差錯(cuò)控制設(shè)計(jì)論文

而其監(jiān)督元個(gè)數(shù)和信息元個(gè)數(shù)之比定義為冗余度。因?yàn)?，所以，。顯然，編碼的冗余度越大，編碼效率越低。也就是說(shuō)，通信系統(tǒng)可靠性的提高是以降低有效性（即編碼效率）來(lái)?yè)Q取的。差錯(cuò)控制編碼的關(guān)鍵之一就是尋找一種好的編碼方法，即在一定的差錯(cuò)控制能力的要求下，使得編碼效率盡可能的高，同時(shí)譯碼方法盡可能的簡(jiǎn)單。2.2.2抗干擾能力與最小碼距的關(guān)系最小碼距與糾/檢錯(cuò)能力間有著密切的關(guān)系，它們之間的關(guān)系為：圖2-3碼距與檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力間的關(guān)系（1）檢測(cè)個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤，要求最小碼距為：（2.2）可用幾何圖形簡(jiǎn)要證明（2.2）式。設(shè)一個(gè)碼組A位于O點(diǎn)。若碼組A中發(fā)生一個(gè)錯(cuò)碼，則可認(rèn)為A的位置將移動(dòng)至以O(shè)點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上某點(diǎn)，但其位置不會(huì)超出此圓。若碼組A中發(fā)生兩位錯(cuò)碼，則其位置不會(huì)超出以O(shè)點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓。依此類(lèi)推，若碼組A中發(fā)生位錯(cuò)碼，則其位置不會(huì)超出以O(shè)點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓。如圖2-3（a）所示，若要檢測(cè)位錯(cuò)碼，則最小碼距至少應(yīng)不小于，即。因?yàn)闀r(shí)，碼組集合中的其它碼字均在以A為圓心、以為半徑的圓外，所以就能和錯(cuò)碼區(qū)別開(kāi)。（2）在一個(gè)碼組內(nèi)要想糾正位誤碼，要求最小碼距為（2.3）此式可以用圖2-3（b）來(lái)說(shuō)明。圖中碼組A和B間的距離為。碼組A或B若發(fā)生不多于位錯(cuò)碼時(shí)，則其位置均不會(huì)超出以為半徑，以原位置為圓心的圓。只要這兩圓不相交，則就不會(huì)發(fā)生混淆，碼字落在那個(gè)圓內(nèi)就可判為對(duì)應(yīng)碼字，所以它能夠糾正錯(cuò)碼。此時(shí)，兩圓不相交的最小距離為，故最小碼距應(yīng)大于等于，即。（3）在一個(gè)碼組內(nèi)要想糾正位誤碼，同時(shí)檢測(cè)出位誤碼（）,要求最小碼距為（2.4）在這種情況下，若接收碼組與某一許用碼組間的距離在糾錯(cuò)能力范圍內(nèi)，則將按糾錯(cuò)方式工作；若與任何許用碼組間的距離都超過(guò)，則按檢錯(cuò)方式工作?？捎脠D2-3（c）來(lái)說(shuō)明。若設(shè)檢錯(cuò)能力為，則當(dāng)碼組A中存在個(gè)錯(cuò)碼時(shí)，該碼組與任一許用碼組的距離至少應(yīng)有，否則將進(jìn)入許用碼組B的糾錯(cuò)能力范圍內(nèi)，而被糾為B。綜上所述，要提高編碼的糾、檢錯(cuò)能力，不能僅靠簡(jiǎn)單地增加監(jiān)督碼元位數(shù)（即冗余度），更重要的是要加大最小碼距（即碼組之間的差異程度），而最小碼距的大小與編碼的冗余度是有關(guān)的，最小碼距增大，碼元的冗余度就增大。但當(dāng)碼元的冗余度增大時(shí)，最小碼距不一定增大。因此，一種編碼方式具有檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力的必要條件是信息編碼必須有冗余，而充分條件是碼元之間要有一定的碼距。另外，檢錯(cuò)要求的冗余度比糾錯(cuò)要低。信道編碼中兩個(gè)最主要的參數(shù)是最小碼距與編碼效率。一般說(shuō)來(lái)，這兩個(gè)參數(shù)是相互矛盾的，編碼的檢、糾錯(cuò)能力越強(qiáng)，最小碼距就越大，而編碼效率就越小。所以，糾錯(cuò)編碼的任務(wù)就是構(gòu)造出編碼效率一定時(shí)，最小碼距盡可能大的碼；或最小碼距一定時(shí)，而編碼效率盡可能大的碼。2.3差錯(cuò)控制編碼的分類(lèi)根據(jù)編碼方式和不同的衡量標(biāo)準(zhǔn)，差錯(cuò)控制編碼有多種形式和類(lèi)別。下面我們簡(jiǎn)單地介紹幾種主要分類(lèi)。(1)根據(jù)編碼功能可分為檢錯(cuò)碼、糾錯(cuò)碼和糾刪碼三種類(lèi)型，只能完成檢錯(cuò)功能的碼叫檢錯(cuò)碼；具有糾錯(cuò)能力的碼叫糾錯(cuò)碼；而糾刪碼既可檢錯(cuò)也可糾錯(cuò)。(2)按照信息碼元和附加的監(jiān)督碼元之間的檢驗(yàn)關(guān)系可以分為線性碼和非線性碼。若信息碼元與監(jiān)督碼元之間的關(guān)系為線性關(guān)系，即監(jiān)督碼元是信息碼元的線性組合，則稱為線性碼。反之，若兩者不存在線性關(guān)系，則稱為非線性碼。(3)按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間的約束方式可分為分組碼和卷積碼。在分組碼中，編碼前先把信息序列分為位一組，然后用一定規(guī)則附加位監(jiān)督碼元，形成位的碼組。監(jiān)督碼元僅與本碼組的信息碼元有關(guān)，而與其它碼組的信息碼元無(wú)關(guān)。但在卷積碼中，碼組中的監(jiān)督碼元不但與本組信息碼元有關(guān)，而且與前面碼組的信息碼元也有約束關(guān)系，就像鏈條那樣一環(huán)扣—環(huán)；所以卷積碼又稱連環(huán)碼或鏈碼。(4)系統(tǒng)碼與非系統(tǒng)碼。在線性分組碼中所有碼組的位信息碼元在編碼前后保持原來(lái)形式的碼叫系統(tǒng)碼，反之就是非系統(tǒng)碼。系統(tǒng)碼與非系統(tǒng)碼在性能上大致相同，而且系統(tǒng)碼的編、譯碼都相對(duì)比較簡(jiǎn)單，因此得到廣泛應(yīng)用。(5)糾正隨機(jī)錯(cuò)誤碼和糾正突發(fā)錯(cuò)誤碼。顧名思義，前者用于糾正因信道中出現(xiàn)的隨機(jī)獨(dú)立干擾引起的誤碼，后者主要對(duì)付信道中出現(xiàn)的突發(fā)錯(cuò)誤。從上述分類(lèi)中可以看到，一種編碼可以具有多樣性，本章主要介紹糾正隨機(jī)錯(cuò)誤的二進(jìn)制線性分組碼。線性分組碼在計(jì)算機(jī)通信中，信源輸出的是由“0”和“1”組成的二進(jìn)制序列，在分組碼中，該二元信息序列被分成碼元個(gè)數(shù)固定的一組組信息，每組信息的碼元由k位二進(jìn)制碼元組成，則共有2k個(gè)不同的組合，即不同的信息。信道編碼器就是要對(duì)這2k個(gè)不同的信息用2k個(gè)不同的碼組（或碼字）表示，2k個(gè)碼組的位數(shù)是一樣的。假設(shè)為n，且n>k，則這2k個(gè)碼組的集合就被稱作為分組碼。簡(jiǎn)單地說(shuō)，將信息碼進(jìn)行分組，然后為每組信息碼附加若干位監(jiān)督碼元的編碼方法得到的碼集合稱為分組碼。為討論方便，我們把由k位二進(jìn)制碼元構(gòu)成2k個(gè)信息碼組用矩陣D表示，則由n位二進(jìn)制碼元組成的分組碼中就必須有2k個(gè)不同的碼組才能代表2k個(gè)信息，把這2k個(gè)不同的碼組用矩陣C表示，則D和C必須一一對(duì)應(yīng)。因?yàn)閚>k，所以，在一個(gè)n位碼組中，有n-k個(gè)不代表信息的碼元，這些碼元被稱為監(jiān)督碼元或校驗(yàn)碼元。顯然，如果上述分組碼每個(gè)碼組之間沒(méi)有關(guān)系的話（彼此獨(dú)立），則對(duì)于大的k值或n值（信息碼或分組碼的碼長(zhǎng)很大），編碼設(shè)備會(huì)極為復(fù)雜，因?yàn)榫幋a設(shè)備必須儲(chǔ)存2k個(gè)碼長(zhǎng)為n的碼組。因此，我們需要構(gòu)造碼組之間有某種關(guān)系的分組碼，以降低編碼的復(fù)雜性，線性分組碼就是滿足這一條件的一種分組碼。3.1線性分組碼的基本概念所謂線性分組碼就是一種長(zhǎng)度為n，其中2k個(gè)許用碼組（代表信息的碼組）中的任意兩個(gè)碼組的模2和仍為一個(gè)許用碼組的分組碼。或者說(shuō)，可用線性方程組表述碼規(guī)律性的分組碼。這種長(zhǎng)度為n，有2k個(gè)碼組的線性分組碼我們稱為線性（n，k）碼（或（n，k）線性碼）。分組碼中的每個(gè)碼組可用向量來(lái)表示，即，其中前位為信息位，后位為監(jiān)督位。其結(jié)構(gòu)如圖2-2所示。所謂線性碼是碼字集中的元（碼字）之間的任意線性組合仍然是合法的碼字，即是線性組合運(yùn)算封閉的碼字集。線性分組碼是一類(lèi)奇偶校驗(yàn)碼，它可以由（n，k）形式表示，編碼器將一個(gè)k比特信息分組（信息矢量）轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)更長(zhǎng)的由給定元素符號(hào)集組成的n比特編碼分組，當(dāng)這個(gè)符號(hào)集包含兩個(gè)元素（0和1），與二進(jìn)制相對(duì)，稱為二進(jìn)制編碼。