山西省臨汾市蒲縣第一中學2021年高三數學理月考試題含解析

山西省臨汾市蒲縣第一中學2021年高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知是虛數單位，若是純虛數，則實數A．1

B．-1

C．2

D．-2參考答案：A2.的三內角的對邊邊長分別為，若，則(

)（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）參考答案：【解】：∵中

∴∴

故選B；【點評】：此題重點考察解三角形，以及二倍角公式；【突破】：應用正弦定理進行邊角互化，利用三角公式進行角的統(tǒng)一，達到化簡的目的；在解三角形中，利用正余弦定理進行邊角轉化是解題的基本方法，在三角函數的化簡求值中常要重視角的統(tǒng)一，函數的統(tǒng)一，降次思想的應用。3.已知函數，且實數>>>0滿足，若實數是函數=的一個零點，那么下列不等式中不可能成立的是（

）（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：D4.當點到直線的距離最大時，m的值為（

）A.3 B.0 C.－1 D.1參考答案：C【分析】求得直線所過的定點，當和直線垂直時，距離取得最大值，根據斜率乘積等于列方程，由此求得的值.【詳解】直線可化為，故直線過定點，當和直線垂直時，距離取得最大值，故，故選C.【點睛】本小題主要考查含有參數的直線過定點的問題，考查點到直線距離的最值問題，屬于基礎題.5.設全集I是實數集R，與都是I的子集（如圖所示），則陰影部分所表示的集合為（

）

A. B.

C.

D.參考答案：試題分析：因為，所以又因為，所以所以陰影部分為故答案選考點：集合的表示；集合間的運算.6.設為數列的前項之和.若不等式對任何等差數列及任何正整數恒成立，則的最大值為

A．

B．

C．

D．

參考答案：答案:B7.若實數，滿足條件則的最大值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略8.如果弧度的圓心角所對的弦長為，那么這個圓心角所對的弧長為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略9.已知直線過定點（-1，1），則“直線的斜率為0”是“直線與圓相切”的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件高考資源參考答案：A略10.已知數列{an}是等比數列，且a2013+a2015=dx，則a2014（a2012+2a2014+a2016）的值為（）A．π2 B．2π C．π D．4π2參考答案：A【考點】等比數列的性質；定積分．【專題】等差數列與等比數列．【分析】求定積分可得a2013+a2015=π，由等比數列的性質變形可得a2014（a2012+2a2014+a2016）=（a2013+a2015）2，代值計算可得．【解答】解：由定積分的幾何意義可得dx表示圓x2+y2=4在第一象限的圖形的面積，即四分之一圓，故可得a2013+a2015=dx=×π×22=π，∴a2014（a2012+2a2014+a2016）=a2014?a2012+2a2014?a2014+a2014?a2016=+2a2013?a2015=（a2013+a2015）2=π2故選：A【點評】本題考查等比數列的性質，涉及定積分的求解，屬中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則cosA=

．參考答案：因為，所以

12.已知，則_______.參考答案：因為，所以。【答案】【解析】13.若，則的最小值是

。參考答案：4略14.若變量，滿足約束條件，則的最小值為

．參考答案：15.圓柱的側面展開圖是邊長分別為2a，a的矩形，則圓柱的體積為．參考答案：或【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】空間位置關系與距離．【分析】有兩種形式的圓柱的展開圖，分別求出底面半徑和高，分別求出體積．【解答】解：圓柱的側面展開圖是邊長為2a與a的矩形，當母線為a時，圓柱的底面半徑是，此時圓柱體積是π×（）2×a=；當母線為2a時，圓柱的底面半徑是，此時圓柱的體積是π×（）2×2a=，綜上所求圓柱的體積是：或．故答案為：或；【點評】本題考查圓柱的側面展開圖，圓柱的體積，容易疏忽一種情況，導致錯誤．16.對于具有相同定義域D的函數f（x）和g（x），若存在函數h（x）=kx+b（k，b為常數），對任給的正數m，存在相應的x0，使得當x∈D且x>x0時，總有，則稱直線l：y=kx+b為曲線y=f（x）和y=g（x）的“分漸近線”。給出定義域均為D=的四組函數如下：①；②；③；④。其中，曲線y=f（x）和y=g（x）存在“分漸近線”的是

.參考答案：②④17.設實數x，y滿足，則動點P（x，y）所形成區(qū)域的面積為，z=x2+y2的取值范圍是．參考答案：1,[1，5].考點： 簡單線性規(guī)劃．

