排隊(duì)論基礎(chǔ)及模型

學(xué)習(xí)內(nèi)容大綱內(nèi)容知識(shí)要點(diǎn)基本概念排隊(duì)系統(tǒng)泊松分布、負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)系統(tǒng)的一般指標(biāo)排隊(duì)模型的運(yùn)用M/M/1、M/M/C排隊(duì)問題的仿真Excel仿真1當(dāng)前第1頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)引導(dǎo)案例-1銀行排隊(duì)系統(tǒng)2當(dāng)前第2頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)引導(dǎo)案例-2醫(yī)院排隊(duì)系統(tǒng)3當(dāng)前第3頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)形形色色的排隊(duì)系統(tǒng)達(dá)到的顧客要求服務(wù)的內(nèi)容服務(wù)的機(jī)構(gòu)出故障的機(jī)器修理技工病人電話呼叫進(jìn)港貨船入水庫(kù)河水達(dá)到機(jī)場(chǎng)上空的飛機(jī)刑事案件達(dá)到路口的車輛來犯敵機(jī)修理領(lǐng)取修配零件診斷（或治療）通話裝（卸）貨放水、調(diào)整水位降落偵破通過路口截?fù)粜蘩砑脊ぐl(fā)放修配零件的管理員醫(yī)生（或治療設(shè)備）交換臺(tái)裝（卸）貨碼頭（泊位）水閘、管理員跑道刑偵部門交通信號(hào)燈我防空部隊(duì)4當(dāng)前第4頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)為什么會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象？假定每小時(shí)平均有4位顧客到達(dá)，服務(wù)人員為每位顧客的平均服務(wù)時(shí)間為15分鐘。如果顧客到達(dá)的間隔時(shí)間正好是15分鐘，而服務(wù)人員為每位顧客的服務(wù)時(shí)間也正好是15分鐘，那么，就只需要一名服務(wù)人員，顧客也根本用不著等待。

在以下情況將出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象：平均到達(dá)率高于平均服務(wù)率顧客到達(dá)的間隔時(shí)間不一樣（隨機(jī)）服務(wù)時(shí)間不一樣（隨機(jī)）顧客離開顧客顧客排隊(duì)服務(wù)設(shè)施5當(dāng)前第5頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)到達(dá)數(shù)量時(shí)間普通能力排隊(duì)問題并不是系統(tǒng)的固定狀態(tài)，它與系統(tǒng)設(shè)計(jì)與管理的控制有很大關(guān)系。如快餐店只允許很短的隊(duì)長(zhǎng)，也可為特定的顧客留出特定的時(shí)間段；也可以通過使用更快的服務(wù)人員、機(jī)器或采用不同的設(shè)施布局和政策來影響顧客的到達(dá)時(shí)間和服務(wù)時(shí)間。6當(dāng)前第6頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)1排隊(duì)論的基本問題

1.1排隊(duì)論的主要研究?jī)?nèi)容數(shù)量指標(biāo)研究主要數(shù)量指標(biāo)在瞬時(shí)或平穩(wěn)狀態(tài)下的概率分布及其數(shù)字特征，了解系統(tǒng)的基本運(yùn)行特征。統(tǒng)計(jì)推斷檢驗(yàn)系統(tǒng)是否達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)；檢驗(yàn)顧客達(dá)到間隔的獨(dú)立性；確定服務(wù)時(shí)間分布及參數(shù)。系統(tǒng)優(yōu)化系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)運(yùn)營(yíng)問題。7當(dāng)前第7頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)1.2排隊(duì)論的經(jīng)濟(jì)含義排隊(duì)問題的核心問題實(shí)際上就是對(duì)不同因素做權(quán)衡決策。管理者必須衡量為提供更快捷的服務(wù)（如更多的車道、額外的降落跑道、更多的收銀臺(tái)）而增加的成本和相應(yīng)的等待造成的費(fèi)用之間的關(guān)系。8當(dāng)前第8頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)服務(wù)成本與等待成本的權(quán)衡（成本－效益平衡）總成本成本最佳能力等待成本服務(wù)成本最小值排隊(duì)分析的目的是使顧客等待成本與服務(wù)能力成本這兩項(xiàng)成本之和最小9當(dāng)前第9頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)2排隊(duì)論概述