分組碼是對(duì)每段k位長(zhǎng)的信息組，以一定規(guī)則增加r=n-k個(gè)檢驗(yàn)元，組成長(zhǎng)為n的序列：，稱這個(gè)序列為碼字。在二進(jìn)制情況下，信息組總共有個(gè)(q進(jìn)制為個(gè))，因此通過(guò)編碼器后，相應(yīng)的碼字也有個(gè)，稱這個(gè)碼字集合為(n,k)分組碼。n長(zhǎng)序列的可能排列總共有種。稱被選取的個(gè)n重為許用碼組，其余個(gè)為禁用碼組。對(duì)于長(zhǎng)度為n的二進(jìn)制分組碼，可以表示成（n，k），通常用于前向糾錯(cuò)。在分組碼中，監(jiān)督位加到信息位之后，形成新碼，在編碼中，k個(gè)信息位，被編為n位長(zhǎng)度，（n-k）個(gè)監(jiān)督碼的作用是實(shí)現(xiàn)檢錯(cuò)和糾錯(cuò)。線性分組碼是一種群碼，對(duì)于模2加運(yùn)算具有以下性質(zhì)：（1）滿足封閉性：即任意兩個(gè)許用碼組之和仍為一許用碼組，這種性質(zhì)也成為自閉率；（2）有零元：所有信息元和監(jiān)督元均為零的碼組，稱為零碼，即。任一碼組與零碼相運(yùn)算其值不變，即，（3）有負(fù)元：線性分組碼中的任一碼組即是它自身的負(fù)元，即。（4）滿足結(jié)合律：即。（5）滿足交換律：。（6）線性分組碼的最小碼距等于非零碼的最小碼重，即（3.1）在線性分組碼還具有以下特點(diǎn)：（1）；（2）；（3）碼字的重量或全部為偶數(shù)，或奇數(shù)重量的碼字?jǐn)?shù)等于偶數(shù)重量的碼字?jǐn)?shù)。3.2線性分組碼編碼設(shè)計(jì)原理線性碼是一種分組碼，而線性分組碼的編碼過(guò)程可以分為以下兩個(gè)步驟：首先，把信息序列按照一定的長(zhǎng)度分割成為若干信息碼組，每組由k位組成；然后，編碼器按照既定的由線性方程組規(guī)定的線性規(guī)則，將信息碼組變換成為n（n>k）重碼字，其中r=n-k個(gè)附加碼元是線性運(yùn)算產(chǎn)生的。在編碼的過(guò)程中，首先將數(shù)據(jù)每k個(gè)比特分為一組，記作m，成為信息組。然后將長(zhǎng)度為k的信息組進(jìn)行映射運(yùn)算，即編碼?？梢缘玫揭粋€(gè)n比特構(gòu)成的碼字，這樣的分組碼成為（n,k）碼。分組碼的一個(gè)重要特性就是它的碼元僅與當(dāng)前編碼的信息序列相關(guān)，而與過(guò)去的信息序列無(wú)關(guān)，故此也可以說(shuō)分組編碼器是無(wú)記憶的[7]。如果中的n個(gè)元素都可以用m中的k個(gè)元素的線性組合形成，我們將它稱為線性分組碼。線性分組碼的編碼過(guò)程可以描述成一個(gè)矢量和一個(gè)矩陣的成績(jī)的結(jié)果。即：（3.2）其中G是由k個(gè)n維矢量構(gòu)成的矩陣，m是信息序列分組，c是編碼得到的n維編碼輸出。根據(jù)公式（3.2）得碼字c可以表示為。而矩陣G稱為編碼生成矩陣，形式為：（3.3）有了生成矩陣后，則可根據(jù)輸入的信息位和生成矩陣相乘得到編碼矩陣即：（3.4）其中C為編碼后結(jié)果，I為信息矩陣，G為生成矩陣。對(duì)于線性分組碼而言，信息元與監(jiān)督元之間的關(guān)系可以用一組線性方程來(lái)表示。設(shè)線性分組碼的碼字為，其中前位為信息位，后位為監(jiān)督位。下面以（7，3）碼為例來(lái)描述線性分組碼的編碼原理。在（7，3）線性分組碼中，碼長(zhǎng)，信息元的個(gè)數(shù)，則監(jiān)督元的個(gè)數(shù)。（7，3）碼的每一個(gè)碼組可寫(xiě)成，其中為信息位，為監(jiān)督位。它們之間的監(jiān)督關(guān)系可用線性方程組描述為：（3.5）表3-1（7，3）線性分組碼因?yàn)樾畔⒃獋€(gè)數(shù)，所以只有8種許用碼組?？捎杀O(jiān)督方程（3.5）寫(xiě)出許用碼組，如表3-1所示。1生成矩陣對(duì)（3.5）式進(jìn)行改寫(xiě)，各位碼元與信息位之間的關(guān)系為：（3.6）將式（3.6）用矩陣表示（3.7）或（3.8）記，，（3.9）則式（3.7）和（3.8）分別可簡(jiǎn)記為（3.10）（3.11）其中，稱為生成矩陣，是一個(gè)階的矩陣。的行數(shù)是信息元的個(gè)數(shù)，列數(shù)是碼長(zhǎng)。為階的單位方陣，其行數(shù)是信息元的個(gè)數(shù)；為階的矩陣，其行數(shù)是信息元的個(gè)數(shù)，列數(shù)是元的個(gè)數(shù)。根據(jù)（3.11）式，由信息位和生成矩陣就可以產(chǎn)生全部碼組?？蓪⑵淅碚撏茝V到任意線性分組碼。對(duì)于一個(gè)線性分組碼而言，生成矩陣是一個(gè)階的矩陣，也可分為兩部分，即（3.12）其中，（3.13）是一個(gè)階矩陣；為階單位方陣。把具有形式的生成矩陣稱為典型生成矩陣。非典型形式的生成矩陣經(jīng)過(guò)運(yùn)算一定能化為典型矩陣。（n，k）線性分組碼完全由生成矩陣G的k行元素決定，即任意一個(gè)分組碼碼組都是G的線性組合。而（n，k）線性碼中的任何k個(gè)線性無(wú)關(guān)的碼組都可用來(lái)構(gòu)成生成矩陣，所以，生成矩陣G的各行都線性無(wú)關(guān)。如果各行之間是線性相關(guān)的，就不可能由G生成2k個(gè)不同的碼組了。其實(shí)，G的各行本身就是一個(gè)碼組。如果已有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的碼組，則可用其直接構(gòu)成G矩陣，并由此生成其余碼組。綜上所述，由于可以用一個(gè)k×n階矩陣G生成2k個(gè)不同的碼組，因此，編碼器只需儲(chǔ)存G矩陣的k行元素（而不是一般分組碼的2k碼組），就可根據(jù)信息向量構(gòu)造出相應(yīng)的一個(gè)分組碼碼組（或根據(jù)信息碼矩陣構(gòu)造出相應(yīng)的一個(gè)分組碼矩陣），從而降低了編碼的復(fù)雜性，并提高了編碼效率。2監(jiān)督矩陣將方程（3.5）式移項(xiàng)，可得到四個(gè)相互獨(dú)立的監(jiān)督方程組：（3.14）將式（3.14）可用矩陣表示為（3.15）或（3.16）記，，為的轉(zhuǎn)置，（3.17）則式（3.15）可簡(jiǎn)記為（3.18）或（3.19）其中，表示的轉(zhuǎn)置。被稱為監(jiān)督矩陣，或校驗(yàn)矩陣。只要監(jiān)督矩陣給定，編碼時(shí)監(jiān)督位和信息位的關(guān)系就完全確定了。由（3.17）式可看出，的行數(shù)就是監(jiān)督關(guān)系式的數(shù)目，它等于監(jiān)督位（監(jiān)督元）的數(shù)目4，列數(shù)是碼長(zhǎng)7。監(jiān)督矩陣的每行中“1”的位置表示相應(yīng)碼元之間存在的監(jiān)督關(guān)系。例如，的第一行1111000表示監(jiān)督位是由信息位之和決定的。式（3.17）中的矩陣可以分成和兩部分。其中，是一個(gè)階矩陣；為4階單位方陣；3表示信息位（信息元）個(gè)數(shù)，4表示監(jiān)督位（監(jiān)督元）個(gè)數(shù)。（3.19）式說(shuō)明線性分組碼中任一碼組與校驗(yàn)矩陣H的轉(zhuǎn)置相乘，其結(jié)果為位全零向量，因此，用校驗(yàn)矩陣檢查二元序列是不是給定分組碼中的碼組非常方便，“校驗(yàn)”之名由此而來(lái)。可將其理論推廣到任意線性分組碼。對(duì)于一個(gè)線性分組碼而言，監(jiān)督矩陣是一個(gè)階的矩陣，也可分為兩部分，即（3.20）其中，（3.21）是一個(gè)階矩陣；為階單位方陣。把具有形式的監(jiān)督矩陣稱為典型監(jiān)督矩陣。根據(jù)典型監(jiān)督矩陣和信息碼元很容易算出各監(jiān)督碼元。非典型形式的監(jiān)督矩陣經(jīng)過(guò)運(yùn)算一定能化為典型矩陣。由代數(shù)理論可知，監(jiān)督矩陣的各行應(yīng)該是線性無(wú)關(guān)的，否則將得不到個(gè)線性無(wú)關(guān)的監(jiān)督關(guān)系式，也得不到個(gè)獨(dú)立的監(jiān)督位。若一矩陣能寫(xiě)成典型陣形式，那么其各行一定是線性無(wú)關(guān)的。3監(jiān)督矩陣和生成矩陣間的關(guān)系由上面的推導(dǎo)可知，生成矩陣與監(jiān)督矩陣之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。由于的每一行都是碼字，因此它必然滿足公式（3.18），即所以，（3.22）其中，為階零矩陣；為模2加。只有當(dāng)時(shí)，式（3.22）才為零。因此，生成矩陣可以寫(xiě)成（3.23）（3.24）由此可見(jiàn)，只要知道生成矩陣，就可以得到監(jiān)督矩陣，反之也亦然。所以線性分組碼由生成矩陣或監(jiān)督矩陣來(lái)完全確定。