極值，A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④參考答案：B6.某市對上下班交通情況作抽樣調(diào)查，作出上下班時間各抽取的12輛機動車行駛時速(單位：km/h)的莖葉圖如下圖.則上、下班行駛時速的中位數(shù)分別為()

A．28與28.5

B．29與28.5

C．28與27.5

D．29與27.5參考答案：D略7.在△ABC中，已知，則角A為（

）A． B．

C． D．或參考答案：C8.已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則z的共軛復數(shù)在復平面上對應點所在的象限為（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

參考答案：D因為，所以,所以,因此對應點為，在第四象限.

9.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，拋物線的頂點在原點，它的準線與雙曲線的左準線重合，若雙曲線與拋物線的交點滿足，則雙曲線的離心率為A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.已知集合且.先后擲兩枚骰子，設擲第一枚骰子得點數(shù)記作，擲第二枚骰子得點數(shù)記作，則的概率為(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)y=f（x）的圖象如圖，則滿足的x的取值范圍．參考答案：[﹣2，1）【考點】函數(shù)的圖象．

【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】解：由題意可知f（）≥0，從而可得≤1，解之即可．【解答】解：由題意可知，f（2）＜0，∴f（）≥0，∴≤1，即≤0，解得，x∈[﹣2，1）；故答案為：[﹣2，1）．【點評】本題考查了函數(shù)的圖象的應用及分式不等式的解法與應用．12.tan80°+tan40°﹣tan80°tan40°的值等于

．參考答案：【考點】兩角和與差的正切函數(shù)．【專題】計算題．【分析】根據(jù)和角的正切公式，可得tan120°=tan（80°+40°）=，作變形，化簡即可得結(jié)論【解答】解：根據(jù)和角的正切公式，可得tan120°=tan（80°+40°）=所以tan40°+tan80°=﹣（1﹣tan40°×tan80°）所以tan80°+tan40°﹣tan80°tan40°=故答案為：【點評】本題的考點是兩角和與差的正切函數(shù)，考查和角公式的變形，解題的關鍵是正確運用和角的正切公式．13.已知,則不等式的解集___

_____.參考答案：14.一個社會調(diào)查機構就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）．為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業(yè)等方面的關系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調(diào)查，則在［2500，3000）（元）月收入段應抽出

人．參考答案：2515.已知函數(shù)（為常數(shù)），當時，只有一個實根；當時，只有3個相異實根，現(xiàn)給出下列4個命題：①有一個相同的實根；②有一個相同的實根；③的任一實根大于的任一實根；④的任一實根小于的任一實根.其中真命題的序號是________.參考答案：①②④【分析】的根的問題可轉(zhuǎn)化為，即和圖象交點個數(shù)問題，由題意圖象應為先增后減再增，極大值為4，極小值為0，再對四個命題逐個分析得到結(jié)果.【詳解】由題意圖象應為先增后減再增，極大值為4，極小值為0，的根的問題可轉(zhuǎn)化為，即和圖象交點個數(shù)問題，由圖可知，正確的命題為①②④，故答案是：①②④.【點睛】該題考查的是有關函數(shù)的綜合題，涉及到的知識點有函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極值問題，將方程的根轉(zhuǎn)化為曲線與直線的交點問題來解決，屬于中檔題目.16.某校生物研究社共8人，他們的生物等級考成績?nèi)缦拢?人70分，3人67分，1人64分，1人61分，則他們的生物等級考成績的標準差為________.參考答案：3【分析】先求出樣本的平均數(shù)，再求出其標準差.【詳解】這八個人生物成績的平均分為，所以這八個人生物成績的標準差為故得解.【點睛】本題考查樣本的標準差，屬于基礎題.17.在中,若,則

參考答案：因為在△ABC中，，由余弦定理，可知，cosA=，則考點：余弦定理．點評：本題考查余弦定理的應用，余弦定理的表達式的應用，考查基本知識的應用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某商場準備在今年的“五一假”期間對顧客舉行抽獎活動，舉辦方設置了A，B兩種抽獎方案，方案A的中獎率為，中獎可以獲得2分;方案B的中獎率為,中獎可以獲得3分；未中獎則不得分，每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，并憑分數(shù)兌換獎品，（1）若顧客甲選擇方案A抽獎，顧客乙選擇方案B抽獎，記他們的累計得分為X，若的概率為，求（2）若顧客甲、顧客乙兩人都選擇方案A或都選擇方案B進行抽獎，問:他們選擇何種方案抽獎，累計得分的均值較大?參考答案：（1）（2）當時，他們都選擇方案進行抽獎時，累計得分的均值較大；當時，他們都選擇方案進行抽獎時，累計得分的均值較大；當時，他們都選擇方案或都選擇方案進行抽獎時，累計得分的均值相等【分析】（1）首先求解出對立事件“”的概率，再根據(jù)對立事件概率公式求得結(jié)果；（2）利用二項分布均值公式求解出和，根據(jù)均值的性質(zhì)求得兩人全選方案或方案的均值，比較兩個均值的大小，得到不同取值的情況下應選取的方案.【詳解】（1）由已知得，甲中獎的概率為，乙中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響記“這人的累計得分”的事件為，則事件的對立事件為“”