2.1基本概念概念在隊(duì)列中，等待服務(wù)的顧客（customer）和服務(wù)臺(tái)（server）就構(gòu)成了一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)（queuingsystem）。本質(zhì)研究服務(wù)臺(tái)與顧客之間服務(wù)與接收服務(wù)的效率問題?？傮w目標(biāo)以最少的服務(wù)臺(tái)滿足最多的客戶需求。10當(dāng)前第10頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)2.2排隊(duì)系統(tǒng)的一般形式排隊(duì)可以是有形的隊(duì)列，也可以是無形的隊(duì)列。排隊(duì)可以是人，也可以是物。顧客源排隊(duì)結(jié)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu)顧客到來排隊(duì)規(guī)則服務(wù)規(guī)則顧客離去服務(wù)系統(tǒng)11當(dāng)前第11頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)3排隊(duì)問題的特征總體來源到達(dá)與服務(wù)模式排隊(duì)紀(jì)律（服務(wù)順序）服務(wù)員數(shù)量（通道）12當(dāng)前第12頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)有限顧客源例如：公司只有三臺(tái)機(jī)器時(shí)，需要維修的數(shù)量潛在顧客數(shù)量無限顧客源例如：排隊(duì)等候公共汽車的乘客人數(shù)3.1總體來源分析排隊(duì)問題所用方法取決于潛在顧客數(shù)量是否有限。本章討論的重點(diǎn)13當(dāng)前第13頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)3.2顧客到達(dá)與服務(wù)模式常用的模型假定顧客到達(dá)速度服從泊松分布，服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布。14當(dāng)前第14頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)3.2.1泊松分布定義：設(shè)N（t）為時(shí)間[0，t]內(nèi)達(dá)到系統(tǒng)的顧客數(shù)，如果滿足下面三個(gè)條件：平穩(wěn)性：在[t，t+△t]內(nèi)有一個(gè)顧客達(dá)到的概率與t無關(guān)；獨(dú)立性：在任意兩個(gè)不相交時(shí)間區(qū)間內(nèi)顧客達(dá)到相互獨(dú)立；普通性：在[t，t+△t]內(nèi)多于一個(gè)顧客達(dá)到的概率極小，為(△t)，可以忽略。則稱｛N（t），t≥0｝為Poisson過程，其對(duì)應(yīng)的分布為泊松分布（Poisson分布）。15當(dāng)前第15頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)泊松分布的形式相對(duì)頻度01234567891011120.200.180.160.140.120.100.080.060.040.020.00泊松分布（比率）每單位時(shí)間顧客數(shù)圖泊松分布16當(dāng)前第16頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)泊松分布的概率密度函數(shù)如果一個(gè)系統(tǒng)的平均到達(dá)率是每分鐘有3個(gè)顧客到達(dá)（=3），求1分鐘內(nèi)有5個(gè)人到達(dá)的概率17當(dāng)前第17頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)3.2.2指數(shù)分布當(dāng)顧客以完全隨機(jī)的方式到達(dá)服務(wù)實(shí)施時(shí)，相鄰到達(dá)間隔時(shí)間服從指數(shù)分布，但平均到達(dá)率不變；隨機(jī)服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布，但平均服務(wù)率不變；18當(dāng)前第18頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)（負(fù)）指數(shù)分布的形式圖負(fù)指數(shù)分布指數(shù)分布（時(shí)間）相對(duì)頻率％0時(shí)間19當(dāng)前第19頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)（負(fù)）指數(shù)分布的概率密度函數(shù)20當(dāng)前第20頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)（1）（2）（3）t（分鐘）下一個(gè)顧客在大于等于t分鐘內(nèi)到達(dá)的概率下一個(gè)顧客在小于等于t分鐘內(nèi)到達(dá)的概率01.0000.50.610.391.00.370.631.50.220.782.00.140.86表下一個(gè)到達(dá)的顧客的時(shí)間間隔的概率21當(dāng)前第21頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)3.2.3泊松分布和指數(shù)分布的關(guān)系泊松分布與指數(shù)分布可以互相推導(dǎo)得到。泊松分布的期望值和方差相等，都為；指數(shù)分布期望值為1/,方差為1/

2。相鄰顧客到達(dá)時(shí)間間隔服從指數(shù)分布，單位時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)服從泊松分布。22當(dāng)前第22頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)3.3排隊(duì)紀(jì)律/排隊(duì)規(guī)則/服務(wù)順序排隊(duì)規(guī)則的3種類型

