2022年上海市南匯縣祝橋高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022年上海市南匯縣祝橋高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.△ABC中，,,,P為線段AC上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】先設(shè)PA＝x，x∈[0，]，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】△ABC中，設(shè)PA＝x，x∈[0，]，則（）?x（﹣x）×cos180°+2（﹣x）×cos45°＝x2﹣x+4，∵x∈[0，]，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x時(shí)，有最小值；當(dāng)x＝0時(shí)，有最大值4，所求的范圍是[，4]．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的基本定理及向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于中檔題．2.函數(shù)（）是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（A）（B）（C）（D）參考答案：答案：A3.已知集合，若，則實(shí)數(shù)a所有可能取值的集合為（

）A．{-1}

B．{1}

C．{一1,1}

D．{-1,0,1}參考答案：D4.不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)應(yīng)是()參考答案：C5.已知（

）A．

B．

C．﹣1

D．1參考答案：D略6.函數(shù)的大致圖象是(

)參考答案：B略7.設(shè)非空集合同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①；②若，則，.則下列結(jié)論正確的是（A）若為偶數(shù)，則集合的個(gè)數(shù)為個(gè)；（B）若為偶數(shù)，則集合的個(gè)數(shù)為個(gè)；（C）若為奇數(shù)，則集合的個(gè)數(shù)為個(gè)；（D）若為奇數(shù)，則集合的個(gè)數(shù)為個(gè).參考答案：B8.設(shè)x，y滿足約束條件

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的最大值為12，則的最小值為(

).A.

B.

C.

D.4參考答案：B9.在ABC中，AB=AC=2，B=30o，P為BC邊中線上的任意一點(diǎn)，則的值為(A)-12

(B)-6

(C)6

(D)12參考答案：B10.如果的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則（ ）A．和都是銳角三角形B．和都是鈍角三角形C．是鈍角三角形，是銳角三角形D．是銳角三角形，是鈍角三角形參考答案：D解：T是銳角三角形如果是銳角三角形，則，，，不可能成立；如果是直角三角形，不妨設(shè)，則，A1=0不合題意；所以是鈍角三角形。（可求出鈍角的大小為135°）

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3+a5=26，S4=28，則a10的值為．參考答案：37考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由已知列式求得首項(xiàng)和公差，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得a10的值．解答：解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由a3+a5=26，S4=28，得：，解得：．∴a10=a1+9d=1+36=37．故答案為：37．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，是基礎(chǔ)題．12.某校為了解高一學(xué)生寒假期間的閱讀情況，抽查并統(tǒng)計(jì)了100名同學(xué)的某一周閱讀時(shí)間，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），那么這100名學(xué)生中閱讀時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為_____．參考答案：5413.已知：P是直線l：3x+4y+13=0的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的一條切線，A是切點(diǎn)，那么△PAC的面積的最小值是

．參考答案：2【考點(diǎn)】圓的切線方程．【專題】直線與圓．【分析】求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及三角形的面積，將面積的最值問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題是解決本題的關(guān)鍵．【解答】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，則圓心坐標(biāo)為C（1，1），半徑R=2，則△PAC的面積S=，∴要使△PAC的面積的最小，則PA最小，即PC最小即可，此時(shí)最小值為圓心C到直線的距離d=，即PC=d=4，此時(shí)PA==2，即△PAC的面積的最小值為S=2，故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，將三角形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)z=x﹣y的最大值是

．參考答案：4【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作平面區(qū)域，化簡(jiǎn)目標(biāo)函數(shù)z=x﹣y為y=x﹣z，從而求最大值．【解答】解：作平面區(qū)域如下，化簡(jiǎn)目標(biāo)函數(shù)z=x﹣y為y=x﹣z，故當(dāng)過(guò)點(diǎn)（2，﹣2）時(shí)，z=x﹣y有最大值為2﹣（﹣2）=4，故答案為：4．15.已知，若任取，都存在，使得，則的取值范圍為

．參考答案：略16.函數(shù)的定義域?yàn)?參考答案：17.已知=

.參考答案：無(wú)略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，，PA=PD，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：PA∥平面BEF；（Ⅱ）若PE=EC，求二面角F-BE-A的余弦值.參考答案：（1）證明：連接交于，并連接，，，，為中點(diǎn)，

，且，四邊形為平行四邊形，

┄┄┄┄┄┄2分為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，

┄┄┄┄┄┄4分平面，平面，平面.

┄┄┄┄┄┄6分（2）（法一）由為正方形可得，.取中點(diǎn)，連，，，側(cè)面底面，且交于，，面，又，為二面角的平面角

┄┄┄┄┄┄9分又，，，，所以二面角的余弦值為.┄┄┄┄┄┄12分（法二）由題意可知面，，如圖所示，以為原點(diǎn)，、、分別為、、建立直角坐標(biāo)系，則，，，.