3.3線性分組碼譯碼設(shè)計(jì)原理監(jiān)督矩陣與(n,k)碼的任何一個(gè)許用碼字進(jìn)行相乘的結(jié)果必等于0，即如果C=mG是任一(n,k)碼字，則必有C與H的轉(zhuǎn)置矩陣的乘機(jī)為0。若不屬于許用碼字，或有傳輸差錯(cuò)，且差錯(cuò)位數(shù)在(n,k)碼糾錯(cuò)能力內(nèi)，則運(yùn)算的結(jié)果將為非0值，此時(shí)，可以糾錯(cuò)或檢錯(cuò)重發(fā)。當(dāng)編碼矩陣與生成矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣相乘時(shí)，若當(dāng)其中的一位編碼出現(xiàn)了差錯(cuò)，則會(huì)有七種情況，則根據(jù)這些情況列出錯(cuò)碼矩陣如下：（3.25）而這些情況正好是和校驗(yàn)子有某種對(duì)應(yīng)關(guān)系的，根據(jù)這些對(duì)應(yīng)關(guān)系可以進(jìn)行相關(guān)編程。若編程檢測(cè)到了那一位錯(cuò)誤可以根據(jù)下式：A=B+E（3.26）對(duì)接收到的信息進(jìn)行改正求出正確的編碼，從而再提去更正后的接收序列的前四位來(lái)提取信息位，以至獲得信息矩陣I。其中A為糾錯(cuò)輸出碼序列，E為錯(cuò)碼矩陣，B為信道輸出碼。由前面的討論可以看出，若某一碼字為許用碼組，則必然滿足式（3.19）。利用這一關(guān)系，接收端就可以用接收到的碼組和事先與發(fā)端約定好的監(jiān)督矩陣相乘，看是否為零。若滿足條件，則認(rèn)為接收正確；反之，則認(rèn)為傳輸過(guò)程中發(fā)生了錯(cuò)誤，進(jìn)而設(shè)法確定錯(cuò)誤的數(shù)目和位置。假設(shè)發(fā)送碼組為，接收碼組為。由于發(fā)送碼組在傳輸?shù)倪^(guò)程中會(huì)受到干擾，致使接收碼組與發(fā)送碼組不一定相同。因此，定義發(fā)送碼組和接收碼組之差為（3.27）是傳輸中產(chǎn)生的錯(cuò)碼行矩陣，即（3.28）其中，（3.29）若，表示該位接收碼元無(wú)誤；若，則表示該位接收碼元有誤。是一個(gè)由“1”和“0”組成的行矩陣，它反映誤碼狀況，被稱為錯(cuò)誤圖樣。例如，若發(fā)送碼組，接收碼組，顯然B中有一個(gè)錯(cuò)誤。由（3.27）可得錯(cuò)誤圖樣為。可見(jiàn)，的碼重就是誤碼的個(gè)數(shù)，因此的碼重越小越好。另外，式（3.27）也可以改寫(xiě)為（3.30）當(dāng)接收端接收到碼組時(shí)，可用監(jiān)督矩陣進(jìn)行校驗(yàn)，即將接收碼組代入式（3.19）進(jìn)行驗(yàn)證。若接收碼組中無(wú)錯(cuò)碼，即，則。即把代入式（3.19）后該式仍然成立，則有（3.31）當(dāng)接收碼組有誤時(shí)，即，則。即把代入式（3.19）后該式不成立，則有。我們定義（3.32）將代入式（3.32）中，可得（3.33）其中，是一個(gè)維的行向量，被稱為校正子，或伴隨式。式（3.33）標(biāo)明伴隨式S與錯(cuò)誤圖樣E之間有確定的線性變換關(guān)系，而與發(fā)送碼組A無(wú)關(guān)。所以，可以采用伴隨式S來(lái)判斷傳輸中是否發(fā)生了錯(cuò)誤。若伴隨式S與錯(cuò)誤圖樣E之間一一對(duì)應(yīng)，則伴隨式S將能代表錯(cuò)碼發(fā)生的位置。例如，，，則，把（3.17）式的代入（3.32）式，可得。為了進(jìn)一步分析碼組中不同碼元發(fā)生一位錯(cuò)碼的情況，仍以表3-1中的（7，3）線性分組碼為例，來(lái)描述伴隨式與錯(cuò)誤圖樣之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。如表3-2所示。從表3-2可以看出：發(fā)生一位錯(cuò)誤時(shí)，與監(jiān)督矩陣的列一一對(duì)應(yīng)。如發(fā)生錯(cuò)誤，則與監(jiān)督矩陣的最后一列相同；發(fā)生錯(cuò)誤，則與監(jiān)督矩陣的倒數(shù)第二列相同，以此類(lèi)推。故接收端可以根據(jù)這種關(guān)系糾正一位錯(cuò)誤。對(duì)于線性分組碼，有中不同的形式，可代表種錯(cuò)誤圖樣。為了指明單個(gè)錯(cuò)誤的位置，必須要求：（3.34）注意：若傳輸過(guò)程中錯(cuò)碼的位置不止一位時(shí)，可能與表3-2中所列的任意一種都不同，這時(shí)系統(tǒng)只能檢錯(cuò)而不能糾錯(cuò)，并根據(jù)不同系統(tǒng)的要求將該碼組丟棄或重發(fā)。此時(shí)，也有可能正好與發(fā)生一位錯(cuò)誤時(shí)的某種伴隨式相同，這樣經(jīng)糾錯(cuò)后反而“越糾越錯(cuò)”。在傳輸過(guò)程中，發(fā)送碼組的某幾位發(fā)生錯(cuò)誤后成為另一許用碼組，這種情況接收端無(wú)法檢測(cè)，稱這種為不可檢測(cè)的錯(cuò)誤。不過(guò)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，這種情況出現(xiàn)的概率要小得多，可忽略。從以上分析可以得到線性分組碼的譯碼過(guò)程為：（1）根據(jù)接收碼組計(jì)算其伴隨式；（2）根據(jù)伴隨式找出對(duì)應(yīng)的錯(cuò)誤圖樣，并確定誤碼位置；（3）根據(jù)錯(cuò)誤圖樣和得到正確的碼組。3.4線性分組碼的差錯(cuò)控制流程圖初始化產(chǎn)生碼元線性編碼初始化產(chǎn)生碼元線性編碼模擬信道差錯(cuò)率運(yùn)算器輸出結(jié)果運(yùn)算結(jié)果存儲(chǔ)模塊線性解碼第4章循環(huán)碼循環(huán)碼是線性分組碼的一個(gè)重要分支。循環(huán)碼有許多特殊的代數(shù)性質(zhì)，基于這些性質(zhì)，循環(huán)碼有較強(qiáng)的糾錯(cuò)能力（即它既能糾正獨(dú)立的隨機(jī)錯(cuò)誤又能糾正突出錯(cuò)誤），而且其編碼和譯碼電路很容易用移位寄存器實(shí)現(xiàn)，因而在FEC系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。4.1循環(huán)碼的基本概念循環(huán)碼是線性分組碼的一種，所以它具有線性分組碼的一般特性，除此之外還具有循環(huán)性。循環(huán)碼的編碼和解碼設(shè)備都不太復(fù)雜，且檢(糾)錯(cuò)能力強(qiáng)。它不但可以檢測(cè)隨機(jī)的錯(cuò)誤，還可以檢錯(cuò)突發(fā)的錯(cuò)誤。（n,k）循環(huán)碼可以檢測(cè)長(zhǎng)為n-k或更短的任何突發(fā)錯(cuò)誤，包括首尾相接突發(fā)錯(cuò)誤。循環(huán)碼是屬于無(wú)權(quán)碼，循環(huán)碼的編排特點(diǎn)是在相鄰的兩個(gè)數(shù)碼之間符合卡諾圖中的鄰接條件，即相鄰兩個(gè)數(shù)碼之間只有一位碼元不同。由于數(shù)碼轉(zhuǎn)換的速度回有快有慢，中間會(huì)經(jīng)過(guò)一些其它的數(shù)碼形式，故稱此為瞬時(shí)錯(cuò)誤。而循環(huán)碼的優(yōu)點(diǎn)就是沒(méi)有瞬時(shí)錯(cuò)誤，循環(huán)碼是相鄰的兩個(gè)數(shù)碼之間僅有一位碼元不同的方式，這樣滿足臨接條件，故而循環(huán)碼不會(huì)產(chǎn)生瞬時(shí)錯(cuò)誤[8]。循環(huán)碼的最大特點(diǎn)就是碼字的循環(huán)性：循環(huán)碼中的任一許用碼組在經(jīng)過(guò)循環(huán)移位之后，所得到的碼組依然是許用碼組。形象的說(shuō)就是若為一循環(huán)碼組，則、、……還是許用碼組。也就是說(shuō)，不論是左移還是右移，也不論移多少位，仍然是許用的循環(huán)碼組。設(shè)碼長(zhǎng)為n的循環(huán)碼表示為：（4.1）其中為二進(jìn)制數(shù)，通常把碼組中各碼元當(dāng)做二進(jìn)制的系數(shù)，即把上式（4.1）中長(zhǎng)為n的各個(gè)分量看做多項(xiàng)式：（4.2）上式的各項(xiàng)系數(shù)，則碼字與碼多項(xiàng)式一一對(duì)應(yīng)，這種多項(xiàng)式中，x僅表示碼元位置的標(biāo)記，因此我們并不關(guān)心x的取值，這種多項(xiàng)式稱為碼多項(xiàng)式。用生成多項(xiàng)式（4.2）式除，得到：（4.3）上式中是余式，其表示為：（4.4）而+是碼多項(xiàng)式，由此可得循環(huán)碼的系統(tǒng)形式的生成矩陣為：G=（4.5）若是循環(huán)碼中的一個(gè)許用碼組，對(duì)它左循環(huán)移位一次，得到也是一個(gè)許用碼組，移位i次得到還是許用碼組。不論右移或左移，移位位數(shù)多少，其結(jié)果均為循環(huán)碼組。（7，3）循環(huán)碼有兩個(gè)循環(huán)圈，如圖4-1（a）所示。其中，編號(hào)為1的全零碼組自成循環(huán)圈，其碼重為；另一個(gè)是剩余碼組組成的循環(huán)圈，其碼重為。