損失制等待制排隊(duì)規(guī)則混合制23當(dāng)前第23頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)等待制的四種類型等待制最短處理時(shí)間SPT隨機(jī)服務(wù)RS后到先服務(wù)LCFS先到先服務(wù)FCFS24當(dāng)前第24頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)3.4服務(wù)員數(shù)量排隊(duì)系統(tǒng)中的常見變形Titleinhere多通道單階段Titleinhere單通道多階段Titleinhere單通道單階段Titleinhere多通道多階段排隊(duì)系統(tǒng)25當(dāng)前第25頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)排隊(duì)系統(tǒng)的四種變形-1單通道多階段服務(wù)臺(tái)單通道，單階段排隊(duì)單通道、單階段排隊(duì)系統(tǒng)單通道、多階段排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)服務(wù)臺(tái)服務(wù)臺(tái)26當(dāng)前第26頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)多通道單階段多通道多階段多通道、單階段排隊(duì)系統(tǒng)多通道、多階段排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)系統(tǒng)的四種變形-227當(dāng)前第27頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)4排隊(duì)模型

4.1排隊(duì)問題的一般表達(dá)方式一般形式：X/Y/CX—顧客相繼達(dá)到時(shí)間間隔的概率分布；Y—服務(wù)時(shí)間的概率分布；C—服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)；28當(dāng)前第28頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)4.2一些特殊排隊(duì)模型模型分布服務(wù)階段顧客源到達(dá)分布排隊(duì)規(guī)則服務(wù)時(shí)間分布隊(duì)列長(zhǎng)度典型例子模型表示1單通道單一無限泊松FCFS指數(shù)無限只有一個(gè)出口的收費(fèi)橋M/M/12單通道單一無限泊松FCFS常數(shù)無限游樂園的過山車M/G/13多通道單一無限泊松FCFS指數(shù)無限銀行柜臺(tái)服務(wù)M/M/C4多通道單一有限泊松FCFS指數(shù)無限工廠里故障機(jī)器的維修指數(shù)分布常數(shù)分布29當(dāng)前第29頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)4.3模型符號(hào)定義（無限顧客源）符號(hào)代表顧客到達(dá)速度（到達(dá)率）；1/代表相鄰到達(dá)平均時(shí)間間隔μ,u服務(wù)速度（服務(wù)率）；1/μ代表平均服務(wù)時(shí)間ρ系統(tǒng)利用率，即到達(dá)率與服務(wù)率的比值Lq等候服務(wù)的顧客平均數(shù)Ls系統(tǒng)中的顧客平均數(shù)（正在等候的＋正在接受服務(wù)的）Wq顧客排隊(duì)等候的平均時(shí)間Ws顧客在系統(tǒng)中花費(fèi)的平均時(shí)間（排隊(duì)等候時(shí)間＋服務(wù)時(shí)間）r正在接受服務(wù)的顧客平均數(shù)n系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)C服務(wù)臺(tái)（通道）數(shù)量P0系統(tǒng)0個(gè)顧客概率Pn系統(tǒng)有n個(gè)顧客的概率Lmax隊(duì)列中等候的最大期望值30當(dāng)前第30頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)系統(tǒng)利用率正在接受服務(wù)的顧客平均數(shù)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)系統(tǒng)中等待的平均顧客數(shù)顧客平均逗留時(shí)間顧客平均等待時(shí)間4.4模型參數(shù)計(jì)算-1（M/M/1）31當(dāng)前第31頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)三種重要的關(guān)系“管道原理”:穩(wěn)定系統(tǒng)中平均輸出=平均輸入（率）=時(shí)間的可加性在系統(tǒng)中逗留的時(shí)間等于服務(wù)時(shí)間加排隊(duì)利特爾法則32當(dāng)前第32頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)4.4模型參數(shù)計(jì)算-2（M/G/1）系統(tǒng)利用率正在接受服務(wù)的顧客平均數(shù)系統(tǒng)中等待的平均顧客數(shù)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)顧客平均逗留時(shí)間顧客平均等待時(shí)間常數(shù)服務(wù)時(shí)間能將系統(tǒng)的平均顧客數(shù)砍掉一半33當(dāng)前第33頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)4.4模型參數(shù)計(jì)算-3（M/M/C）-1系統(tǒng)利用率正在接受服務(wù)的顧客平均數(shù)系統(tǒng)中等待的平均顧客數(shù)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)顧客平均逗留時(shí)間顧客平均等待時(shí)間34當(dāng)前第34頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)4.4模型參數(shù)計(jì)算-3（M/M/C）-235當(dāng)前第35頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)例1一個(gè)碼頭，設(shè)待卸貨船到達(dá)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布，平均到達(dá)2艘/小時(shí)；服務(wù)臺(tái)是1臺(tái)吊車，卸貨時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每20分鐘可卸一艘貨船，當(dāng)被占用時(shí)，新到貨船只能停在碼頭等待。