（2）設甲、乙都選擇方案抽獎的中獎次數(shù)為，都選擇方案抽獎的中獎次數(shù)為則這兩人選擇方案抽獎累計得分的均值為，選擇方案抽獎累計得分的均值為由已知可得：，，，若，則

若，則

若，則

綜上所述：當時，他們都選擇方案進行抽獎時，累計得分的均值較大當時，他們都選擇方案進行抽獎時，累計得分的均值較大當時，他們都選擇方案或都選擇方案進行抽獎時，累計得分的均值相等【點睛】本題考查對立事件概率的求解、二項分布均值求解及均值性質(zhì)的應用問題，利用均值來解決實際問題，屬于常規(guī)題型.19.(13分)在平面直角坐標系xOy中，拋物線上異于坐標原點Ｏ的兩不同動點Ａ、Ｂ滿足（如圖所示）．（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；（Ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

參考答案：解：（I）設△AOB的重心為G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),則

（1）∵OA⊥OB∴,即，(2)…………3分又點A，B在拋物線上，有，代入（2）化簡得…4分∴所以重心為G的軌跡方程為………6分（II）由（I）得………………11分當且僅當即時，等號成立?！?2分所以△AOB的面積存在最小值，存在時求最小值1；……………13分略20.已知橢圓C：+y2=1（a＞1）的上頂點為A，右焦點為F，直線AF與圓M：（x﹣3）2+（y﹣1）2=3相切．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若不過A的動直線l與橢圓C交于P，Q兩點，且?=0，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（I）圓M的圓心為（3，1），半徑．直線AF的方程為x+cy﹣c=0，由直線AF與圓M相切，得c2=2，a2=c2+1=3，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）法一：由，知AP⊥AQ，設直線AP的方程為y=kx+1，直線AQ的方程為．聯(lián)立，整理得（1+3k2）x2+6kx=0，求得點P，點Q，由此能證明直線l過定點．（Ⅱ）法二：由，知AP⊥AQ，設直線l的方程為y=kx+t（t≠1），聯(lián)立，整理得（1+3k2）x2+6ktx+3（t2﹣1）=0．由，利用韋達定理證明直線l過定點．【解答】（I）解：圓M的圓心為（3，1），半徑．…由題意知A（0，1），F(xiàn)（c，0），直線AF的方程為，即x+cy﹣c=0，…由直線AF與圓M相切，得，解得c2=2，a2=c2+1=3，故橢圓C的方程為．…（Ⅱ）證法一：由知AP⊥AQ，從而直線AP與坐標軸不垂直，故可設直線AP的方程為y=kx+1，直線AQ的方程為．聯(lián)立，整理得（1+3k2）x2+6kx=0，…解得x=0或，故點P的坐標為，同理，點Q的坐標為，…∴直線l的斜率為，…∴直線l的方程為，即．…所以直線l過定點．…（Ⅱ）證法二：由，知AP⊥AQ，從而直線PQ與x軸不垂直，故可設直線l的方程為y=kx+t（t≠1），聯(lián)立，整理得（1+3k2）x2+6ktx+3（t2﹣1）=0．設P（x1，y1），Q（x2，y2），則，，（*）由△=（6kt）2﹣4（1+3k2）×3（t2﹣1）＞0，得3k2＞t2﹣1．…由，得，將（*）代入，得，…所以直線l過定點．…【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．21.如圖，在梯形ABCD中，，，，四邊形BDEF是正方形，且，點G在線段EF上.（Ⅰ）求證：AD⊥平面BDEF；（Ⅱ）當BG∥平面ACE時，求四棱錐A-BDEG的體積參考答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）分析梯形的角度可得，即得，又，從而得證；（Ⅱ）設對角線，交于點，連接，易得四邊形是平行四邊形，得，由梯形面積公式可得底面積，高為，利用椎體的體積公式即可得解.【詳解】（Ⅰ）由題設易得，所以，，，（第2問用）因此，又，和為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面（Ⅱ）設對角線，交于點，連接，則由平面