（6，3）循環(huán)碼的循環(huán)圈有四個(gè)，如圖4-2（b）所示。（6，3）循環(huán)碼構(gòu)成了碼重分別為0、2、4和6的循環(huán)圈。由圖3-4可得，同一循環(huán)圈上的碼字具有相同的碼重。圖4-1（a）（7，3）循環(huán)碼的循環(huán)圈圖4-1(b)（6，3）循環(huán)碼的循環(huán)圈為了便于用代數(shù)理論分析循環(huán)碼，可以將循環(huán)碼的碼字用代數(shù)多項(xiàng)式來(lái)表示，把這個(gè)表示碼字的代數(shù)多項(xiàng)式稱為碼多項(xiàng)式。把碼長(zhǎng)的碼組可表示為（4.6）在碼多項(xiàng)式中，變量x稱為元素，其冪次對(duì)應(yīng)元素的位置，它的系數(shù)即為元素的取值（我們不關(guān)心x本身的取值），系數(shù)之間的加法和乘法仍服從模2規(guī)則。4.1.1循環(huán)碼多項(xiàng)式的按模運(yùn)算下面我們來(lái)介紹多項(xiàng)式的按模運(yùn)算。如果一個(gè)多項(xiàng)式被另一個(gè)n次多項(xiàng)式除，得到一個(gè)商式和一個(gè)次數(shù)小于n的余式，即（4.7）可記作為：（4.8）則稱作為在模運(yùn)算下，。4.1.2循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式和生成矩陣我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)講過(guò)，循環(huán)碼屬于線性分組碼，它除了具有循環(huán)特性外，還具有線性分組碼的特性。所以，如果能夠找到k個(gè)不相關(guān)的已知碼宇，就能構(gòu)成線性分組碼的生成矩陣G。根據(jù)循環(huán)碼的循環(huán)特性，可由一個(gè)碼字的循環(huán)移位得到其他非0碼字。在(n，k)循環(huán)碼的個(gè)碼多項(xiàng)式中，取前位皆為0的碼多項(xiàng)式(次數(shù)為)，再經(jīng)次左循環(huán)移位，共得到k個(gè)碼多項(xiàng)式：)。由于這k個(gè)碼多項(xiàng)式是相互獨(dú)立的，可作為碼生成矩陣的k行來(lái)構(gòu)成此循環(huán)碼的生成矩陣,即（4.9）由式（4.9）可知，碼的生成矩陣一旦確定，那么碼也就確定了。這就說(shuō)明，(n，k)循環(huán)碼可由它的一個(gè)次碼多項(xiàng)式來(lái)確定，稱為碼的生成多項(xiàng)式。在(n，k)循環(huán)碼中，碼的生成多項(xiàng)式有如下的性質(zhì)：（1）是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)不為0的次碼多項(xiàng)式。在循環(huán)碼中，除全“0”碼字外，再?zèng)]有連續(xù)k位均為“0”的碼字，即連“0”的長(zhǎng)度最多只有位。否則，經(jīng)過(guò)若干次的循環(huán)移位后將得到k個(gè)信息碼元全為“0”、而監(jiān)督碼元不為“0”的碼字，這對(duì)線性碼來(lái)說(shuō)是不可能的。因此是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)不為0的次碼多項(xiàng)式。（2）是碼組集合中惟一的次多項(xiàng)式。如果存在另一個(gè)次碼多項(xiàng)式，假設(shè)為，根據(jù)線性碼的封閉性，那么也必為一個(gè)碼多項(xiàng)式。由于和的次數(shù)相同，它們的和式的次項(xiàng)系數(shù)為0，那么是一個(gè)次數(shù)低于次的碼多項(xiàng)式，即連“0”的個(gè)數(shù)多于。顯然這與前面的結(jié)論是矛盾的，所以是惟一的次碼多項(xiàng)式。（3）所有碼多項(xiàng)式都可被整除，而且任一次數(shù)不大于的多項(xiàng)式乘都是碼多項(xiàng)式。根據(jù)線性分組碼編碼器的輸入、輸出和生成矩陣的關(guān)系（3.11）式?？稍O(shè)為k個(gè)信息碼元，為該(n，k)循環(huán)碼的生成矩陣，則相應(yīng)的碼多項(xiàng)式為：（4.10）式中，是次數(shù)不大于的個(gè)碼多項(xiàng)式；是個(gè)信息碼元的多項(xiàng)式。（4）(n，k)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式是的一個(gè)次因式。由于是一個(gè)次的多項(xiàng)式，所以為一個(gè)n次多項(xiàng)式。由于生成多項(xiàng)式本身就是一個(gè)碼字，由式(3.42)可知，在模運(yùn)算下仍為一個(gè)碼字，所以，（4.11）由于次多項(xiàng)式本身就是一個(gè)許用碼組，故為一個(gè)n次多項(xiàng)式。由于等式左端的分子和分母都是n次多項(xiàng)式，所以，則（4.12）由式（4.9）可知，任意循環(huán)碼的多項(xiàng)式都是的倍式，即（4.13）（4.14）可見(jiàn)，(n,k)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式是的一個(gè)次因式。這一結(jié)論為我們尋找循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式指出了方向。即，循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式應(yīng)該是的一個(gè)次因式。所以，可以構(gòu)成的所有長(zhǎng)度為的(7，k)循環(huán)碼如表4-1所示。依據(jù)這表4-1，可選擇適當(dāng)?shù)囊蚴絹?lái)形成生成多項(xiàng)式，這樣就可以構(gòu)成我們所需要的循環(huán)碼。表4-1長(zhǎng)度的幾種循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式一般地，這樣得到的生成矩陣不是典型矩陣，可以通過(guò)初等行變換將它化為典型矩陣。4.2循環(huán)碼編碼設(shè)計(jì)原理在編碼時(shí)，首先要根據(jù)給定的（n,k）值選定生成多項(xiàng)式，即從的因子中選出一個(gè)次多項(xiàng)式作為。然后利用所有碼多項(xiàng)式均能被整除這一特點(diǎn)來(lái)進(jìn)行編碼。設(shè)為信息碼多項(xiàng)式，其次數(shù)小于k。用乘以，得到的的次數(shù)必定小于n。再用除得到余式。的次數(shù)小于的次數(shù)，即小于。將此余式加于信息位之后作為監(jiān)督位，即將與相加，得到的多項(xiàng)式必定是一碼多項(xiàng)式。因?yàn)榇a多項(xiàng)式能被整除，且商的次數(shù)不大于。根據(jù)上述原理，編碼步驟可歸納如下：（1）根據(jù)給定的（n,k）值和對(duì)糾錯(cuò)能力的要求，選定生成多項(xiàng)式，即從的因式中選定一個(gè)次多項(xiàng)式作為。（2）用信息碼元的多項(xiàng)式表示信息碼元。例如信息碼元為110，它相當(dāng)于。（3）用乘以，得到。這一運(yùn)算實(shí)際上是在信息位的后面附加了個(gè)“0”。例如，信息碼多項(xiàng)式為時(shí)，，它相當(dāng)于1100000。（4）用除得到商式和余式。即（4.15）例如，選定，則（4.16）則上式相當(dāng)于（4.17）（5）編出的碼字為（4.18）在上例中的碼字為，它就是表4-1中第7碼組。上述幾個(gè)編碼步驟可以用除法電路來(lái)實(shí)現(xiàn)。除法電路由個(gè)移位寄存器、多個(gè)模2加法器和一個(gè)雙刀雙擲開(kāi)關(guān)K構(gòu)成。假設(shè)生成多項(xiàng)式為：（4.19）如果，說(shuō)明對(duì)應(yīng)的移位寄存器的輸出端有一個(gè)模2加法器（即有連線）；如果，說(shuō)明對(duì)應(yīng)的移位寄存器的輸出端沒(méi)有一個(gè)模2加法器。4.3循環(huán)碼譯碼設(shè)計(jì)原理根據(jù)接收端譯碼目的的不同（檢錯(cuò)還是糾錯(cuò)），循環(huán)碼的譯碼原理與實(shí)現(xiàn)方法有所不同。糾錯(cuò)碼的譯碼是該碼能否得到實(shí)際應(yīng)用的關(guān)鍵問(wèn)題，因?yàn)樽g碼器通常要比編碼器復(fù)雜得多。因此，對(duì)糾錯(cuò)碼的研究大都集中在譯碼的算法上。在循環(huán)碼中，由于任一發(fā)送碼組多項(xiàng)式都能被生成多項(xiàng)式整除，因此可以利用接收碼組能否被所整除來(lái)判斷接收碼組是否出差錯(cuò)。當(dāng)傳輸中未發(fā)生錯(cuò)誤時(shí)，接收碼組與發(fā)送碼組相同，即，接收碼組必定能被整除；若碼組在傳輸中發(fā)生錯(cuò)誤，則，被除時(shí)可能除不盡。可見(jiàn)，循環(huán)碼譯碼器的核心仍是一個(gè)除法電路和緩沖移位寄存器，另外，需要指出的是，當(dāng)接收碼組中有錯(cuò)碼時(shí)，也有可能被所整除，但這時(shí)的錯(cuò)碼就不能被檢出了，這種錯(cuò)誤被稱為不可檢錯(cuò)誤。