求在平穩(wěn)狀態(tài)下碼頭上貨船的平均數(shù)；等待卸貨船只的平均數(shù)；每艘貨船在碼頭的平均停留時(shí)間；貨船平均需等待多長(zhǎng)時(shí)間可以開始卸貨。36當(dāng)前第36頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)解：這是一個(gè)典型的M/M/1排隊(duì)問題37當(dāng)前第37頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)例2某醫(yī)院手術(shù)室根據(jù)病人就診和完成手術(shù)時(shí)間的記錄，任意抽查100個(gè)工作小時(shí)，每小時(shí)來就診的病人數(shù)n的出現(xiàn)次數(shù)如表6所示。又任意抽查了100個(gè)完成手術(shù)的病例，所用時(shí)間t出現(xiàn)的次數(shù)如下表所示。試分別用公式、excel和仿真求解：38當(dāng)前第38頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)到達(dá)病人數(shù)n出現(xiàn)次數(shù)fn01012822931641056≥61合計(jì)100到達(dá)病人數(shù)為病人完成手術(shù)時(shí)間t/小時(shí)出現(xiàn)次數(shù)ft0.0~0.2380.2~0.4250.4~0.6170.6~1.890.8~1.061.0~1.25>1.20合計(jì)100手術(shù)時(shí)間39當(dāng)前第39頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)解：這也是一個(gè)M/M/1排隊(duì)問題（1）計(jì)算平均到達(dá)率平均手術(shù)時(shí)間平均服務(wù)率40當(dāng)前第40頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)（2）取=2.1，=2.5，通過統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法認(rèn)為病人到達(dá)數(shù)服從參數(shù)為2.1的泊松分布，手術(shù)時(shí)間服從參數(shù)為2.5的指數(shù)分布。（3）服務(wù)設(shè)備利用率這說明服務(wù)機(jī)構(gòu)（手術(shù)室）有84%的時(shí)間是繁忙的（被利用），有16%的時(shí)間是空閑的。41當(dāng)前第41頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)（4）依次帶入公式，算出各指標(biāo)得：42當(dāng)前第42頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)單通道仿真視頻43當(dāng)前第43頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)排隊(duì)系統(tǒng)仿真軟件Flexsim-1Flexsim是建立在系統(tǒng)理論、控制理論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、信息技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)等理論基礎(chǔ)之上的仿真軟件，它是系統(tǒng)模型規(guī)范化和數(shù)字化相結(jié)合的過程。44當(dāng)前第44頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)排隊(duì)系統(tǒng)仿真軟件Flexsim-2Flexsim在排隊(duì)系統(tǒng)中的應(yīng)用主要是利用仿真模型來研究排隊(duì)系統(tǒng)，首先通過仿真模型的運(yùn)行，便于更好的觀測(cè)排隊(duì)系統(tǒng)過程中出現(xiàn)的一系列復(fù)雜變化和動(dòng)態(tài)過程；其次通過仿真模型穩(wěn)定后的相關(guān)值與排隊(duì)系統(tǒng)理論值的比較，得出他們的值正好相等。Flexsim在排隊(duì)系統(tǒng)中的應(yīng)用有助于我們進(jìn)一步理解排隊(duì)系統(tǒng)的相關(guān)概念和加深對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)的全面認(rèn)識(shí)，從而對(duì)改進(jìn)排隊(duì)系統(tǒng)做出正確的舉措。45當(dāng)前第45頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)單通道Excel求解46當(dāng)前第46頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)例3-1Robot公司在全美經(jīng)營(yíng)把加油和汽車沖洗合并在一起的業(yè)務(wù)。Robot公司對(duì)加滿油的車輛提供免費(fèi)沖洗，對(duì)于不加油只沖洗的車收費(fèi)0.5美元。以往的經(jīng)驗(yàn)表明：加油并且洗車的顧客數(shù)和單獨(dú)洗車的顧客數(shù)大致相等。平均加一次油可盈利0.7美元，洗一次車的成本是0.1美元，公司每天營(yíng)業(yè)14小時(shí)。Robot有三檔功率和清洗組合不同的設(shè)備。選擇I檔功率時(shí)，可以每5分鐘洗1輛車，每天的成本是12美元。