┄┄┄┄┄┄7分

平面法向量可取：

┄┄┄┄┄┄8分平面中，設(shè)法向量為，則取

┄┄┄┄┄┄10分，所以二面角的余弦值為

┄┄┄┄┄┄12分19.已知函數(shù)f（x）=，g（x）=alnx，aR。（1）

若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；（2）

設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),當(dāng)h(x)存在最小之時(shí)，求其最小值（a）的解析式；（3）

對(duì)（2）中的（a），證明：當(dāng)a（0，+）時(shí)，（a）1.參考答案：解（1）f’(x)=,g’(x)=(x>0),由已知得

=alnx=，解a=,x=e2,兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為（e2,e）

切線斜率k=f’(e2)=切線的方程為y-e=(x-).y=x+(2)令則Ⅰ當(dāng)a.>0時(shí)，令h(x)=0,解得x=,所以當(dāng)0<x<時(shí)h(x)<0，h(x)在（0，）上遞減；當(dāng)x>時(shí)，h(x)>0，h(x)在（0，）上遞增。所以x>是h(x)在（0，+∞）上的唯一極致點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是h(x)的最小值點(diǎn)。

所以Φ（a）=h()=2a-aln=2Ⅱ當(dāng)a

≤

0時(shí)，h(x)=(1/2-2a)/2x>0,h(x)在（0，+∞）遞增，無(wú)最小值。故h(x)的最小值Φ（a）的解析式為2a(1-ln2a)(a>o)（3）由（2）知Φ（a）=2a(1-ln2a)則Φ1（a）=-2ln2a，令Φ1（a）=0解得a=1/2當(dāng)

0<a<1/2時(shí)，Φ1（a）>0，所以Φ（a）

在(0,1/2)上遞增當(dāng)

a>1/2

時(shí)，Φ1（a）<0，所以Φ（a）在(1/2,+∞)上遞減。所以Φ（a）在(0,+∞)處取得極大值Φ（1/2）=1因?yàn)棣担╝）在(0,+∞)上有且只有一個(gè)極致點(diǎn)，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值所當(dāng)a屬于(0,+∞)時(shí)，總有Φ（a）

≤

1略20.如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．（1）求證：AF∥平面BCE；（2）求證：平面BCE⊥平面CDE．參考答案：考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）取CE的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、BG．由已知條件推導(dǎo)出四邊形GFAB為平行四邊形，由此能證明AF∥平面BCE．（2）由等邊三角形性質(zhì)得AF⊥CD，由線面垂直得DE⊥AF，從而AF⊥平面CDE，由平行線性質(zhì)得BG⊥平面CDE，由此能證明平面BCE⊥平面CDE解答： 解（1）證明：取CE的中點(diǎn)G，連FG、BG．∵F為CD的中點(diǎn)，∴GF∥DE且GF=DE．∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．又AB=DE，∴GF=AB．∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG．∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE．（2）∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∴AF⊥CD．∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．21.橢圓：的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別是，，，直線交線段于點(diǎn)，且.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在直線，使得交于，兩點(diǎn)，且恰是的垂心？若存在，求的方程；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：（1）【考查意圖】本小題以橢圓為載體，考查直線的方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想等.【解法綜述】只要掌握直線的方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，能將線段的長(zhǎng)度關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，或利用平面幾何知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而得到，，滿足的方程，便可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.思路一：先分別求出直線，的方程，再求得的坐標(biāo).然后將轉(zhuǎn)化為，得到，再結(jié)合，便可求得，，，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.思路二：利用橢圓的對(duì)稱性得到，將轉(zhuǎn)化為，得到，再結(jié)合，便可求得，，，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【錯(cuò)因分析】考生可能存在的錯(cuò)誤有：不能將轉(zhuǎn)化為，或不能利用橢圓的對(duì)稱性得到，將轉(zhuǎn)化為，導(dǎo)致無(wú)從下手.【難度屬性】中.（2）【考查意圖】本小題以探索性問題為載體，考查橢圓的簡(jiǎn)單幾種性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、三角形垂心的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等.【解法綜述】只要能通過(guò)假設(shè)存在滿足題意的直線，根據(jù)是的垂心，得到，進(jìn)而確定直線的斜率，由此設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立；再根據(jù)是的垂心，得到，將其轉(zhuǎn)化為或，并結(jié)合韋達(dá)定理，便可得到結(jié)論.思路：先假設(shè)存在滿足條件的直線，由垂心的性質(zhì)可得，從而得到直線的斜率，由此可設(shè)的方程為，，，再將的方程與橢圓方程聯(lián)立得到及，.將轉(zhuǎn)化為或，即，從而求出的值，并根據(jù)的取值范圍檢驗(yàn)得到結(jié)論.【錯(cuò)因分析】考生可能存在的錯(cuò)誤有：不能根據(jù)是的垂心得到及，導(dǎo)致無(wú)從下手；在消元、化簡(jiǎn)的過(guò)程中計(jì)算出錯(cuò)；未檢驗(yàn)導(dǎo)致解題不完整等.【難度屬性】中.22.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a4=5，S9=54．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式與Sn；（2）若bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求