不可檢錯(cuò)誤中的錯(cuò)碼數(shù)必定超過(guò)了這種編碼的檢錯(cuò)能力[15]。在接收端為糾錯(cuò)而采用的譯碼方法比檢錯(cuò)時(shí)復(fù)雜。為了能夠糾錯(cuò)，要求每個(gè)可糾正的錯(cuò)誤圖樣必須與一個(gè)特定余式有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。只有這樣，才可能從余式中唯一地決定錯(cuò)誤圖樣，從而糾正錯(cuò)碼。因此，糾錯(cuò)可按下述步驟進(jìn)行：（1）用生成多項(xiàng)式除接收碼組，得出余式；（2）按余式用查表法，或由接收到的碼多項(xiàng)式計(jì)算伴隨式；（3）由校正子確定其錯(cuò)誤圖樣，這樣就可確定錯(cuò)碼的位置。（4）利用可得到糾正錯(cuò)誤后的原發(fā)送碼組。上述（1）、（2）步運(yùn)算較為簡(jiǎn)單，與檢錯(cuò)碼時(shí)的運(yùn)算相同。第（4）步也較為簡(jiǎn)單。因而，糾錯(cuò)譯碼器的復(fù)雜性主要取決于第（3）步。由（4.25）式可知，用接收碼多項(xiàng)式除以生成多項(xiàng)式得到的余式，就是循環(huán)碼的伴隨式，這就可以簡(jiǎn)化伴隨式的計(jì)算。同時(shí)，由于循環(huán)碼的伴隨式)與循環(huán)碼—樣，也具有循環(huán)移位特性(即某碼組循環(huán)移位i次的伴隨式，等于原碼組伴隨式在除法電路中循環(huán)移位i次所得到的結(jié)果)。因此，對(duì)于只糾正—位錯(cuò)誤碼元的譯碼器而言，可以針對(duì)接收碼組中單個(gè)錯(cuò)誤出現(xiàn)在首位的錯(cuò)誤圖樣及其相應(yīng)的伴隨式來(lái)設(shè)計(jì)組合邏輯電路。然后利用除法電路中移位寄存器的循環(huán)移位去糾正任何位置上的單個(gè)錯(cuò)誤。4.4循環(huán)碼的差錯(cuò)控制流程圖（n，k）循環(huán)碼編碼流程圖如圖4-2所示。初始化初始化確定余式確定余式r(x):確定確定A(x):儲(chǔ)存A(x)儲(chǔ)存A(x)圖4-2循環(huán)碼編碼流程圖編碼為（n，k）循環(huán)碼的譯碼流程圖如圖4-3所示。初始化初始化由由R(x)確定S(x)的余式。S(x)=QUOTESS(x)=0，無(wú)誤碼誤碼否由S由S(x)確定錯(cuò)誤圖樣E(x)糾錯(cuò)糾錯(cuò)C(x)=E(x)+R(x)存儲(chǔ)C(x)存儲(chǔ)C(x)第5章基于Matlab差錯(cuò)控制技術(shù)仿真及結(jié)果分析5.1線性分組碼差錯(cuò)控制仿真在實(shí)現(xiàn)線性分組碼差錯(cuò)控制編碼技術(shù)仿真時(shí)，其可以分為以下幾個(gè)大步驟：a.產(chǎn)生二進(jìn)制碼元；b.進(jìn)行線性分組編碼；c.經(jīng)過(guò)模擬信道；d.進(jìn)行譯碼；e.進(jìn)行對(duì)原碼與經(jīng)過(guò)模擬信道的碼進(jìn)行差錯(cuò)率運(yùn)算；f.得到線性碼的信號(hào)誤碼率與信道差錯(cuò)率之間的曲線圖，仿真完成并對(duì)得到了結(jié)果進(jìn)行分析。5.1.1(7,3)線性分組碼的差錯(cuò)控制仿真（1）當(dāng)輸入n=7，k=3時(shí)可得到如下圖5-1所示，當(dāng)信噪比=9時(shí)，且生成矩陣時(shí)信息序列從（000）到（111)在Matlab界面運(yùn)行，輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的關(guān)系如圖5-1，第二行可以看出在信息序列經(jīng)過(guò)信道后會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，但是經(jīng)過(guò)糾錯(cuò)后，輸出的序列得到了糾正，從而輸出了正確的序列。圖5-1（7,3）線性分組碼對(duì)于碼組長(zhǎng)度為7、信息碼元為3位、監(jiān)督碼元為4＝7－3位的分組碼，滿足≥7，則構(gòu)造出糾正錯(cuò)誤的線性碼,有上圖可知當(dāng)輸入的信息序列為010時(shí)，編碼后的序列為0100111，譯碼后的序列為010。當(dāng)輸入的信息序列為100時(shí)，編碼后的序列為1001110，譯碼后的序列為100。（2）當(dāng)信噪比=9時(shí)，且生成矩陣時(shí)信息序列從（000）到（111)在Matlab界面運(yùn)行，輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的關(guān)系如圖5-2，第二行可以看出在信息序列經(jīng)過(guò)信道后會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，但，輸出的序列不能得到糾正，從而輸出了錯(cuò)誤的序列。圖5-2（7,3）線性分組碼由下圖5-3得到信噪比與經(jīng)過(guò)差錯(cuò)控制后仿真系統(tǒng)的誤碼率坐標(biāo)曲線圖。通過(guò)對(duì)普通線性碼信道差錯(cuò)控制編碼條件下的誤碼率與信噪比之間的關(guān)系比較可以看出，信噪比越大，系統(tǒng)的碼誤碼率得到了明顯的改善，其誤碼率明顯下降圖5-3(7,3)信噪比與誤碼率曲線圖由上圖我們可以看出，當(dāng)SNR=0時(shí)，BER=0.310；當(dāng)SNR=2時(shí)，BER=0.130；當(dāng)SNR=4時(shí)，BER=0.092；當(dāng)SNR=6時(shí)，BER=0.064；當(dāng)SNR=8時(shí)，BER=0.009；當(dāng)SNR=10時(shí)，BER=0.003。我們得出以下結(jié)論：信噪比越大誤碼率越小。5.1.2(7,4)線性分組碼的差錯(cuò)控制仿真（1）當(dāng)n=7，k=4時(shí)可得到如下圖5-4所示，且信噪比=9時(shí)，且生成矩陣時(shí)信息序列從（000）到（111)在Matlab界面運(yùn)行，輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的關(guān)系如圖5-4，第二行可以看出在信息序列經(jīng)過(guò)信道后會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，但是經(jīng)過(guò)糾錯(cuò)后，輸出的序列得到了糾正，從而輸出了正確的序列。圖5-4（7,4）線性分組碼對(duì)于碼組長(zhǎng)度為7、信息碼元為4位、監(jiān)督碼元為3＝7－4位的分組碼，滿足≥7，則構(gòu)造出糾正錯(cuò)誤的線性碼,有上圖可知當(dāng)輸入的信息序列為1001時(shí)，編碼后的序列為1001110，譯碼后的序列為1001。當(dāng)輸入的信息序列為0011時(shí)，編碼后的序列為0011101，譯碼后的序列為0011。（2）當(dāng)n=7，k=4時(shí)可得到如下圖5-5所示，且信噪比=9時(shí)，且生成矩陣時(shí)信息序列從（000）到（111)在Matlab界面運(yùn)行，輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的關(guān)系如圖5-5，第二行可以看出在信息序列經(jīng)過(guò)信道后會(huì)產(chǎn)生誤碼，但，輸出的序列不能得到糾正，從而輸出了的序列與輸入的序列不一致。圖5-5（7,4）線性分組碼由下圖5-6可知，隨著（7,4）線性分組碼信噪比的增加，誤碼率會(huì)隨之變小，說(shuō)明誤碼率與信噪比成反比。圖5-6(7,4)信噪比與誤碼率曲線圖由上圖我們可以看出，當(dāng)SNR=1時(shí)，BER=0.180；當(dāng)SNR=3時(shí)，BER=0.100；當(dāng)SNR=5時(shí)，BER=0.074；當(dāng)SNR=7時(shí)，BER=0.463；當(dāng)SNR=9時(shí)，BER=0.006。我們得出以下結(jié)論：信噪比越大誤碼率越小。5.1.3(6,3)線性分組碼的差錯(cuò)控制仿真（1）當(dāng)n=6，k=3時(shí)可得到如下圖5-4所示，且信噪比=9時(shí)，且生成矩陣時(shí)信息序列從（000）到（111)在Matlab界面運(yùn)行，輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的關(guān)系如圖5-7，第二行可以看出在信息序列經(jīng)過(guò)信道后會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，但是經(jīng)過(guò)糾錯(cuò)后，輸出的序列得到了糾正，從而輸出了正確的序列。圖5-7（6,3）線性分組碼由下圖5-7可以看出，對(duì)于碼組長(zhǎng)度為6、信息碼元為4位、監(jiān)督碼元為3＝6－3位的分組碼，滿足≥6，則構(gòu)造出糾正錯(cuò)誤的線性碼,有上圖可知當(dāng)輸入的信息序列為010時(shí)，編碼后的序列為010011，譯碼后的序列為010。當(dāng)輸入的信息序列為011時(shí)，編碼后的序列為011101，譯碼后的序列為011。