專題： 不等式的解法及應用．分析： 先畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出A，B，C的坐標，從而求出三角形的面積，再根據z=x2+y2的幾何意義，求出其范圍即可．解答： 解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，△ABC為平面區(qū)域的面積，∴S△ABC=×2×1=1，而z=x2+y2表示平面區(qū)域內的點到原點的距離的平方，由圖象得：A或B到原點的距離最大，C到原點的距離最小，∴d最大值=5，d最小值=1，故答案為：1，[1，5]．點評： 本題考察了簡單的線性規(guī)劃問題，考察z=x2+y2的幾何意義，本題是一道中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.為了解甲、乙兩廠的產品質量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產的產品中分別抽出取14件和5件，測量產品中的微量元素x，y的含量（單位：毫克）．下表是乙廠的5件產品的測量數據：編號12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲廠生產的產品共有98件，求乙廠生產的產品總數．（2）當產品中的微量元素x，y滿足x≥175，y≥75，該產品為優(yōu)等品．用上述樣本數據估計乙廠生產的優(yōu)等品的數量．（3）從乙廠抽出的上述5件產品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產品中的優(yōu)等品數ξ的分布列及其均值（即數學期望）．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差．【分析】（1）有分層抽樣可知各層抽取的比例相等，先計算出甲廠抽取的比例，按此比例計算乙廠生產的產品總數即可．（2）先計算抽取的5件樣品中優(yōu)等品的概率，再由此概率估計乙廠生產的優(yōu)等品的數量即可．（3）ξ的所有可能取值為0，1，2．由古典概型分別求概率，再求期望即可，此分布列為超幾何分布．【解答】解：（1）甲廠抽取的比例=，因為乙廠抽出5件，故乙廠生產的產品總數35件．（2）x≥175，y≥75的有兩件，比例為，因為乙廠生產的產品總數35件，故乙廠生產的優(yōu)等品的數量為35×=14件．（3）乙廠抽出的上述5件產品中有2件為優(yōu)等品，任取兩件的取法有C52=10種ξ的所有可能取值為0，1，2．P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∴ξ的分布列為：ξ012P故Eξ=．【點評】本題考查分層抽樣、樣本估計總體、離散型隨機變量的分布列和期望等知識，考查利用所學知識解決問題的能力．19.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知，，，.求：(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．參考答案：(1).(2).分析：(1)由題意結合三棱錐的體積公式可得三棱錐的體積為；(2)取PB的中點E，連接DE，AE，則∠ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角．結合余弦定理計算可得異面直線BC與AD所成角的余弦值為.詳解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱錐P-ABC的體積為V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.(2)取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.點睛：本題主要考查三棱錐的體積公式，異面直線所成的角等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.20.（1）閱讀以下案例，利用此案例的想法化簡．案例：考察恒等式左右兩邊的系數．因為右邊，所以，右邊的系數為，而左邊的系數為，所以＝．（2）求證：．參考答案：(1)；(2)見解析.【分析】（1）考查恒等式（1+x）7＝（1+x）3（x+1）4左右兩邊x3的系數可得；（2）根據，考查恒等式（1+x）2n＝（1+x）n（x+1）n左右兩邊xn的系數．考查恒等式（1+x）2n﹣1＝（1+x）n﹣1（x+1）n左右兩邊xn﹣1的系數，可得等式成立．【詳解】（1）考查恒等式（1+x）7＝（1+x）3（x+1）4左右兩邊x3的系數，因為右邊（1+x）3（x+1）4＝（+x+x2+x3）（x4+x3+x2+x+），所以，右邊x3的系數為＝而左邊x3的系數為：，所以．（2）∵，．考查恒等式（1+x）2n＝（1+x）n（x+1）n左右兩邊xn的系數．因為右邊xn的系數為＝，而左邊的xn的系數為．所以，同理可求得考查恒等式（1+x）2n﹣1＝（1+x）n﹣1（x+1）n左右兩邊xn﹣1的系數，因為右邊（1+x）n﹣1（x+1）n＝（+x+…+xn﹣1）（xn+xn﹣1+…+），所以，右邊的xn﹣1的系數為＝，而左邊的xn﹣1的系數為，所以＝，﹣＝+2n+﹣＝2n+＝n（+）+＝n（+）+＝n+＝（n+1）．【點睛】本題考查了二項式定理展開式指定項的系數，屬于難題．21.已知函數．（1）若在處取到極值，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當時，．參考答案：（1），在處取到極值，即經檢驗，時，在處取到極小值.（2），令，當時，，在上單調遞減，又，時，，不滿足在上恒成立當時，二次函數開口向上，對稱軸為，過①當即時，在上恒成立，，從而在上單調遞增，又時，成立，滿足在上恒成立②當即0<時，存在>1,使時，<0，單調遞減，>0，單調遞增，，又，故不滿足題意當時，二次函數開口向下，對稱軸為，在單調遞減，，，在上單調遞減，又，時，，故不滿足題意綜上所述，（3）證明：由（1）知令，當時，（當且僅當時取“”）∴當時，．即當，有．--------------12分22.如題（19）圖，在四面體中，平面平面，，，．

（Ⅰ）若，，求四面體的體積；

（Ⅱ）若二面角為，求異面直線與所成角的余弦值．

參考答案：（I）解：如答（19）圖1，設F為AC的中點，由于AD=CD，所以DF⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=.在Rt△ABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，由勾股定理易知故四面體ABCD的體積

（II）解法一：如答（19）圖1，設G，H分別為邊CD，BD的中點，則FG//AD，GH//BC，從而∠FGH是異面直線AD與BC所成的角或其補角.

設E為邊AB的中點，則EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC，

故由三垂線定理知DE⊥AB.所以∠DEF為二面角C—AB—D的平面角，由題設知∠DEF=60°設在從而因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，從而，在Rt△BDF中，，又從而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得因此，異面直線AD與