II檔功率高于I檔，每4分鐘洗1輛車，但每天的成本是16美元；選擇III檔功率時(shí)，每洗1輛車需3分鐘，但每天的成本是22美元。47當(dāng)前第47頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)例3-2Robot公司估計(jì)，每個(gè)顧客洗1輛車不愿等待的時(shí)間不超過5分鐘，若等待的時(shí)間過長(zhǎng)，公司將失去顧客。若估計(jì)每小時(shí)有10名顧客前來洗車，那么該選擇哪檔功率的設(shè)備？48當(dāng)前第48頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)解：這是一個(gè)典型的M/G/1排隊(duì)問題（1）選擇功率I時(shí)顧客平均等待時(shí)間49當(dāng)前第49頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)（2）選擇功率II時(shí)顧客平均等待時(shí)間如果等待時(shí)間是唯一標(biāo)準(zhǔn)，則應(yīng)選擇功率II的設(shè)備，但在我們做出最后結(jié)論之前，還必須看一下二者的利潤(rùn)差異。50當(dāng)前第50頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)(3)對(duì)于功率I，由于等待時(shí)間為12.5分鐘，部分顧客會(huì)放棄接受服務(wù)。盡管這將使數(shù)學(xué)分析復(fù)雜化，我們?nèi)钥梢怨烙?jì)出選擇功率I時(shí)營(yíng)業(yè)額的減少量。我們可以通過假設(shè)Wq=5分鐘（1/12小時(shí)），并從中解得，這將是最有效的顧客到達(dá)率。51當(dāng)前第51頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)因此，既然的最初估計(jì)是10人/小時(shí)，則每小時(shí)將失去2名顧客。每天的損失(S)：而選擇功率II，成本只增加了4美元/天，顯然，相比較于損失的15.4美元，我們都會(huì)選擇功率II設(shè)備。功率II能滿足最初設(shè)定的5分鐘等待最大限度，因而功率III可不予考慮，除非變大。52當(dāng)前第52頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)例4Disneyland樂園中的排隊(duì)在游樂園中的頻頻排隊(duì)會(huì)極為掃興，Disneyland中的FastPass(QuickPass)系統(tǒng)就是想解決這個(gè)問題的。其工作原理如下：到達(dá)的顧客將自己的票插入FastPass的slot中；FastPass計(jì)算出建議顧客返回的時(shí)間間隔或時(shí)間點(diǎn)或時(shí)間窗；顧客無需排隊(duì)，在指定的時(shí)間返回就可持票進(jìn)入。53當(dāng)前第53頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)思考QuickPass對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)的那些特征參數(shù)做了改變？改變顧客到達(dá)模式，是如何影響系統(tǒng)績(jī)效？54當(dāng)前第54頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)解：

泊松分布到達(dá)常數(shù)分布到達(dá)平均達(dá)到率11人/分鐘11人/分鐘平均服務(wù)率12人/分鐘12人/分鐘排隊(duì)長(zhǎng)度5.040系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)5.960平均排隊(duì)時(shí)間0.460系統(tǒng)利用率91.70%91.70%55當(dāng)前第55頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)Disneyland問題解決了嗎？如果游客不按時(shí)間返回？是否讓游客等待時(shí)間太久了？過山車是按時(shí)間開還是人數(shù)一夠就開？/~yaoxie/Pubs_2.htm56當(dāng)前第56頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)例5某售票所有三個(gè)窗口，顧客的到達(dá)服從泊松分布，平均到達(dá)速率=0.9人/min；售票時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)速率μ=0.4人/min?，F(xiàn)設(shè)顧客到達(dá)后排成一隊(duì)，依次向空閑的窗口購(gòu)票，如圖所示。試分別用公式、excel和仿真求解：(1)整個(gè)售票所空閑概率(2)平均隊(duì)列長(zhǎng)和平均隊(duì)長(zhǎng)(3)平均等待時(shí)間和逗留時(shí)間(4)顧客到達(dá)后必須等待的概率（n≥3)57當(dāng)前第57頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)顧客到達(dá)和服務(wù)圖58當(dāng)前第58頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)解：這是一個(gè)典型的M/M/C排隊(duì)問題(1)整個(gè)售票所空閑概率59當(dāng)前第59頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)(2)平均排隊(duì)長(zhǎng)度和平均隊(duì)列長(zhǎng)(3)平均等待時(shí)間和逗留時(shí)間60當(dāng)前第60頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)(4)顧客到達(dá)后必須等待的概率（n≥3)61當(dāng)前第61頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)M/M/3仿真視頻62當(dāng)前第62頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)M/M/3Excel求解63當(dāng)前第63頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)例6銀行取號(hào)系統(tǒng)有用嗎？