當(dāng)n=6，k=3時(shí)可得到如下圖5-4所示，且信噪比=9時(shí)，且生成矩陣時(shí)信息序列從（000）到（111)在Matlab界面運(yùn)行，輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的關(guān)系如圖5-7，r≥3能糾正一位誤碼，檢測(cè)到兩位誤碼。運(yùn)用MATLAB語(yǔ)言進(jìn)行編程，可以較明顯的知道編碼的過(guò)程和譯碼時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，碼字的最小距離是3時(shí)，可以糾正一位錯(cuò)誤，當(dāng)輸入特定的兩位錯(cuò)誤時(shí)，該碼字還可以糾正這兩位錯(cuò)誤。圖5-8（6,3）線性分組碼由下圖5-9得到信噪比與經(jīng)過(guò)差錯(cuò)控制后仿真系統(tǒng)的誤碼率坐標(biāo)曲線圖。通過(guò)對(duì)普通線性碼信道差錯(cuò)控制編碼條件下的誤碼率與信噪比之間的關(guān)系比較可以看出，信噪比越大，系統(tǒng)的碼誤碼率得到了明顯的改善，其誤碼率明顯下降。圖5-9（6,3)信噪比與誤碼率曲線圖由上圖我們可以看出，當(dāng)SNR=0時(shí)，BER=0.280；當(dāng)SNR=2時(shí)，BER=0.130；當(dāng)SNR=4時(shí)，BER=0.092；當(dāng)SNR=6時(shí)，BER=0.075；當(dāng)SNR=8時(shí)，BER=0.007；當(dāng)SNR=10時(shí)，BER=0.003。我們得出以下結(jié)論：信噪比越大誤碼率越小。5.2循環(huán)碼差錯(cuò)控制仿真在完成了線性分組碼差錯(cuò)控制編碼仿真后，接下來(lái)便要來(lái)做循環(huán)碼差錯(cuò)控制編碼仿真，同樣的在實(shí)現(xiàn)循環(huán)碼差錯(cuò)控制編碼技術(shù)仿真上可以分為以下幾個(gè)大步驟：a.產(chǎn)生二進(jìn)制碼元；b.對(duì)其進(jìn)行循環(huán)碼編碼；c.經(jīng)過(guò)模擬信道；d.進(jìn)行譯碼；e.輸出譯碼結(jié)果，仿真完成。5.2.1(7,3)循環(huán)碼的差錯(cuò)控制仿真當(dāng)n=7，k=3時(shí)，信息序列從（000）到（111)在Matlab界面運(yùn)行，由圖可以看出當(dāng)循環(huán)碼輸入信息序列為110，經(jīng)過(guò)編碼后的序列為1101101，在經(jīng)過(guò)信道的傳輸和譯碼得到的信息序列仍為110。圖5-10（7,3)循環(huán)碼從而得出用編出的碼字譯碼，沒(méi)有錯(cuò)誤，正確譯出原碼。驗(yàn)證了譯碼程序的正確性。5.2.2(7,4)循環(huán)碼的差錯(cuò)控制仿真由圖5-11所示，當(dāng)n=7，k=4時(shí)，信息序列從（000）到（111)在Matlab界面運(yùn)行，由圖可以看出當(dāng)循環(huán)碼當(dāng)輸入信息序列為1101，經(jīng)過(guò)編碼后的序列為1101001，在經(jīng)過(guò)信道的傳輸和譯碼得到的信息序列仍為1001。第二位發(fā)生錯(cuò)誤。圖5-11（7,4)循環(huán)碼從而得出用編出的碼字譯碼時(shí)，發(fā)生了錯(cuò)誤，當(dāng)最小碼距小于2t+1時(shí)，系統(tǒng)不能糾正錯(cuò)誤，沒(méi)有正確譯出原碼。5.2.3(6,3)循環(huán)碼的差錯(cuò)控制仿真當(dāng)n=6，k=3時(shí)，息序列從（000）到（111)在Matlab界面運(yùn)行，由圖可以看出當(dāng)循環(huán)碼輸入信息序列為10110，經(jīng)過(guò)編碼后的序列為10110101，在經(jīng)過(guò)信道的傳輸和譯碼得到的信息序列仍為10110。圖5-12（6,3)循環(huán)碼從而得出我們用編出的碼字譯碼，沒(méi)有錯(cuò)誤，正確譯出原碼。譯碼器輸出的信息序列與原序列一致?？偨Y(jié)在線性分組碼差錯(cuò)控制編碼技術(shù)仿真結(jié)果中可以明顯的觀察到采用了信道編碼即差錯(cuò)控制后，系統(tǒng)的誤碼率明顯下降，信號(hào)傳輸?shù)臏?zhǔn)確率明顯有所提升。同樣的在循環(huán)碼差錯(cuò)控制編碼技術(shù)仿真結(jié)果中也可以明顯的觀察到采用了信道編碼即差錯(cuò)控制后，系統(tǒng)的誤碼率明顯的下降，信號(hào)傳輸?shù)臏?zhǔn)確率提高。再將兩種信道編碼方式所得到的系統(tǒng)仿真圖進(jìn)行比較，可以得到對(duì)于不同的信息傳輸環(huán)境循環(huán)碼差錯(cuò)控制編碼與線性分組碼差錯(cuò)控制編碼的差錯(cuò)可控效率是不相同的。由此可見(jiàn)，不同的差錯(cuò)控制編碼方式會(huì)產(chǎn)生不同的差錯(cuò)可控效果，即選擇一種有效的編碼方式對(duì)于提高數(shù)通信系統(tǒng)的傳輸可靠性至關(guān)重要。在做本設(shè)計(jì)的過(guò)程中，我深深地感受到了自己所學(xué)到知識(shí)的有限，明白了只學(xué)好課本上的知識(shí)是不夠的，要通過(guò)圖書(shū)館和互聯(lián)網(wǎng)等各種渠道來(lái)擴(kuò)充自己的知識(shí)。在此過(guò)程中我們?cè)?jīng)遇到過(guò)問(wèn)題。但是我們沒(méi)有沮喪。在老師的幫助下，進(jìn)一步培養(yǎng)了我們一絲不茍的科學(xué)態(tài)度和不厭其煩的耐心。在此過(guò)程中我們互相討論互相合作，使得我們的實(shí)驗(yàn)得以順利完成，體會(huì)到了合作的力量，感受到了1+1＞2。所有的這些心得會(huì)對(duì)我以后的學(xué)習(xí)和工作有幫助作用。參考文獻(xiàn)[1]官宗琪.移動(dòng)通信中的差錯(cuò)控制技術(shù)[J].硅谷,2008,（12）：14-17.[2]Tommyoberg.調(diào)制檢測(cè)與編碼[M].何英姿,尚勇,陳江譯.北京：電子工業(yè)出版社,2002.78-225.[3]RodgerE.Zimer,WilliamH.Tranter.PrinciplesofCommunications-System,ModulationandNoise(FifthEdition)[M].北京：高等教育出版社,2001.130-155.[4]樊昌信,徐炳祥.通信原理[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社,1990.77-92.[5]樂(lè)光新.數(shù)據(jù)通信原理[M].北京：人民郵電出版社,1988.151-183.[6]BerrouGlavieux.NearShannonlimiterror-correctingcodinganddecoding[C].NewYork：FirstPress,1993.10.[7]江曉林,楊明極.通信原理[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2010.45-131.[8]郭文彬.通信原理-基于Matlab的計(jì)算機(jī)仿真[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社,2006.23-133.[9]徐明遠(yuǎn),邵玉斌.Matlab仿真在通信與電子工程中的應(yīng)用[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社,2005.147-163.[10]鄧華.Matlab通信仿真及應(yīng)用實(shí)例詳解[M].北京：人民郵電出版社,2005.55-72.[11]張照明,劉政波,劉斌等.應(yīng)用Matlab實(shí)現(xiàn)信號(hào)分析處理[C].北京：科學(xué)出版社,2006.[12]MKSimon,C.Wang.DifferentialdetectionofGaussianMSKmobileradioenvironment[J]IEEETrans.Veh.Techno,1984,307-320.[13]鄭君里,應(yīng)啟絎,楊為理.信號(hào)與系統(tǒng)[M].北京：高等教育出版社,2000.155-178.[14]徐守時(shí).信號(hào)與系統(tǒng)理論方法和應(yīng)用[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版,1999.42-76.[15]高俊斌.Matlab語(yǔ)言與程序設(shè)計(jì)[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社,1998.66-82.