充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)工具性的作用

PAGEPAGE4充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)“工具性”的作用劉才華（廣水市第一高級中學(xué)，湖北432700）導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)新教材增加內(nèi)容，也是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的銜接點.近年來在高考中也逐漸加重了對導(dǎo)數(shù)的考查，尤其是在考查函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何和實際應(yīng)用題的同時，以導(dǎo)數(shù)為“工具”，研究和解決問題已成為高考及各類試題的一個熱點和亮點.因此，在復(fù)習(xí)備考中要樹立應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的意識，充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)“工具性”的作用，提高應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決問題的能力.1導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在求函數(shù)值域、最值、單調(diào)性區(qū)間和判斷函數(shù)圖像上，也可通過構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的定義域和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的極限.1.1借助導(dǎo)數(shù)求函數(shù)定義域例1（06年襄樊統(tǒng)考卷）函數(shù)的奇偶性是（）（A）是奇函數(shù)（B）是偶函數(shù)（C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)（D）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)解函數(shù)奇偶性應(yīng)先考查定義域是否為關(guān)于原點的對稱區(qū)間，∴，設(shè)，則≥，∴單調(diào)遞增，又，∴是的唯一解，則函數(shù)的定義域為，是對稱區(qū)間，又，∴為偶函數(shù)，選(B).-22O-22O1-1-11例2(05年高考江西卷)已知函數(shù)的圖象如右圖所示(其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)),下面四個圖象中的圖象大致是(）OO-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124（A）（B）（C）（D）解從函數(shù)的圖像上知，當(dāng)時,，∴，則在是單調(diào)增函數(shù)，而四個圖像中只有(C)滿足.1.3應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間例3（06年高考江西卷）已知函數(shù)在與時都取得極值.求、的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解∵,∴,由題意知,,∴，,∴,當(dāng)時，則或；當(dāng)時，則.∴函數(shù)的遞增區(qū)間是；遞減區(qū)間是.1.4應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和值域例4(05高考全國卷Ⅲ)已知函數(shù),,求函數(shù)的值域.解求連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，只需求出函數(shù)的極值和區(qū)間端點處的函數(shù)值，然后比較大小，其中的最大者為最大值，最小者為最小值.∴成立.3導(dǎo)數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用在解析幾何中主要是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究與曲線的切線有關(guān)的問題，和利用導(dǎo)數(shù)解決解析幾何、數(shù)列和不等式的綜合題.3.1應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義研究與曲線的切線有關(guān)的問題例9（06年高考浙江卷）如圖，橢圓與過點,的直線有且只有一個公共點，且橢圓的離心率，求橢圓方程.解由題意知，直線：是橢圓的切線，，∴，則橢圓方程為，∴橢圓在軸上方的部分曲線對應(yīng)方程為，∴，設(shè)，則點處的切線斜率為,∴，代入方程得，∴切點的坐標(biāo)為，又點在直線：上，∴，即，則，∴橢圓方程為.3.2應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決解析幾何、數(shù)列和不等式的交匯題例10(06年高考重慶卷)已知一列橢圓:，，.若橢圓上有一點，使到右準(zhǔn)線的距離是與的等差中項，其中、分別是的左、右焦點.(1)試證：≤(2)取，并用表示的面積，試證：且≥.證明：(1)（略）；(2)設(shè)坐標(biāo)為，∵，∴，設(shè)點，由圖形知，代入，∴，則，令，則，由得，即或（舍），∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，∴，且當(dāng)≥時，有，即且≥.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解實際應(yīng)用題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實際應(yīng)用題主要是將實際問題抽象成函數(shù)模型，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解決最優(yōu)解等問題.例11（06年高考江蘇卷）請您設(shè)計一個帳篷.它下部的形狀是高為1的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3的正六棱錐（如右圖所示）.試問當(dāng)帳篷的頂點到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？解：設(shè)為，則,∴正六棱錐底面邊長為：，∴底面正六邊形的面積為:=，∴帳篷的體積為：，∴,令，則或（舍），當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù)；∴當(dāng)時，最大.答：當(dāng)為時，帳篷的體積最大.縱觀上面的例子,我們應(yīng)該發(fā)現(xiàn)許多情況下題目好像與導(dǎo)數(shù)沒有