就例5，如果其他條件不變，顧客到達(dá)后在每個(gè)窗口前各排一隊(duì)，且進(jìn)入隊(duì)列后堅(jiān)持不換，就形成3個(gè)隊(duì)列，如下圖所示。試分別用公式、excel求解：(1)整個(gè)售票所空閑概率(2)平均隊(duì)列長(zhǎng)度和平均隊(duì)長(zhǎng)(3)平均等待時(shí)間和逗留時(shí)間(4)顧客到達(dá)后必須等待的概率（n≥3)64當(dāng)前第64頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)顧客到達(dá)和服務(wù)圖65當(dāng)前第65頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)解：這是3個(gè)M/M/1同時(shí)服務(wù)的排隊(duì)問題(1)整個(gè)售票所空閑概率(每個(gè)窗口空閑)(4)顧客到達(dá)必須等待的概率（每個(gè)窗口n≥1)66當(dāng)前第66頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)(2)平均排隊(duì)長(zhǎng)度和平均隊(duì)列長(zhǎng)(3)平均等待時(shí)間和逗留時(shí)間67當(dāng)前第67頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)3個(gè)M/M/1Excel求解68當(dāng)前第68頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)結(jié)論：銀行取號(hào)系統(tǒng)是有效的指標(biāo)數(shù)值排隊(duì)長(zhǎng)度1.70系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)3.95平均排隊(duì)時(shí)間1.89服務(wù)臺(tái)空閑概率0.075顧客必須等待的概率0.57指標(biāo)數(shù)值排隊(duì)長(zhǎng)度2.25系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)9平均排隊(duì)時(shí)間7.5服務(wù)臺(tái)空閑概率0.25顧客必須等待的概率0.7569當(dāng)前第69頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)結(jié)論：銀行取號(hào)系統(tǒng)是有效的從這兩個(gè)系統(tǒng)的主要指標(biāo)比較可以看出混合排隊(duì)比獨(dú)立排隊(duì)具有顯著的優(yōu)越性，這一點(diǎn)是在排隊(duì)系統(tǒng)的排隊(duì)方式的設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)該注意的。70當(dāng)前第70頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)普遍結(jié)論：集中使用優(yōu)于分散使用將資源組合在一起為所有的顧客提供服務(wù)，可以在等待時(shí)間不變的條件下，減少所需要的資源總量。如果是兩列獨(dú)立排隊(duì)，那么客戶可能要等那位指定的服務(wù)人員提供服務(wù)，這位服務(wù)人員可能當(dāng)時(shí)正忙得抽不開身，而另一位服務(wù)人員卻閑著沒事干。在集中使用的系統(tǒng)中就不會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象。大規(guī)模制造或服務(wù)設(shè)施的規(guī)模經(jīng)濟(jì)學(xué)在保持同樣利用率的情況下減少平均等待時(shí)間在保持同樣平均等待時(shí)間的情況下提高利用率71當(dāng)前第71頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)5排隊(duì)系統(tǒng)最優(yōu)設(shè)計(jì)——成本分析

5.1概述排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)控制，即排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)化問題，其目的在于使排隊(duì)系統(tǒng)達(dá)到最大效益或者說在一定指標(biāo)下使排隊(duì)系統(tǒng)最為經(jīng)濟(jì)。72當(dāng)前第72頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)服務(wù)成本與等待成本的權(quán)衡（成本－效益平衡）總成本成本最佳能力等待成本服務(wù)成本最小值排隊(duì)分析的目的是使顧客等待成本與服務(wù)能力成本這兩項(xiàng)成本之和最小73當(dāng)前第73頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)5.2M/M/1模型中的最優(yōu)服務(wù)率u-1最佳服務(wù)能力是使總成本最小化：總成本=顧客等候成本+服務(wù)能力成本74當(dāng)前第74頁\共有84頁\編于星期二\7點(diǎn)5.2M/M/1模型中的最優(yōu)服務(wù)率u-2所以M/M/1模型的最優(yōu)服務(wù)率為：75當(dāng)前第75頁\共有84頁\編于