附錄1源程序代碼程序1：（n.k）線性分組碼程序%%%產(chǎn)生信源信號(hào)m=[];x=reshape(m,length(m)/k,k)A=reshape(x',1,10000);figure(1)subplot(511)stairs(A);title('輸入的信息序列');axis([190-12]);%%%分組編碼G=[1001110;0100111;0011101;];%設(shè)置編碼矩陣X=mod(x*G,2)%進(jìn)行編碼，生成編碼后的碼組X=X';n=length(m)/k*n;X=reshape(X,1,n);figure(1)subplot(512)stairs(X);title('進(jìn)入譯碼器的序列');axis([1150-12]);X=bi2de((reshape(X,2,n/2))','left-msb')%二進(jìn)制數(shù)組轉(zhuǎn)十進(jìn)制%%%產(chǎn)生QPSK信號(hào)h=modem.pskmod(4);%產(chǎn)生調(diào)制句柄,相位偏移默認(rèn)為0y=modulate(h,X);%對(duì)信號(hào)進(jìn)行調(diào)制P=[];%%%%加入高斯白噪聲SNR=9z=awgn(y,SNR);g=modem.pskdemod(4);%%%QPSK解調(diào)z=demodulate(g,z);z=de2bi(z,2,'left-msb');z=z';z=reshape(z,1,n);z=reshape(z,n,n/n);z=z';%%%解碼X1=decode(z,n,k,'linear',G)X2=reshape(X1',1,84);figure(1)subplot(513)stairs(X2);title('譯碼器輸出譯碼結(jié)果');axis([190-12]);計(jì)算誤碼率forSNR=0:10z=awgn(y,SNR);g=modem.pskdemod(4);z=demodulate(g,z);z=de2bi(z,2,'left-msb');z=z';z=reshape(z,1,n);z=reshape(z,n,n/n);z=z';X=decode(z,n,k,'linear',G);[N,p]=biterr(x,X);P=[Pp];end%%%繪制誤碼率圖形SNR=0:10;semilogy(SNR,P,'linewidth',2);title('基于(n,k)線性分組碼編碼的信號(hào)誤碼率')xlabel('信噪比SNR');ylabel('誤碼率BER');axis([01010^-31]);gridon;程序2：(n,k)循環(huán)碼程序u=[1001];%信息序列，左邊低位，右邊高位e=[00010001];%干擾信號(hào)，左邊低位，右邊高位%編碼L=length(u);%信息序列序列長(zhǎng)度a2=ceil(L/k);%利用上取整求信息序列分組個(gè)數(shù)a4=a2*k-L;%高位補(bǔ)零的個(gè)數(shù)u1=[u,zeros(1,a4)];%對(duì)序列的高位進(jìn)行補(bǔ)零，使得序列長(zhǎng)度為k的整數(shù)倍fori=1:a2%將輸入序列按每組k位進(jìn)行分組forj=1:ku2(i,j)=u1((i-1)*k+j);endendx=[zeros(1,(n-k)),1];%x^(n-k)g=cyclpoly(n,k);%生成多項(xiàng)式fori=1:a2%將分好組的每個(gè)序列進(jìn)行編碼a=gfconv(u2(i,:),x);%x^(n-k)*u[q,m1]=gfdeconv(a,g);%m1=x^(n-k)*umodga1=n-k-length(m1);%補(bǔ)零長(zhǎng)度m=[m1,zeros(1,a1)];%補(bǔ)零使得m1長(zhǎng)度為n-kc1(i,:)=[m,u2(i,:)];%構(gòu)造編碼序列endc2=c1';c=reshape(c2,a2*n,1);%矩陣轉(zhuǎn)為列向量c=c';%譯碼：L1=length(e);es=[e,zeros(1,(n*a2-L1))];%對(duì)輸入的干擾進(jìn)行高位補(bǔ)零，達(dá)到編碼輸出長(zhǎng)度f(wàn)ori=1:a2%將干擾按長(zhǎng)度n進(jìn)行分組forj=1:nes1(i,j)=es((i-1)*n+j);endendfori=1:a2y(i,:)=gfadd(c1(i,:),es1(i,:));%譯碼器的輸入endy1=y';y1=reshape(y1,n*a2,1);y1=y1';a6=[zeros(1,n-1),1];%構(gòu)造x^(n-1)[q1,a5]=gfdeconv(a6,g);%a5=x^(n-1)modg%求錯(cuò)誤圖樣過(guò)程：比較a5=x^(n-1)modg是否與x^(i-1)*ymodg相等%當(dāng)相等時(shí)，可以得到第n-i+1位發(fā)生錯(cuò)誤，從而得到錯(cuò)誤圖樣forj=1:a2fori=1:na7=[zeros(1,i-1),1];%x^(i-1)a8=gfconv(y(j,:),a7);%x^(i-1)*y[q2,s]=gfdeconv(a8,g);%s=x^(i-1)*ymodgq3=gfsub(a5,s);ifq3==0breakendende1(j,:)=[zeros(1,n-i),1,zeros(1,i-1)];%錯(cuò)誤圖樣ende2=e1';e2=reshape(e2,n*a2,1);e2=e2';cs=gfadd(e1,y);%y+e1=cs得到譯碼結(jié)果cs=cs';cs=reshape(cs,a2*n,1);%將譯碼結(jié)果用行向量表示cs=cs';%輸出：figure()subplot(511)stairs(c);axis([08-12]);title('輸入編碼序列');subplot(512)stairs(y1);axis([08-12]);title('譯碼器的輸入');subplot(513)stairs(e2);axis([08-12]);title('錯(cuò)誤圖樣');subplot(514)stairs(cs);axis([08-12]);title('譯碼器輸出譯碼結(jié)果');附錄2文獻(xiàn)翻譯英文：CombinedPowerControlandError-ControlCodinginMulticarrierDS-CDMASystemsJikDongKim,SangWuKim,SeniorMember,IEEE,andYoungGilKim,Member,IEEEAbstract—Weproposetruncatingthetransmissionpowerforsymbolswithlowchannelgain,andtaggingerasuresonthecorrespondingsymbolsatthereceiver.Themotivationisthatsymbolswithlowchannelgainarehighlylikelytobeinerrorandyet,iftransmitted,consumetheenergyresourceandgenerateinterferencetootherusers.Truncatingthepowerforthosesymbolshastheeffectofreducingtheinterferencetootherusersandallocatingmorepoweronsymbolswithhighchannelgain(therebyreducingtheerrorprobability).Sinceblockcodescancorrecttwiceasmanyerasuresaserrors,thecodedperformancecanbeimprovedbyproperlycombiningthepowercontrolwiththeerror-controlcoding.Inthisletter,weanalyzetheperformanceoftheReed–Solomon-codedmulticarrierdirect-sequencecode-divisionmultiple-accesssystemswithtwopower-controlschemes.Weshowthattheprobabilityofincorrectdecodingcanbesignificantlyimprovedbyproperlycombiningthepowercontrolwiththeerrorcontrolcoding.IndexTerms—direct-sequencecode-divisionmultiple-access(DS-CDMA),error-controlcoding,multicarrier,powercontrol.I.INTRODUCTIONTRADITIONALLY,thepowercontrolandtheerror-controlcodinghavebeenusedindividuallyinmitigatingchannelimpairments.Thepowercontrolmaintainsaconstantsignal-to-noiseratio(SNR)/signal-to-interferenceratio(SIR)forallsymbols,andtheerror-controlcodingcorrectstheerror.However,whentheerror-controlcodingisemployed,thereceivedSNR/SIRneednotbeequallymaintainedforallsymbols,becauseacertainnumberofsymbolerrorsthatarewithinthecorrectioncapabilityofacodecanbecorrectedregardlessofthereceivedSNR/SIRforthosesymbols.Thismotivatesustoconsiderredistributingthepowerresourceamongthecodesymbolsinsuchawayastominimizetheprobabilityofincorrectdecoding.Inthisletter,weproposeacombinedpowercontrolanderror-controlcodinginmulticarrierdirect-sequencecode-divisionmultiple-access(DS-CDMA)systems.Thetransmissionpoweriscontrolledinsuchawaythatchannelfadingineachsubchanneliscompensatedforonlywhenthechannelgainsinallsubchannelsareaboveaprescribedcutofffadedepth;otherwise,nopowerisallocatedforthecorrespondingsymbols(i.e.,powertruncation),anderasuresaregeneratedatthereceiver.Themotivationforthiscombinedtechniqueisthatthesymbolswithlowchannelgainarehighlylikelytobeinerrorandyet,iftransmitted,consumetheenergyresourceandgenerateinterferencetootherusers.Truncatingthepowerforthosesymbolshastheeffectofreducingtheinterferencetootherusersandallocatingmorepoweronsymbolswithhighchannelgain(therebyreducingtheerrorprobability).Sinceblockcodescancorrecttwiceasmanyerasuresaserrors[1],thecodedperformancecanbeimprovedbyproperlycombiningthepowercontrolwiththeerror-controlcoding.Thenumberoferrorsanderasuresinacodeworddependsonthecutofffadedepth.Thepowertruncationwillresultinareductionofthemultiuserinterference,therebyreducingthesymbolerrorprobability.However,thesymbolerasureprobability(duetothepowertruncation)willbeincreasedasisincreased.Ifissettoohigh,thereceivermayerasetoomanysymbolsthatareindeedcorrect.Thus,weexpectthatthereexistsanoptimumthresholdthatminimizestheprobabilityofincorrectdecoding.Wewillinvestigatetheoptimumintermsofthenumberofusersand.Wewillshowthattheprobabilityofincorrectdecodingcanbesignificantlyreducedbyapropercombinationofpowercontrolanderror-controlcoding.Severaltechniquesforgeneratingerasureshavebeenproposedinthepast.In[2]and[3],theconstellationisdividedintotwodecisionregions,“good”and“bad.”Ifthedemodulatoroutputfallsintothebadregion,wherethecorrespondingsymbolishighlylikelytobeunreliable,anerasureisgeneratedforthatoutput.Otherwise,thereceiverperformstheconventionalharddecisionbasedonthedemodulatoroutput.In[4]–[6],erasuresaregeneratedforsymbolswhosechannelgainsarebelowagiventhreshold.Thesetechniquesdonotemploythepowercontrolingeneratingtheerasure.Inthisletter,wewillcomparetheperformanceofthosetechniqueswiththeproposedcombinedpowercontrolanderror-controlcodingtechnique.MulticarrierDS-CDMAcanprovideresiliencetofrequency-selectivefadingchannelsbytransmittinghigh-bit-ratedataintomultiplelow-ratedatastreams.Thishastheadvantageofenablingthereceiveddatastreamstoappearasflat-fadeddatastreamsoneachsubcarrier.Recently,themulticarriertechniqueshavebeenconsideredinvariousindoorandmobilecommunicationsystems[7],[8].Also,themulticarriersystemcansuppressthenarrowbandinterferenceandrequiresalowerchiprate,sincethechipdurationofthemulticarriersystemisMtimesthatofthesingle-carriersystem[8].Inotherwords,themulticarriersystemrequiresalowerspeedandaparalleltypeofsignalprocessing,incontrasttoafast,serialtypeofsignalprocessinginthesingle-carrierRAKEreceiver.(a)(b)Therestofthispaperisorganizedasfollows.SectionIIdescribesthesystemmodel.ThesystemperformanceisanalyzedinSectionIII.NumericalresultsanddiscussionsarepresentedinSectionIV.ConclusionsaregiveninSectionV.II.SYSTEMMODELWeconsideramulticarrierDS-CDMAsystemwithKactivetransmitterscommunicatingwithacommonreceiver(basestation).TheblockdiagramsofthetransmitterandreceiverareshowninFig.1.Eachpacketofdataisencodedbyan(n,k)extendedReed–Solomon(RS)codeoverGF(Q),wherenisequaltoQandisapoweroftwo.Inordertorandomizeerrorbursts,anidealinterleaver/deinterleaverisassumed.Acodesymbol(Q-ary)isconvertedintoM(=)parallelbits,andeachbitisspreadbyarandomsequence.ThesubstreamsaremodulatedonMsubcarrierswithacarrierspacingthatprovidesnonoverlappingsubbands.Thesubchannelsareassumedtoexperienceanindependentflatfading.Thisassumptioncanbejustifiedbychoosingthenumberofsubcarriersandthebandwidthofeachsubband,suchthatthecarrierspacingbetweenadjacentsubcarriers,,isgreaterthanthecoherencebandwidth,,andthedelayspreadislessthanthechipdurationofeachsubchannel.Forarigorousjustification,thereaderisreferredto[8].Letbethechannel